ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

aras2213 · 1393/9/25

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

سوال بعد:همه چند جمله ای ها با ضرایب حقیقی رو بیابید به طوری که 2yf(x + y) + (x − y)(f(x) + f(y)) ≥ 0.

Dadgarnia · 1393/9/28

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

aras2213 گفت

AoPS Forum - Polynomial marathon • Art of Problem Solving

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
چندجمله ای های

$P,Q$

دارای ریشه ای حقیقی هستند همچنین برای هر

$x\in\Bbb{R}$

رابطه ی

$P(1+x+Q(x)^2)=Q(1+x+P(x)^2)$

برقرار است. ثابت کنید:

$P\equiv Q$

Dadgarnia · 1393/10/4

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

راهنمایی: با استفاده از اینکه

$P,Q$

دارای ریشه ای حقیقی هستند ثابت کنید

$a\in \mathbb{R}$

ای وجود داره که

$P(a)^2=Q(a)^2$

.

AHZolfaghari · 1393/10/13

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

اگه بگیم حداقل یه x وجود داره که p(x)^2 = q(x)^2 میشه به بی نهایت عدد دست یافت که p,q شون برابره و دو چندجمله ای برابر میشن !

$T(x)=P(x)^2-Q(x)^2$

فرض کنید آلفا ریشه P باشه و بتا هم ریشه Q باشه

$T(\alpha)<0<T(\beta )$

پس T دارای ریشه حقیقی است پس حداقل یه x وجود داره که p(x)^2 = q(x)^2
پس به بی نهایت x رسید که p ,q شون برابره پس دو چندجمله ای برابرند !

TheOverlord · 1393/10/14

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

سوال بعد: فرض کنید

$k \in \mathbb{N}$

و

$Im((2+i)^k)=i$

. ثابت کنید

$k=1$

.

aras2213 · 1393/10/15

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

اول داریم که :

$2+i=r(cos\theta +isin\theta ),r=\sqrt{5},cos\theta =\frac{2}{\sqrt{5}},sin\theta =\frac{1}{\sqrt{5}}$

.

پس

$(2+i)^k=r^k(cosk\theta +isink\theta )\rightarrow r^ksink\theta =1\rightarrow sink\theta =\frac{1}{(\sqrt{5})^{k}}$

که از این نتیجه میشه:

$cosk\theta =\pm \frac{\sqrt{5^{k}-1}}{(\sqrt{5})^k}$

.

حالا

$T_k(x)$

چندجمله ای k ام چبیشف باشه،داریم:

$T_k(cosx)=coskx\rightarrow T_k(\frac{2}{\sqrt{5}})=\pm \frac{\sqrt{5^k-1}}{(\sqrt{5})^k}$

.از این نتیجه میشه که k نمیتونه زوج باشه چون اگه زوج باشه،

$T_k(x)$

هم یه چندجمله ای زوج میشه،پس سمت چپ گویا و سمت راست گنگ میشه که تناقضه.اگه k فرد باشه،

$T_k(x)$

هم یه چند جمله ای فرد میشه.

پس اگر

$T_k(x)=a_kx^k+a_{k-2}x^{k-2}+...+a_1x$

اون وقت

$a_k(\frac{2^k}{(\sqrt{5})^{k-1}})+a_{k-2}(\frac{2^{k-2}}{(\sqrt{5})^{k-3}})+...+a_1\times 2=\pm \frac{\sqrt{5^k-1}}{(\sqrt{5})^{k-1}}$

که این عبارت از ساده کردن یه

$\sqrt{5}$

از مخرج بدست اومده.از این عبارت نتیجه میشه که

$5^k-1$

باید مربع کامل باشه که این هم نتیجه میده k=1.:217:
درسته؟:7:

aras2213 · 1393/10/16

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

سوال بعد: همه توابع

$f:\mathbb{N}^2\rightarrow \mathbb{N}$

را بیابید به طوری که برای هر x,y طبیعی،

$(i)$

$f(x,x)=x$

$(ii)$

$f(x,y)=f(y,x)$

$(iii)$

$f(x,y)=f(x+y,y)$

TheOverlord · 1393/10/16

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

ارس ! من براي اين كه ثابت كنم

$5^k-1$

مربع كامل نيست سوال رو طرح كردم!

aras2213 · 1393/10/16

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Catalan's conjecture - Wikipedia, the free encyclopedia :4:

TheOverlord · 1393/10/16

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

aras2213 گفت

اگه نميدونستم درسته كه نميذاشتم :85:!

aras2213 · 1393/10/16

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

خب الان مشکل چیه؟!:204::24:

Dadgarnia · 1393/10/16

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

aras2213 گفت

ببخشيد يكم خلاصه مي نويسم:
با استفاده از روابط يك و سه واضحه كه

$f(nx,x)=x$

براي هر n طبيعي. با استفاده از اين رابطه بدست مياد

$f(n,1)=1$

. با توجه به رابطه ي سه براي بدست آوردن

$f(m,n)$

كافيه به جاي m حاصل اين عبارت رو فقط براي اعداد 1 تا n بدست بياريم و بعد براي حالت كلي هم همون روابط بدست مياد پس با استقرا اين كار به راحتي امكانپذيره كه نتيجه ميده

$f(x,y)=\gcd(x,y)$

.
آقاي پويا همچنان روي سوال شما فكر كنيم يا سوال بعد رو بذارم؟

Dadgarnia · 1393/10/18

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

سوال بعد:
اگر

$n\geq 2$

و

$b_1,b_2,\cdots,b_n,c_1,c_2,\cdots,c_n$

اعدادي حقيقي و مثبت باشند ثابت كنيد معادله ي

$\sum_{i=1}^{n}c_i\sqrt{x_i-b_i}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}x_i$

جواب يكتاي

$(x_1,x_2,\cdots,x_n)$

دارد اگر و فقط اگر

$\sum_{i=1}^{n}c_i^2=\sum_{i=1}^{n}b_i$

.

