▬ فیتیلستان ریاضی (2) - 23 آبان 1393 ▬

IRYSC-team · 1393/8/23

سلام دوستان گرامی،
دومین مسابقه‌ی فیتیلستان ریاضی از امروز آغاز شده و تا صبح جمعه‌ی هفته‌ی آینده (30 آبان) ادامه دارد. برای آشنایی با مسابقه و جوایز آن به اینجا بروید.

در این دور از مسابقه هر کاربر فقط یک بار می‌تواند پاسخ سوال داده شده را در ادامه‌ی تاپیک بنویسد و در پایان 10 مسابقه‌، همه‌ی جواب‌ها به همراه امتیازهای تعلق گرفته به آن‌ها منتشر خواهد شد. فقط 10 هفته‌ی دیگر، برندگان سری اول فیتیلستان ریاضی معرفی می‌شوند و جوایز ایشان اهدا خواهد شد.

[HR][/HR]سوال فیتیلستان 2 ریاضی

بخش اول (نظریه‌ی اعداد)

همه‌ی اعداد طبیعی و 6 رقمی n را بیابید که مجموعه‌ی ارقام هر یک از اعداد

$n\ , \ 2n\ , \ 3n\ , \ 4n\ , \ 5n\ , \ 6n$
یکسان باشد.

-=-=-=-=-=-=-=--=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=--=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=--=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=--=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=--=-

بخش دوم (جبر)

برای اعداد مثبت

$x\ , \ y\ , \ z$
نشان دهید:

$(xy+yz+zx)\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2+z^2}+\frac{1}{z^2+x^2} \right )>\frac{5}{2}$

طراح سوالات این مسابقه: محمد شریفی

[HR][/HR]بهتر است با دلایل کافی، توضیح هر بخش را بنویسید و در صورت نیاز به محاسبه، آن را نیز همین‌جا وارد کنید. دو بخش فرمول نویس (Fx در ادیتور) و آپلودسنتر آیریسک برای گویا و زیبا نوشتن پاسخ‌ها به شما کمک خواهند کرد.

AHZolfaghari · 1393/8/29

پاسخ : ▬ فیتیلستان ریاضی (2) - 23 آبان 1393 ▬

IRYSC-team گفت

سوال اول ) چون n,3n ارقام یکی دارند پس n سه بخش پذیر است پس 3n بر 9 بخش پذیر است و n هم بر 9 .
اگر رقم یکان n برابر یک باشد در آن صورت رقم یکان آن پنج عدد 2و3و4و5و6 می شوند در نتیجه مجموعه ارقام n می شود 1,2,3,4,5,6
که امکان ندارد چون 1 تا 6 برابر 21 می شود .
اگر دو باشدرقم یکان ها به ترتیب 2و4و6و8و0و2 می شود چون n بر 9 بخش پذیر است پس رقم دیگر n باید 7 باشد . {0و2و4و6و8و7}
حال رقم دهگان رو مشخص می کنیم . رقم دهگان را x میگیریم در آن صورت رقم یکان 2x , 3x , 4x , 5x+1 , 6x+1 در این مجموعه باشد چون هر یک از این ها رقم دهگان 2n,3n,4n,5n,6n هستند. که چنین رقمی وجود ندارد .
اگر رقم یکان 3و4و6 باشد به روشی که برای حالت اول (بخش پذیر بودن n بر 9 ) حذف می شود .
حالتی که رقم یکان 8 باشد همان ارقام حالت دوم را می دهد
اگر رقم یکان 9 باشد هم رد می شود . پس رقم یکان 5 یا 7 است .
اگر 7 باشد این مجموعه باید {1و4و2و8و5و7} باشد.
رقم دهگان x پس 2x+1 , 3x+2 , 4x+2 , 5x + 3باید در مجموعه باشد پس دهگان برابر 5 است . به همین ترتیب تا رقم آخر را میابیم که عدد 142857 است و با چک کردن درمیابیم که این عدد درست است . اگر هم یکان 5 باشد عدد صفر هم در مجموعه قرار دارد . حال اگر روی دهگان حالت بندی کنیم که 1 تا 9 باشد در میابیم این مجموعه بیش از 6 عضو خواهد داشت که تناقض است پس تنها جواب مساله 142857 است .
برای سوال دوم )
با هم مخرج کردن و ضرب کردن خواهیم داشت :

