☻ماراتن سوالات ریاضی دوم دبیرستان☺

jan123 · 1394/3/7

پاسخ : ماراتن سوالات ریاضی دوم دبیرستان

آره شرمنده من اشتباه کردم
سوال بعدی:
کوچکترین عدد طبیعی که بتوان آن را هم به صورت مجموع 10عدد طبیعی متوالی و هم 9 عددطبیعی متوالی نوشت را پیدا کنید

Sharifi_M · 1394/3/7

پاسخ : ☻ماراتن سوالات ریاضی دوم دبیرستان☺

فرض میکنیم اون نه عدد اعداد : i,i+1,...,i+8 و اون 10 عدد j,j+1,...,j+9 باشند پس در نتیجه:

$i+(i+1)+(i+2)+...+(i+8)=j+(j+1)+(j+2)+...+(j+9)$

$\Rightarrow$

$\frac{(i+8)(i+9)}{2}-\frac{i(i-1)}{2}=\frac{(j+9)(j+10)}{2}-\frac{j(j-1)}{2}$

$\Rightarrow$

$\frac{(i^2+17i+72)-(i^2-i)}{2}=\frac{(j^2+19j+90)-(j^2-j)}{2}$

$\Rightarrow$

$18i+72=20j+90$

$\Rightarrow$

$9(i-1)=10j$

$10|9(i-1)\Rightarrow 10|i-1$

کوچکترین i طبیعی که اینجا صدق میکنه، یکه. ولی در این صورت j صفر میشه. پس i=11 و j=9
اون عددم میشه 135
درسته؟

jan123 · 1394/3/7

پاسخ : ☻ماراتن سوالات ریاضی دوم دبیرستان☺

Moshk گفت

فرض میکنیم اون نه عدد اعداد : i,i+1,...,i+8 و اون 10 عدد j,j+1,...,j+9 باشند پس در نتیجه:

$i+(i+1)+(i+2)+...+(i+8)=j+(j+1)+(j+2)+...+(j+9)$

$\Rightarrow$

$\frac{(i+8)(i+9)}{2}-\frac{i(i-1)}{2}=\frac{(j+9)(j+10)}{2}-\frac{j(j-1)}{2}$

$\Rightarrow$

$\frac{(i^2+17i+72)-(i^2-i)}{2}=\frac{(j^2+19j+90)-(j^2-j)}{2}$

$\Rightarrow$

$18i+72=20j+90$

$\Rightarrow$

$9(i-1)=10j$

$10|9(i-1)\Rightarrow 10|i-1$

کوچکترین i طبیعی که اینجا صدق میکنه، یکه. ولی در این صورت j صفر میشه. پس i=11 و j=9
اون عددم میشه 135
درسته؟

درسته بعدی هم بذار:3:

Sharifi_M · 1394/3/7

پاسخ : ☻ماراتن سوالات ریاضی دوم دبیرستان☺

3-اگر دنباله

$_{n=1}^{\infty }$

{

$a_n$

} اینگونه تعریف شود:

$a_{n+1}=a_{n}+(-1)^na_{n-1}$

$a_1=1$

$a_2=4$

باقیمانده تقسیم

$a_{100}$

بر 4؟

+سوال تالیفیه:4:

Dadgarnia · 1394/3/7

پاسخ : ☻ماراتن سوالات ریاضی دوم دبیرستان☺

Moshk گفت

با استفاده از دنباله بازگشتي داده شده داريم:

$a_{2k-1}=a_{2k+1}-a_{2k}$

$a_{2k+2}=a_{2k+1}-a_{2k}$

پس

$a_{2k+2}=a_{2k-1}$

. حالا با استفاده از اين رابطه داريم:

$a_{2k-2}+a_{2k}=a_{2k-2}+a_{2k-3}=a_{2k-1}=a_{2k+2}=a_{2k+1}-a_{2k}$

$\Rightarrow a_{2k+1}=2a_{2k}+a_{2k-2}$

$\Rightarrow a_{2k+12}= a_{2k+9}= 2a_{2k+8}+a_{2k+6}= 2a_{2k+5}+a_{2k+3}= 4a_{2k+4}+4a_{2k+2}+a_{2k}$

$\Rightarrow a_{2k+12}\equiv a_{2k}\pmod 4$

پس

$a_{100}\equiv a_{4}\equiv 1\pmod 4$

.

