2f(x^2+y^2)-f(x)-f(y)\in{0,1,...,n

[M_Sharifi]

یه سوال:
کوچک ترین عدد صحیح و نامنفی

را بیایبد که تابع غیر ثابت

وجود داشته باشد که برای هر دو عدد صحیح

،
1)

و
2)

هم چنن برای این مقدار

، همه ی توابعی را که در شرط های بالا صدق می کنند، به دست آورید.

 

[shoki]

eh... این که سوال دوره ی پارسال بود !! یه راهنمایی کوچولو ... ربط پیدا می کنه به اعداد اول به فرم 4k+3 ...

 

[mohammad_72]

فقط برای n = 1 و n = 2 تابعی غیر ثابت وجود داره.
اگه n = 1 اونوقت عدد اول به شکل 4k+3 وجود داره
که برای مضارب p داریم f(x) = 0 و برای بقیه‌ی اعداد f(x) = 1

برای n = 2 عددی مثل k وجود داره که عاملهای اولش
به شکل 4k+3 هستن و اگه (x, k) = 1 اونوقت f(x) = 1 وگرنه f(x) = 0

 

[mahanmath]

من فقط n=1 در اوردم

(گفته حداقل ...)

بعدشم تابعش که تابلو بود !! قسمت باحال سوال پیدا کردن همه تابع ها است ... (راهنمایی : اتحاد Lagrange)

 

[mohammad_72]

من فقط n=1 در اوردم

(گفته حداقل ...)

بعدشم تابعش که تابلو بود !! قسمت باحال سوال پیدا کردن همه تابع ها است ... (راهنمایی : اتحاد Lagrange)

تمام توابع غیرثابت f همونجوری هستن که نوشتم (البته اگه بازم سوتی نداده باشم! )
راه من اینجوریه :
راحت میشه دید مقدار f یا صفره یا یک. حالا (چه برای n = 1، چه برای n = 2)
داریم

و

که با استقرا نتیجه میده اگه k عامل اولی به شکل 4k+3 نداشته باشه، اونوقت f(k) = 1 و
اگه n =1 داریم

که نتیجه میده
دقیقا یه عدد اول p هست که f(p) = 0
اگه n‌ = 2 هم نتیجه می‌گیریم مجموعه S از اعداد اول به شکل 4k+3 وجود داره که f(t) = 0 اگر و
فقط اگر t بر حداقل یکی از اعضای S بخشپذیر باشه.

(راستی، سوتی داده بودم !!! مجموعه‌ی S لزوما متناهی نیست ولی من فرض کرده بودم متناهیه)

راه حل شما چه جوریه ؟

 

[mahanmath]

چه چوری نتیجه گرفتید دقیقا یه p اول با خاصیت f(p)=0 وجود داره ؟ (من با Lagrange و بزو این نتیجه رو گرفتم و بقیش هم که معلومه ....)

ببخشید خنگم

 

[mohammad_72]

من گفتم اگه

چون

عامل اول
به شکل 4k+3 نداره پس

که با شرط دوم در تناقضه.

اگه هم هیچ عدد اولی وجود نداشته باشه که f رو صفر کنه تابع هیچوقت صفر نمیشه.

 

[mohammad2004]

من از 20 نمره ی این سوال 3 گرفتم