$5(\sum x^4y^2 + \sum x^2y^4 + 2(xyz)^2)$

کمتر از

$2\sum x^5y + 2\sum x^5z + 2xyz\sum x^3 + \sum x^3y^3 + 2xyz\sum xy(x+y)$

حال با نامساوی حسابی هندسی داریم :

$\sum x^5y + \sum x^3y^3 \geq 2\sum x^4y^2$

$\sum x^5z + \sum x^3z^3 \geq 2\sum x^4z^2$

فرض می کنیم

$x>y>z$

و با نامساوی حسابی هندسی و این کارا حل میشه

Dadgarnia · 1393/8/29

پاسخ : ▬ فیتیلستان ریاضی (2) - 23 آبان 1393 ▬

بخش دوم:
فرض می کنیم

$x\geq y\geq z$

باشد. ابتدا نامساوی کمکی زیر را ثابت می کنیم:

$\sum \frac{1}{x^2+y^2}\geq \frac{1}{2xy}+\frac{2}{(x+y)(y+z)}$

داریم:

$\frac{1}{y^2+z^2}+\frac{1}{z^2+x^2}\geq \frac{1}{x(z+x)}+\frac{1}{y(y+z)}$

پس برای اثبات حکم مورد نظر کافی است ثابت کنیم:

$\frac{1}{x(z+x)}+\frac{1}{y(y+z)}-\frac{2}{(x+y)(y+z)}\geq \frac{1}{2xy}-\frac{1}{x^2+y^2}$

$\Leftrightarrow \frac{(x-y)^2+z(x+y)}{xy(y+z)(z+x)}\geq \frac{(x-y)^2}{2xy(x^2+y^2)}$

نامساوی آخر صحیح است زیرا در کسر طرف چپ نامساوی صورت کسر کوچک و مخرج کسر بزرگ شده است. با جایگذاری این نامساوی در صورت سوال کافی است ثابت کنیم (زیرا تساوی در نامساوی بالا به ازای

$z=0,x=y$

بدست می آید و دامنه ی اعداد ما اعداد حقیقی مثبت است):

$\left ( \sum xy \right )\left ( \frac{1}{2xy}+\frac{2}{(x+y)(y+z)} \right )\geq \frac{5}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}+\frac{z(x+y)}{2xy}+\frac{2\sum xy+2z^2-2z^2}{\sum xy+z^2}=\frac{5}{2}+\frac{z(x+y)}{2xy}-\frac{2z^2}{\sum xy+z^2}\geq \frac{5}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{z(x+y)}{2xy}\geq \frac{2z^2}{\sum xy+z^2}\Leftrightarrow \sum \left ( x^2y+xy^2 \right )\geq 6xyz\geq 2xyz$

که در آخر اثبات از نامساوی حسابی - هندسی استفاده شده است.
بخش اول:
به خاطر این اثبات زشت و مقدماتی ببخشید:
عدد مورد نظر سوال را

$N$

می نامیم. جدول زیر را در نظر بگیرید:

$\begin{matrix} \times & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 &9 \\ 1 & 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 \\ 2 & 2 &4 &6 & 8 &0 &2 &4 &6 &8 \\ 3 & 3& 6 & 9 & 2 & 5 & 8 &1 &4 &7 \\ 4& 4& 8 & 2 & 6 &0 & 4 &8 &2 &6 \\ 5& 5&0 & 5 & 0 &5 &0 &5 & 0 &5 \\ 6& 6& 2 & 8 & 4 &0 & 6 &2 & 8 &4 \end{matrix}$

جدول 1

این یک جدول ضرب است که همه ی اعداد در آن به پیمانه ی 10 در نظر گرفته شده اند (رقم صفر در جدول بالا در نظر نگرفته شده است چون حاصل ضرب آن در هر عدد دیگر برابر با صفر است). اعداد 0 تا 9 را به سه گروه تقسیم می کنیم. در گروه اول

$(1,3,7,9)$

، در گروه دوم

$(2,4,6,8)$

و در گروه سوم

$(0,5)$

را قرار می دهیم. با توجه به جدول 1 واضح است که اگر یکان

$N$

از اعداد دسته ی اول باشد بقیه ی ارقام

$N$

به طور یکتا مشخص می شوند. اگر یکان

$N$

یک باشد، می توانیم به راحتی ببینیم که برای دهگان آن انتخابی وجود ندارد (برای مثال اگر دهگان

$N$

دو باشد دهگان

$4N$

هشت می شود که در مجموعه ی ارقام

$N$

قرار ندارد.). اگر یکان

$N$

سه باشد هم به همین ترتیب می توانیم ببینیم که برای دهگان آن انتخابی وجود ندارد. اما اگر یکان

$N$

هفت باشد با کمی بررسی می توانیم ببینیم که

$N$

می تواند

$142857$

باشد که با محاسبه ی ضرایب 1 تا 6

$N$

می توانیم ببینیم که این عدد در شرایط سوال صدق می کند و اگر یکان

$N$

نه باشد به راحتی بدست می آید که دهگان آن باید 4 باشد اما برای صدگان آن انتخابی وجود ندارد. حالا دسته ی دوم را بررسی می کنیم. اگر یکان

$N$

جزء ارقام این دسته باشد پنج رقم به طور یکتا مشخص می شود. در حالت اول فرض کنید رقم دیگر جزء ارقام همین دسته باشد. در حالت های مختلف یکان می توانیم به راحتی به تناقض برسیم. برای 2،

$5N$

و برای 4،

$4N$

و برای 6،

$3N$

و برای 8،

$2N$

را در نظر می گیریم. در هر یک از این اعداد رقم دهگان عددی فرد است و جزء مجموعه ارقام مورد نظر نیست. در حالت دوم فرض کنید به غیر از این 5 رقم یک رقم فرد دیگر نیز جزء مجموعه ارقام

$N$

باشد. اگر این رقم فرد جزء ارقام گروه اول باشد در

$5N$

رقم 5 وجود دارد که تناقض است. حالا فرض کنید

$N$

از ارقام گروه دوم و سوم تشکیل شده باشد. اگر رقم سمت چپ رقم 5، 2 نباشد به وضوح

$6N$

دارای رقمی فرد و غیر از 5 است که تناقض است و اگر رقم سمت چپ رقم 5، 2 باشد حداقل یکی از اعداد

$3N$

و

$5N$

رقمی فرد و غیر از 5 دارد که این هم تناقض است. حالا اگر رقم یکان

$N$

از دسته ی سوم باشد با توجه به جدول 1 هیچ کدام از ارقام دسته ی اول نمی توانند در

$N$

باشند و حالت

$N$

دارای ارقام دسته ی دوم و دسته ی سوم هم که بررسی شد. پس تنها حالتی می ماند که

$N$

فقط از ارقام دسته ی سوم تشکیل شده باشد. این حالت هم به راحتی رد می شود برای مثال اگر

$2N$

را محاسبه کنیم می توانیم ببینیم که این عدد همواره شامل رقم 1 است که تناقض می باشد. پس تنها جواب سوال

$\boxed {N=142857}$

است.

▬ فیتیلستان ریاضی (2) - 23 آبان 1393 ▬

سطح سوال این مسابقه برای شما چگونه بود؟

ساده و آسان (آب خوردن)

مشکل و فیتیله‌ای

IRYSC-team

مدیر آیریسک

AHZolfaghari

Well-Known Member

Dadgarnia

New Member