☻ماراتن سوالات ریاضی دوم دبیرستان☺

amir.mi · 1394/2/27

پاسخ : ماراتن سوالات ریاضی اول دبیرستان

سوال سه ص 134 تکمیلی!
شما که همتون سمپادی و کلاس اولی هستید، نیازی به تایپ سوال نیست

حمید آنالیز · 1394/2/27

پاسخ : ماراتن سوالات ریاضی اول دبیرستان

amir.mi گفت

نه قانون تایپ سواله تایپ کنین

amir.mi · 1394/2/27

پاسخ : ماراتن سوالات ریاضی اول دبیرستان

$p,q,{p}',{q}'\epsilon \mathbb{R}$

. می دانیم که

$p{p}'=2(q+{q}')$

. ثابت کنید که دست کم یکی از چند جمله ای های زیر ریشه دارد.

$x^{2}+{p}'x+{q}'$

یا

$x^{2}+px+q$

jan123 · 1394/2/27

پاسخ : ماراتن سوالات ریاضی اول دبیرستان

فرض کنیم هردو ریشه نداشته باشد (فرض خلف)
پس باید

$\Delta _{1}:p^2-4q< 0\rightarrow p^2<4q,\Delta _{2}:{p}'^2-4{q}'<0\rightarrow {p}'^2<4{q}'$

پس:

$p^2*{p}'^2<4q*4{q}'$

از فرض سوال داریم:

$p^2*{p}'^2=4(q+{q}')^2$

لذا باید داشته باشیم

$(q+{q}')^2< 4q{q}'\rightarrow q^2+{q}'^2-2q{q}'<0\rightarrow (q-{q}')^2<0$

که امکان ندارد پس فرض خلف باطل و حکم ثابت است

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعدی:
با فرض

$0\leq \alpha \leq \frac{\pi }{2}$

ثابت کنید

$a^2tan^2\alpha +b^2cot^2\alpha \geq 2ab,a,b\epsilon \mathbb{R}$

amir.mi · 1394/2/27

پاسخ : ماراتن سوالات ریاضی اول دبیرستان

سوالات تجزیه خوبی که دیده اید رو هم بگذارید.(بجز سوال 4 مبتکران!(شاید هم فقط برای من سخت بوده:185

)

پاسخ سوال مثلثات:
می دانیم

$(\frac{a\times sin}{cos}-\frac{b\times cos}{sin})^{2}\geqslant 0$

پس آن را باز می کنیم.

jan123 · 1394/2/27

پاسخ : ماراتن سوالات ریاضی اول دبیرستان

سوال بعدی رو خودتون باید بذارید سوال تجیزه خوب پیدا شد میذارم

_Mobin_ · 1394/2/27

پاسخ : ماراتن سوالات ریاضی اول دبیرستان

amir.mi گفت

توی ماراتن اتحاد و تجزیه می تونید سوالات تجزیه زیبایی ببینید.

Dadgarnia · 1394/3/2

پاسخ : ماراتن سوالات ریاضی اول دبیرستان

سه تا سوال قشنگ ميذارم كه به ترتيب سختي مرتبشون كردم:
1- اگه

$a,b,c$

اعدادي حقيقي و نا صفر باشند به طوريكه

$a+b+c=0$

ثابت كنيد

$\frac{a^5+b^5+c^5}{5}=\left ( \frac{a^3+b^3+c^3}{3} \right )\left ( \frac{a^2+b^2+c^2}{2} \right )$

.
2- اگه

$a,b,c,x,y,z$

اعدادي حقيقي باشند ثابت كنيد (لطفا يه راه قشنگ براي اين سوال بدين و گرنه باز كردن اين عبارت كاري نداره)

$(ax+by+cz-ay-bz-cx)^2+(ay+bz+cx-az-bx-cy)^2$

$+(az+bx+cy-ax-by-cz)^2$

$=\frac{1}{2}((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)$

3- اگه

$a,b,c$

اعدادي حقيقي باشند به طوريكه

$(a^2+b^2+c^2)^3=3(a^2b+b^2c+c^2a)^2$

ثابت كنيد

$a=b=c$

.

jan123 · 1394/3/2

پاسخ : ماراتن سوالات ریاضی اول دبیرستان

Dadgarnia گفت

1-اویلر:

$a+b+c=0\rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc$

مربع سه جمله ای:

$a+b+c=0\rightarrow a^2+b^2+c^2=2(-ab-ac-bc)$

قرار میدهیم:

$c=-a-b$

پس:

$c=-a-b\rightarrow a^5+b^5+c^5=-5ab(a^3+2ab(a+b)+b^3)=-5ab((a+b)(a^2+ab+b^2))=-5ab(-c[(-a-b)(-a-b)-ab])=5abc(-ac-bc-ab)$

اگر مقایر بالارو قراربدیم حکم ثابت میشه

حمید آنالیز · 1394/3/2

پاسخ : ماراتن سوالات ریاضی اول دبیرستان

Dadgarnia گفت

برای سوال سه سه تایی

$(a,b,c)=(\frac{1}{9},\frac{1}{9},\frac{1}{9})$

هم درست در میاد طبق حسابی هندسی که از دو طرف بگیریم!

