(P(x),P(y))=P((x,y)

M_Sharifi · 1389/1/30

سوال آزمون آزمایشی:
الف) همه ی چندجمله ای های

$P(x)$

با ضرایب صحیح را بیابید که برای هر دو عدد طبیعی

$x,y$

،

[center:d14f7455a5]

$\gcd\left(P(x),P(y)\right)=P\left(\gcd(x,y)\right)$

ب) آیا تابعی وجود دارد که در ویژگی (الف) صدق کند، ولی چندجمله ای نباشد؟

[/center:d14f7455a5]

shoki · 1389/1/30

الفش که راحته ... از این نکته استفاده می شه که اگر چند جمله ای ثابت نباشه اون وقت بی نهایت عدد اول p وجود دارند به طوری که برای هر کدومشون یه n طبیعی وجود داشته باشه که (p | P(n . در مورد ب هم ...

seifi_seifi · 1389/1/30

قسمت ب هم ثابت کنید این دو تابع صدق میکنند : 1) فیبوناچی 2)f(n)=a^n-1

M_Sharifi · 1389/1/30

راه حل قسمت الف)
فرض کنید

$q$

عددی اول و به اندازه ی کافی بزرگ باشد. در این صورت اگر چندجمله ای، ثابت نباشد،

$P(q)>P(1)\geq1$

(چرا؟).

$r$

را عامل اولی از

$P(q)$

در نظر می گیریم. در این صورت اگر

$r\ne q$

، طبق قضیه ی دیریکله، یب نهایت عدد اول به فرم

$s=rk+q$

وجود دارد. بنابراین

[center:d1176643a2]

$r\mid s-q\mid P(s)-P(q)\Rightarrow r\mid P(s)\Rightarrow r\mid\gcd(P(s),P(q))=P(1)$

بنابراین هر مقسوم علیه اول

$P(q)$

یا

$q$

است و یا مقسوم علیه اولی از

$P(1)$

. ضمن اینکه به وضوح،

$P(1)\mid P(q)$

. اگر

$P(1)\ne1$

، فرض کنید تجزیه ی

$P(1)$

به عوامل اول، به صورت

$P(1)=t_1^{\alpha_1}t_2^{\alpha_2}\cdots t_n^{\alpha_n}$

باشد و

$q$

از

$t_i$

ها بزرگ تر باشد. در این صورت حداکثر

$n$

عدد اول

$q$

پیدا می شود که

$\frac{P(q)}{P(1)}$

عامل اولی از

$P(1)$

را داشته باشد. چرا که در غیر این صورت دو عدد اول

$q_1,q_2$

پیدا می شوند که

$\frac{P(q_1)}{P(1)},\frac{P(q_2)}{P(1)}$

عامل اول مشترکی از

$P(1)$

مانند

$t_1$

را دارند. بنابراین

$t_1P(1)\mid\gcd(P(q_1),P(q_2))=P(1)$

که غیر ممکن است. پس در هر صورت، بی نهایت عدد اول

$q$

وجود دارد که

$P(q)$

به فرم

$P(1)\cdot q^a$

است، که

$a$

می تواند تغییر کند. حال اگر چندجمله ای

$P(x)$

به صورت

$P(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_1x+a_0$

[/center:d1176643a2]
باشد،

[center:d1176643a2]

$\lim_{q\to\infty}\frac{P(q)}{q^m}=a_m\Rightarrow\lim_{q\to\infty}P(1)q^{\alpha-m}=a_m$

پس برای های برای

$q$

های به اندازه ی کافی بزرگ،

$\alpha=m$

و

$a_m=P(1)$

. یعنی

$P(q)=a_mx^m$

. حال چون برای بی نهایت مقدار

$q$

،

$P(q)=aq^m$

، پس برای هر

$x$

،

$P(x)=ax^m$

، که

$a>0$

و

$m\geq1$

. چند جمله ای ثابت

$P(x)=a$

نیز به وضوح جواب دیگری از مسئله است. (

$a\in\Bbb N$

)

[/center:d1176643a2]

(P(x),P(y))=P((x,y)

M_Sharifi

راهبر ریاضی

shoki

New Member

seifi_seifi

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی