a\sqrt{bc}+b\sqrt{cd}+c\sqrt{da}+d\sqrt{ab

M_Sharifi · 1390/3/24

یه سوال:
برای اعداد حقیقی و نامنفی

$a,b,c,d$

با مجموع 4 ثابت کنید

$a\sqrt{bc}+b\sqrt{cd}+c\sqrt{da}+d\sqrt{ab}\leq2\left(1+\sqrt{abcd}\right)$

mahanmath · 1390/3/24

پاسخ : a\sqrt{bc}+b\sqrt{cd}+c\sqrt{da}+d\sqrt{ab

با فرض

$a \geq b \geq c \geq d$

داریم سمت چپ کمتر از:

$\sqrt{a}(\sqrt{abc}) + \sqrt{b}(\sqrt{abd})+ \sqrt{c}(\sqrt{acd}) +\sqrt{d}(\sqrt{bcd})$

با بردن اون رادیکال 2abdc به اون طرف نابرابری , نابرابری درست زیر مساله رو حل می*کنه :

$\sqrt{bc}(\sqrt{a}-\sqrt{d})^2 +\sqrt{ad}(b +c) \leq \frac{(b+c)(a +d)}{2} \leq 2$