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

حمید آنالیز گفت

فک میکنم حکم مسئله:

$a=b=c$

باشد

Dadgarnia · 1394/3/2

پاسخ : ماراتن سوالات ریاضی اول دبیرستان

حمید آنالیز گفت

بله من اشتباه نوشتم ولي اولا كلا با حسابي هندسي حل نميشه دوما سوال گفته اعداد حقيقي.

silent hell · 1394/3/2

پاسخ : ماراتن سوالات ریاضی اول دبیرستان

آقا من معادله خط یاد م نیست یکی بحله معادله خطی که از نقطه عرض 2 طول 3 بگذرد و موازی محور ایکس باشد خواهشا بحلید

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

آقا من معادله خط یاد م نیست یکی بحله معادله خطی که از نقطه عرض 2 طول 3 بگذرد و موازی محور ایکس باشد خواهشا بحلید

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

آقا من معادله خط یاد م نیست یکی بحله معادله خطی که از نقطه عرض 2 طول 3 بگذرد و موازی محور ایکس باشد خواهشا بحلید

حمید آنالیز · 1394/3/2

پاسخ : ماراتن سوالات ریاضی اول دبیرستان

silent hell گفت

آقا من معادله خط یاد م نیست یکی بحله معادله خطی که از نقطه عرض 2 طول 3 بگذرد و موازی محور ایکس باشد خواهشا بحلید

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

آقا من معادله خط یاد م نیست یکی بحله معادله خطی که از نقطه عرض 2 طول 3 بگذرد و موازی محور ایکس باشد خواهشا بحلید

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

آقا من معادله خط یاد م نیست یکی بحله معادله خطی که از نقطه عرض 2 طول 3 بگذرد و موازی محور ایکس باشد خواهشا بحلید

موازی محور xینی xمتغیرyثابت
که میشهy=2. ...

silent hell · 1394/3/3

پاسخ : ماراتن سوالات ریاضی اول دبیرستان

دوستان اعداد گنگ هم جمله به حساب میان سوال دوم تو تجزیه در اون دو عبارت که ضرب مشن میتونه عدد گنگ مثل رادیکال 2 بیاد

Sharifi_M · 1394/3/5

پاسخ : ماراتن سوالات ریاضی اول دبیرستان

silent hell گفت

عموما تجزیه با ضرایب صحیح مطرحه وگرنه هر چند جمله ای رو میشه به حاصلضرب تعدادی چندجمله ای درجه یک و تعدادی درجه دو تجزیه کرد با ضرایب حقیقی و اگر اعداد مختلط هم باشن میشه هر چند جمله ای درجه n رو به n چند جمله ای درجه 1 تجزیه کردبا ضرایب موهومی.
+ولی عموما تو دبیرستان تجزیه به عبارت صحیح مطرحه که بسیار کاربردی ترم هست!

135790 · 1394/3/5

پاسخ : ماراتن سوالات ریاضی اول دبیرستان

ثابت کنید:
الف)

$(x^2+y^2+z^2)^2-2(x^4+y^4+z^4)=(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z){\color{DarkGreen} }$

ب)اگر a,b,c سه عدد مثبت بوده و

$2(a^8+b^8+c^8)=(a^4+b^4+c^4)^2$

در این صورت a,b,c می توانند طول اضلاع مثلث قایم الزاویه باشند.

حمید آنالیز · 1394/3/5

پاسخ : ماراتن سوالات ریاضی اول دبیرستان

135790 گفت

الف)به وضوح طرف چپ دو برابر ضرب دوبه دوی خود جملات میماند که این خودش جوابب سمت راسته توضیح اینکه سمت راست اتحاد همگنیه که جوابی رو که گفتم به دست میده.

ب)
بدون شرح:

$\sum a^8-2\sum a^4b^4=0 (a^4+b^4-c^4)^2=4a^4b^4\rightarrow a^4+b^4-c^4=2a^2b^2 \rightarrow a^2+b^2=c^2!!!!$

اصلاح این که:

$b^2+c^2=a^2$

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

Moshk گفت

قسمت بولد غلطه چون مثلا ما چندجمله ای هایی رو داریم که موهومی تجزیه میشن!!!
مثلا شما اگه میتونید اینو به ضرایب حقیقی تجزیه کنین:

