p^q+p^r مربع کامل شود.

M_Sharifi · 1389/6/22

یه سوال:
همه ی سه تایی های

$(p,q,r)$

از اعداد اول را بیابید که

$p^q+p^r$

مربع کامل شود.

mahdisaj · 1389/6/22

مسیله را به دو حالت افراز می کنیم :
1)

$r\neq q$

پس بدون کم شدن از کلیت مسیله می توان فرض کرد که q=r+a که

$a\in \mathbb{N}$

پس داریم :

$p^{r}\left ( p^{a}+1 \right )=k^{2}$

$\left ( p^{r},p^{a}+1 \right )=1$

پس هر دو عدد باید مربع کامل باشند پس :

$r =2t \rightarrow r=2$

$p^{a}+1 =s^{2}\rightarrow p^{a}=\left ( s-1 \right )\left ( s+1 \right )\rightarrow s\pm 1\mid p^{a}$

پس داریم :

$s-1 = p^{b} , s+1 = p^{c}$

فاصله دو توان غیر متوالی از یک عدد طبیعی برابر 2 است که تناقض است . پس در این حاللت جوابی نخواهیم داشت
2)

$r=q$

$2p^{r}=k^{2}\rightarrow 2\mid k^{2}\rightarrow 4\mid k^{2}\rightarrow 2\mid p^{r} \rightarrow p=2$

$2^{r+1}=k^{2}\rightarrow r=2t+1$

پس جواب های مسیله به صورت زیر خواهد بود :

$\left ( p,q,r \right )=\left ( 2,2t+1 ,2t+1 \right ) , t\in \mathbb{N}\cup \left \{ 0\left. \right \} \right.$

درسته ؟؟؟؟

mrbayat · 1389/6/22

اول فرض می کنیم:q=r

$p^{q}+p^{r}=a^{2}\overset{q=r}{\Rightarrow} 2p^{q}=a^{2}\Rightarrow 2\mid a^{2}\Rightarrow 4\mid a^{2}\Rightarrow 4\mid 2p^{q}\Rightarrow 2\mid p^{q}\Rightarrow$

$p=2\Rightarrow 2^{q+1}=a^{2}\Rightarrow q\overset{2}{\equiv} 1\Rightarrow (p,q,r)=(2,q,q)(q\neq 2)$

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

حالا فرض می کنیم:q>r(حالت r>q هم همینطوریه)

$p^{q}+p^{r}=a^{2}\overset{q>r}{\Rightarrow}p^{r}(p^{q-r}+1)=a^{2},p\neq 2\Rightarrow p^{q-r}\overset{4}{\equiv}3$

$\Rightarrow p\overset{4}{\equiv}3\Rightarrow p^{q}+p^{r}\overset{4}{\equiv}0\Rightarrow (-1)^{q}+(-1)^{r}\overset{4}{\equiv}0\Rightarrow r=2$

در این جا چون زو جیت q,r باید فرق داشته باشد پس یکی از آن ها 2 است که در این جا r را در نظر گرفتیم.

$\Rightarrow p^{q}+p^{2}=a^{2}\Rightarrow p^{q}=(a-p)(a+p)$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+p=p^{\alpha }\\ a-p=p^{\beta } \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow a=p^{\alpha }-p=p^{\beta }+p\Rightarrow p^{\alpha -1 }=p^{\beta -1 }+2\Rightarrow 2\overset{p}{\equiv}0\Rightarrow p=2$

$\Rightarrow 2^{\alpha -1 }=2^{\beta -1 }+2=2(2^{\beta -2}+1)\Rightarrow \beta -2=0\Rightarrow \beta =2\Rightarrow \alpha =3$

$\Rightarrow q=\alpha +\beta =2+3=5\Rightarrow 2^{5}+2^{2}=6^{2}\Rightarrow (p,q,r)=(2,5,2)$

در حالتی که

$\beta =1$

داریم:

$\beta =1\Rightarrow p=3\Rightarrow \alpha =2\Rightarrow q=\alpha +\beta =3\Rightarrow (p,q,r)=(3,3,2)$

توجه کنید که در این جا p را مخالف 2 فرض کردیم در واقع ما می خواستیم ثابت کنیم که p برابر 2 است و آن فرض p مخالف 2 برهان خلف بود.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
پس جواب های مسئله عبارتند از:

[center:084e0e2ec4]

$(p,q,r)=(2,q,q)(q\neq 2), (2,5,2),(3,3,2)$

[/center:084e0e2ec4]

mrbayat · 1389/6/22

mahdisaj گفت

در این قسمت جوابی خواهیم داشت. راه حلم رو نگاه کنید.p=2 , s=3 , b=1 , c=2

من نمیدونستم که شما جواب دادید وگرنه جواب کامل رو نمی نوشتم چون آفلاین بودم و داشتم راه حل رو تایپ می کردم نمیدونستم کسی به این سوال جواب داده یا نه راه حلم رو گذاشتم.

mahdisaj · 1389/6/22

mrbayat گفت

اگر q=4 و p=2 خوب با حالت اول تناقض داره یعنی q باید فرد باشد

mrbayat · 1389/6/22

mahdisaj گفت

حواستون کجاس؟ q اوله پس q نمیتونه 4 باشه. وقتی q اوله و 2 نیست یعنی q میتونه هر عدد اول فردی باشه .

p^q+p^r مربع کامل شود.

M_Sharifi

راهبر ریاضی

mahdisaj

New Member

mrbayat

New Member

mrbayat

New Member

mahdisaj

New Member

mrbayat

New Member