jan123 · 1394/3/7

پاسخ : ☻ماراتن سوالات ریاضی دوم دبیرستان☺

Moshk گفت

1 میشه درسته؟
راه حل من:
با توجه به دنباله میتوان دید برای n هایی که به شکل 3t+1 هستند باقیمانده

$a_n$

بر 4 برابر 1 یا -1 است برای آنهایی که باقیمانده t بر 4 ،1یا2 است برابر 1 وبقیه برابر -1 است در این سوال t برابر 33 که باقیمانده اش بر 4 برابر 1 است پس باقیمانده برابر 1 است

Sharifi_M · 1394/3/7

پاسخ : ☻ماراتن سوالات ریاضی دوم دبیرستان☺

Dadgarnia گفت

درسته!
سوال بعدی؟

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

jan123 گفت

بسی جالب!
فقط اونم اثبات میخاد که تقریبا مثل کار آقای دادگرنیاست

Dadgarnia · 1394/3/8

پاسخ : ☻ماراتن سوالات ریاضی دوم دبیرستان☺

در راستاي اون سوال قبلي كه من گذاشتم براي اعداد حقيقي

$x,y,z$

با شرط

$x+y+z=0$

نشون بدين كه

$\frac{x^7+y^7+z^7}{7}=\left ( \frac{x^5+y^5+z^5}{5} \right )\left ( \frac{x^2+y^2+z^2}{2} \right )$

(فقط اميدوارم كه سوالم درست باشه :4

.

jan123 · 1394/3/8

پاسخ : ☻ماراتن سوالات ریاضی دوم دبیرستان☺

Dadgarnia گفت

مثل قبلی فکر کنم میشه با بسط جواب داد (ولی راه حل جالب تری باید داشته باشه نه؟)

$\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\overset{x+y+z=0}{\rightarrow}=(-xy+(-x-y)(-x-y)=(x^2+xy+y^2),\frac{x^5+y^5+z^5}{5}\overset{x+y+z=0}{\rightarrow}=xyz(-xy+(-x-y)(-x-y))=xyz(x^2+xy+y^2)$

$x^7+y^7+z^7\overset{z=-(x+y)}{\rightarrow}=-xy(x+y)(x^2+xy+y^2)^2=xyz(x^2+xy+y^2)^2$

الان دیگه حکم بدیهی
ولی اگه راه حل دیگه ایه نداشته باشه واقعا خر کاری میخواهد (با توجهبه اینکه یه نظمی هم تو عبارت داده شده هست )

[HR][/HR]بعدی:حلزونی مطابق شکل حرکت خود را در لحظه t=0 شروع کرده است،حلزون در لحظه t=n در کدام مختصات قرار دارد(به عنوان مثال در لحظه t=5 در نقطه(0,-1)قرار دارد)
(ببخشید شکل بد شده)

Sharifi_M · 1394/3/8

پاسخ : ☻ماراتن سوالات ریاضی دوم دبیرستان☺

jan123 گفت

خب حلزون تو این مسیر در

$t=(2a)^{2}$

در نقطه

$(-a,a)$

قرار داره(اثباتشم با استقراست چیز راحتیه :4: )
حالا کوچکترین a رو پیدا میکنیم که

$n\geq (2a)^2$

:

$n\geq (2a)^2\Rightarrow \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor\geq 2a\Rightarrow a=\frac{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor}{2}$

پس نقطه مورد نظر که حلزون در زمان ان بش میرسه در مسیره موجود از نقطه

$(-\frac{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor}{2},\frac{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor}{2})$

تا نقطه

$(-\frac{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor}{2},\frac{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor}{2}+1)$

واقع شده
خب بقیش کاری نداره دیگه 3 تا پیچ سر مسیره که 4 حالت تولید میکنه که باید زماناشون بررسی شن و در نهایت n تو یکی از این بازه ها میفته و مختصات نقطشم چون حالتامون خطهای راستن یه جمع و کم کوچیک میخان.

راه بهتری هست نه؟

jan123 · 1394/3/8

پاسخ : ☻ماراتن سوالات ریاضی دوم دبیرستان☺

Moshk گفت

تقریبا درسته

(عمدا n میذارم سوال اصلی 1389 بود که با این راه راحت حل میشه تو n معلوم چند تا چیزبعد از این هم چک میشه)
بعدی هم بذار

Sharifi_M · 1394/3/8

پاسخ : ☻ماراتن سوالات ریاضی دوم دبیرستان☺

منظورم همون بزرگترین بود :4:

m را طوری بیابید که عبارت زیر همواره مثبت باشد:

$\frac{x^2-3x+8}{(m-1)x^2+2(m-1)x+2m-5}$

حمید آنالیز · 1394/3/8

پاسخ : ☻ماراتن سوالات ریاضی دوم دبیرستان☺

Moshk گفت

خوب با جدول تعیین علامت حل میشه!!!:4:
تازه قبل ورود به دبیرستان برین تمام مرحله اولا رو از سال 78 تا پارسال رو حل کنید من این کارو کردم خیلی تاثیر داشت مرحله اول ریاضی رو هم 60 زدم گرچه خوب نیس!:4:

jan123 · 1394/3/8

پاسخ : ☻ماراتن سوالات ریاضی دوم دبیرستان☺

Moshk گفت

من جدول دوست ندارم

باید هردو مثبت یا هردو منفی باشن
هر دو منفی:نمیشه که دلتای بالایی منفی هست
هردو مثبت:بالایی همیشه مثبته
باید کاری کنیم پایینی هم همیشه مثبت باشه پس:

$\Delta < 0\rightarrow 4(m^2-2m+1)-4(m-1)(2m-5)< 0\rightarrow m^2-2m+1-2m^2+7m-5< 0\rightarrow -m^2+5m-4< 0\rightarrow m^2-5m+4> 0\rightarrow \Delta =25-16=9\rightarrow m1=4,m2=1\rightarrow m>4 or m<1$

ولیm<1 قبول نیست چون با m <1 ضریب x^2 منفی میشه

135790 · 1394/3/8

پاسخ : ☻ماراتن سوالات ریاضی دوم دبیرستان☺

ثابت کنید

$\sqrt{15}$

گنگ است.
لطفا در سطح اول دبیرستان

jan123 · 1394/3/8

پاسخ : ☻ماراتن سوالات ریاضی دوم دبیرستان☺

135790 گفت

فرض میکنیم گویا است (فرض خلف) پس باید اعداد صحیح نسبت به هم اول a,b که b مخالف صفر است پیدا شوند که:

$\frac{a}{b}=\sqrt{15}\rightarrow a^2=15b^2\rightarrow a=15k\rightarrow \frac{225k^2}{b}=15\rightarrow b^2=15k^2\rightarrow b=15t$

که این با فرض نسبت به هم اول بودن (ب.م.م برابر 1) a,b در تناقض است

Sharifi_M · 1394/3/8

پاسخ : ☻ماراتن سوالات ریاضی دوم دبیرستان☺

فرض کنید گویاست به ناقض برسید!

$a,b\in \mathbb{Z}$

$gcd(a,b)=1$

$\sqrt{15}=\frac{a}{b}\Rightarrow b\sqrt{15}=a\Rightarrow 15b^2=a^2$

پس a^2 به 15 بخشپذیر در نتیجه a بخشپذیره: (

$t \in\mathbb{Z}$

)

$a=15t$

$15b^2=a^2=225t^2\Rightarrow b^2=15t^2$

پس b^2 بر 15 بخشپذیره یعنی b بر 15 بخشپذیره و درنتیجه:

$gcd(a,b)\neq 1$

gcd(a,b)= ب.م.م a و b

Dadgarnia · 1394/3/10

پاسخ : ☻ماراتن سوالات ریاضی دوم دبیرستان☺

در راستای دو تا سوال قبلی که من گذاشتم اگه

$m,n$

دو عدد طبیعی ثابت باشند و برای هر سه عدد حقیقی

$x,y,z$

که

$x+y+z=0$

داشته باشیم

$\frac{x^{m+n}+y^{m+n}+z^{m+n}}{m+n}=\left ( \frac{x^m+y^m+z^m}{m} \right )\left ( \frac{x^n+y^n+z^n}{n} \right )$

ثابت کنید

$m,n\in \left \{ 2,3 \right \}$

یا

$m,n\in \left \{ 2,5 \right \}$

.

00110001 · 1394/3/12

پاسخ : ☻ماراتن سوالات ریاضی دوم دبیرستان☺

خط d دایره ی C(O,R)را قطع نمی کندو از نقطه A دومماسABوAC را بردایره رسم می کنیم.ثابت کنید BC قطر عمود بردایره را در نقطه ای ثابت قطع می کند.

حمید آنالیز · 1394/3/12

پاسخ : ☻ماراتن سوالات ریاضی دوم دبیرستان☺

00110001 گفت

قطر عمود بر دایره دیگه چیه؟؟:4:
ایا aروی دایره قرار دارد؟

☻ماراتن سوالات ریاضی دوم دبیرستان☺

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member