symmetric point lies on a line

[Aref]

فرض کنید در مثلث

نقاط

به ترتیب وسط های پاره خط های

باشند که

پای ارتفاع راس

می باشد. همچنین فرض نمایید که

نقطه ی Lemoine باشد.
ثابت کنید نقاط

بر یک خط راست قرار گرفته اند.

 

[bgo]

پاسخ : symmetric point lies on a line

فرض کنید میانه متقرن نظیر

ضلع

را در

و

را در

قطع کند داریم

و

مماسه پس

و از طرفی چون

پس حکم نتیجه میشه

 

[Aref]

پاسخ : symmetric point lies on a line

مرسی. هر چند که باید می نوشتید چرا 4 تا نقطه ی p,k,q,a یه گستره ی همساز تشکیل میدند.(که راه قشنگی هم نیست)
این سوال یه حل خیلی قشنگ داره.

 

[fereidoon]

پاسخ : symmetric point lies on a line

اگه خواستيد روي عكس سوال هم فك كنيد,يعني اگه m,n,x هم خط باشد ايا لزومي دارد x همان نقطه لوموان باشد؟شرط كافي نقطه x چيست؟

 

[goodarz]

پاسخ : symmetric point lies on a line

مثلا اگه بگیم شرط کافی واسه نقطه x رو اون خط اینه که xab=gac قبوله؟؟

 

[fereidoon]

پاسخ : symmetric point lies on a line

نه خب ببخشيد من يك لحظه متوجه حرف شما نشدم,خير اين شرط كافي هست,ولي لازم نيست,شرط لازمش خيلي جالب و زيباست.

 

[goodarz]

پاسخ : symmetric point lies on a line

اینی که من گفتم خود تعریف اون نقطه است!!! مگه لموین مزدوج همزاویه g نیست؟؟

 

[fereidoon]

پاسخ : symmetric point lies on a line

بله تصحيح كردم حرفمو

 

[goodarz]

پاسخ : symmetric point lies on a line

این که قوتش نسبت به هر سه تا دایره آپولونیوس برابر باشه هم نیست؟؟؟ یعنی رو خط واصل مرکز محیطی و فرما پریم باشه.....

 

[fereidoon]

پاسخ : symmetric point lies on a line

اينا چيه؟؟؟؟!!!!!:211: (نكنه اينم يه تعريف ديگشه!!!)نمي دونم,اوني من مي دونم سادست ولي قشنگه

 

[goodarz]

پاسخ : symmetric point lies on a line

یه سوال جالب الان یادم اومد: فرض کنید تو مثلث abc, کوچیکترین ضلع ab باشه. از بین مثلث های متساوی الاضلاعی که یه راسشون روی ab, یه راسشون روی امتداد bc و اون یکی راسشون روی امتداد ca هست کدومشون کم ترین محیط رو داره؟؟

 

[bgo]

پاسخ : symmetric point lies on a line

مرسی. هر چند که باید می نوشتید چرا 4 تا نقطه ی p,k,q,a یه گستره ی همساز تشکیل میدند.

این که خیلی آسونه مثلا اگه میانه متقارن A دایره محیطی رو تو T قطع کنه

حالا با تصویر این نقطه ها رو رو خط می ریزیم............

(که راه قشنگی هم نیست)
این سوال یه حل خیلی قشنگ داره.

همساز قشنگ نیست؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟
:13::13::13::13::13::13::13::13::13::13::13::13::13::13::13::13::13::13::13:

به نظر من قشنگ ترین ابزار هندسه همسازه

حالا میشه اون راه قشنگتون هم بگید:176:

 

[Aref]

پاسخ : symmetric point lies on a line

نه خب ببخشيد من يك لحظه متوجه حرف شما نشدم,خير اين شرط كافي هست,ولي لازم نيست,شرط لازمش خيلي جالب و زيباست.

این شرط لازم هم هست. یعنی اگه این شرط نباشه، اون نقطه هم l نمیشه. اون حکمتون رو بگید، تا ثابتش کنیم.

 

[Aref]

پاسخ : symmetric point lies on a line

حالا میشه اون راه قشنگتون هم بگید:176:

این یه راه کاملا synthetic هستش.
راهنمایی: از L اگه خط های موازی با مثلث PQR (مثلثی که از محل برخورد مماسا به دست میاد) موازی بکشیم تا مثلث رو تو 6 تا نقطه قطع کنه، یه 6 ضلعی محاطی با مرکز L داریم.بقیش راحته.

 

[bgo]

پاسخ : symmetric point lies on a line

این یه راه کاملا synthetic هستش.
راهنمایی: از L اگه خط های موازی با مثلث PQR (مثلثی که از محل برخورد مماسا به دست میاد) موازی بکشیم تا مثلث رو تو 6 تا نقطه قطع کنه، یه 6 ضلعی محاطی با مرکز L داریم.بقیش راحته.

خب این راه حل synthetic تون یه نتیجه از همون همسازست دیگه............

 

[Aref]

پاسخ : symmetric point lies on a line

من تو این راه حل چیزی جز چهار ضلعی محاطی نمیبینم.

 

[bgo]

پاسخ : symmetric point lies on a line

من تو این راه حل چیزی جز چهار ضلعی محاطی نمیبینم.

میدونم راهی که شما میدونید با چهارضلعی محاطیه ولی اونی که اینو داده احتمالا میخواسته یه جوری این همسازه رو ترجمه کنه

 

[Aref]

پاسخ : symmetric point lies on a line

همساز،4ضلعی محاطی؟ فکر نکنم به هم بخورن. اگه منظورتون قبلشه، یعنی مثلا ثابت کنیم که pc مماسه؟ خوب اینم یه راه با 4ضلعی محاطی داره.

 

[bgo]

پاسخ : symmetric point lies on a line

اون که با هر چی بگی یه راه حل داره

به هر حال من گفتم چون اون همسازه واضحتره هیشکی اول نمیره سراغ اون 6 ضلعی محاطیه وقتی با یه ابزار دیگه (مثلا همساز) حل کرد سعی میکنه سوادی رو که برای حل سوال لازم داره رو کم کنه که این کارا رو میکنه

ضمنن روابط طولی همساز هم خیلی با چهارضلعی محاطی ارتباط داره.............

به هر حال ممنون
بی خیال

 

[Aref]

پاسخ : symmetric point lies on a line

فرض کنید در مثلث

نقاط

به ترتیب وسط های پاره خط های

باشند که

پای ارتفاع راس

می باشد. همچنین فرض نمایید که

نقطه ی Lemoine باشد.
ثابت کنید نقاط

بر یک خط راست قرار گرفته اند.

فرض کنید که

دایره ی محیطی مثلث

باشد. همچنین نقاط

به ترتیب مرکز دایره ی محیطی،
محل برخورد دو مماس در نقاط

بر دایره ی محیطی و محل برخورد دایره ی محیطی با

باشد.

از طرفی:

پس:

و در نتیجه چهارضلعی

محاطی است. پس داریم:

. اکنون اگر

آنگاه

(اینا همش کمانه)
که نتیجه می دهد:

مزدوج هم زاویه ی میانه ی

هست. پس

از Lemoine می گذرد.
حالا اگه از

موازی اضلاع مثلث مماسی رسم کنیم 6 نقطه ی

به وجود می آیند. الان واضحه که

بقیشو پس فردا
می نویسم