$p(x)=\sum_{i=0}^{n}x^{i}$

:4:

amir007 · 1394/3/5

پاسخ : ماراتن سوالات ریاضی اول دبیرستان

یعنی ، تاپیک ریاضی یکه

Sharifi_M · 1394/3/5

پاسخ : ماراتن سوالات ریاضی اول دبیرستان

حمید آنالیز گفت

چرا این چندجمله ای؟ :4: الان هر چند جمله ای رو برات تجزیه میکنم :‌))
حکم: هر چند جمله ای

$p(x)$

را میتوان به حاصلضرب تعدادی چندجمله ای درجه دو و تعدادی چند جمله ای درجه یک تجزیه کرد به طوری که ضرایب چندجمله ای ها حقیقی باشند.
اثبات:
لم: اگر عدد موهومی

$a+bi$

$a,b\in \mathbb{Z}$

ریشه

$p(x)$

باشه آنگاه

$a-bi$

(که اسمش بار اون عدده) هم ریشه ی این چند جمله ایه(اثبات با شما!، فک کنم تو ریاضی خلاقیت پایا هم اینو گفته!)
میدونیم هر چند جمله ای، زوج تا ریشه موهومی داره (اثباتشم میشه همون اثبات بالاییه) پس فرض میکنیم چند جمله ای

$p(x)$

با درجه n دارای 2k ریشه موهومی هست که 2k<n. پس چند جمله ای ما رو میشه بصورت زیر نوشت (a ضریب پیشرو cj ها ریشه های حقیقی):

$p(x)=a\prod_{l=1}^{k}((x-(a_{l}+b_{l}i))(x-(a_{l}-b_{l}i)))\prod_{j=1}^{n-2k}(x-c_{j})$

$=$

$a\prod_{l=1}^{k}(x^{2}-((a_{l}+b_{l}i)+(a_{l}-b_{l}i))x+(a_{l}+b_{l}i)(a_{l}-b_{l}i))\prod_{j=1}^{n-2k}(x-c_{j})$

$=$

$a\prod_{l=1}^{k}(x^{2}-2a_{l}x+a_{l}^{2}+b_{l}^{2})\prod_{j=1}^{n-2k}(x-c_{j})$

حالا اون a رو میشه تو یه چند جمله ای ضرب کرد!
حکم اثبات شد!

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

amir007 گفت

تقریبا :‌))

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

حمید آنالیز گفت

برا این به تنهایی فک کنم بشه اثبات خاص و جداگانه و احتمالا با استقرا آورد! هر چند اثبات بالا اینو پوشش میده :4:

Dadgarnia · 1394/3/5

پاسخ : ماراتن سوالات ریاضی اول دبیرستان

Moshk گفت

چرا این چندجمله ای؟ :4: الان هر چند جمله ای رو برات تجزیه میکنم :‌))
حکم: هر چند جمله ای

$p(x)$

را میتوان به حاصلضرب تعدادی چندجمله ای درجه دو و تعدادی چند جمله ای درجه یک تجزیه کرد به طوری که ضرایب چندجمله ای ها حقیقی باشند.
اثبات:
لم: اگر عدد موهومی

$a+bi$

$a,b\in \mathbb{Z}$

ریشه

$p(x)$

باشه آنگاه

$a-bi$

(که اسمش بار اون عدده) هم ریشه ی این چند جمله ایه(اثبات با شما!، فک کنم تو ریاضی خلاقیت پایا هم اینو گفته!)
میدونیم هر چند جمله ای، زوج تا ریشه موهومی داره (اثباتشم میشه همون اثبات بالاییه) پس فرض میکنیم چند جمله ای

$p(x)$

با درجه n دارای 2k ریشه موهومی هست که 2k<n. پس چند جمله ای ما رو میشه بصورت زیر نوشت (a ضریب پیشرو cj ها ریشه های حقیقی):

$p(x)=a\prod_{l=1}^{k}((x-(a_{l}+b_{l}i))(x-(a_{l}-b_{l}i)))\prod_{j=1}^{n-2k}(x-c_{j})$

$=$

$a\prod_{l=1}^{k}(x^{2}-((a_{l}+b_{l}i)+(a_{l}-b_{l}i))x+(a_{l}+b_{l}i)(a_{l}-b_{l}i))\prod_{j=1}^{n-2k}(x-c_{j})$

$=$

$a\prod_{l=1}^{k}(x^{2}-2a_{l}x+a_{l}^{2}+b_{l}^{2})\prod_{j=1}^{n-2k}(x-c_{j})$

حالا اون a رو میشه تو یه چند جمله ای ضرب کرد!
حکم اثبات شد!

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

تقریبا :‌))

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

برا این به تنهایی فک کنم بشه اثبات خاص و جداگانه و احتمالا با استقرا آورد! هر چند اثبات بالا اینو پوشش میده :4:

البته فرض

$\deg(P)>2$

رو هم بايد داشته باشيم.

☻ماراتن سوالات ریاضی دوم دبیرستان☺

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member