REZA 73 · 1393/11/4

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

اول فرض کنید یه دسته جواب داره و در نظر بگیرید:

$x_{i}=y_{i}^2+b_{i}$

پس داریم:

$c_{1}y_{1}+...+c_{n}y_{n}=0.5(y_{1}^2+...+y_{n}^2+b_{1}+...b_{n})$

حالا اگه یه معادله درجه 2 بر حسب

$y_{1}$

تشکیل بدیم دلتای معادله میشه:

$-(y_{2}-c_{2})^2-...-(y_{n}-c_{n})^2+c_{1}^2+...+c_{n}^2-(b_{1}+...+b_{n})$

حالا اگه

$c_{1}^2+...+c_{n}^2-(b_{1}+...+b_{n})$

منفی باشه که اصلا معادله جواب نداره و اگه هم مثبت باشه(بزرگتر از صفر) میتونیم همه

$y_{i}$

ها رو مساوی

$c_{i}$

بذاریم البته به غیر از یه دونه که اون رو هم طوری در نظر میگیریم که در کل دلتا صفر بشه. چون این کار رو با هر n-1 متغیر میشه انجام داد پس با فرض یکتایی جواب درتناقضه و باید حاصل مقدار صفر باشه که اون وقت همه

$y_{i}$

ها به طور یکتا تعیین میشن.(دلتا همیشه باید مثبت باشه.)

برای اثباته عکسش هم باید همین کار رو کرد. دیگه خیلی آسونه ...

AHZolfaghari · 1393/11/6

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

سوال بعد :
اگر a,b,c اعدادی مثبت با جمع سه باشند اثبات کنید :

$\sum \frac{a}{1+(b+c)^2} \geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+12abc}$

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

اگه ناخوانا شده براتون این عبارتو

\sum \frac{a}{1+(b+c)^2}\geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+12abc}

توی http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php کپی کنید تا براتون درست بیاد

m-saghaei · 1393/11/6

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

AHZolfaghari گفت

اول منفیش میکنیم بعدش یه سیگما a به طرف چپ و یه 3 به طرف راست اضافه میکنیم.میشه:

$a-\frac{a}{1+(b+c)^2}+b-\frac{b}{1+(a+c)^2}+c-\frac{c}{1+(a+b)^2}\geq 3-\frac{3a^2+3b^2+3c^2}{a^2+b^2+c^2+12abc}$

که اینم میشه:

$\sum \frac{a(b+c)^2}{1+(b+c)^2}\geq \frac{36abc}{a^2+b^2+c^2+12abc}$

کوشی:

$(\sum \frac{a(b+c)^2}{1+(b+c)^2})(\sum \frac{a[1+(b+c)^2]}{(b+c)^2})\geq (\sum a)^2=9$

پس باید بگیم:

$\frac{9}{\sum \frac{a[1+(b+c)^2]}{(b+c)^2}}\geq \frac{36abc}{a^2+b^2+c^2+12abc}$

یعنی باید بگیم:

$\frac{a^2+b^2+c^2+12abc}{abc}\geq 4\sum \frac{a+a(b+c)^2}{(b+c)^2}=4[\sum \frac{a}{(b+c)^2}+3]=4\sum \frac{a}{(b+c)^2}+12$

که ساده شه میشه:

$\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\geq 4\sum \frac{a}{(b+c)^2}$

و اینم به وضوح برقراره چون اگه روی مخرج های عبارت سمت راستی حسابی هندسی بزنیم داریم:

$4\sum \frac{a}{(b+c)^2}\leq 4\sum \frac{a}{4bc}= \sum \frac{a}{bc}= \frac{a^2+b^2+c^2}{abc}$

پس اثبات شد.

Dadgarnia · 1393/11/6

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

m-saghaei گفت

اول منفیش میکنیم بعدش یه سیگما a به طرف چپ و یه 3 به طرف راست اضافه میکنیم.میشه:

$a-\frac{a}{1+(b+c)^2}+b-\frac{b}{1+(c+a)^2}+c-\frac{c}{1+(a+b)^2}\leq 3-\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2+12abc}$

که اینم میشه:

$\sum \frac{a(b+c)^2}{1+(b+c)^2}\leq \frac{36}{a^2+b^2+c^2+12abc}$

کوشی:

$(\sum \frac{a(b+c)^2}{1+(b+c)^2})(\sum \frac{a[1+(b+c)^2]}{(b+c)^2})\geq (\sum a)^2=9$

پس باید بگیم:

$\frac{9}{\sum \frac{a[1+(b+c)^2]}{(b+c)^2}}\geq \frac{36}{a^2+b^2+c^2+12abc}$

یعنی باید بگیم:

$\frac{a^2+b^2+c^2+12abc}{abc}\geq 4\sum \frac{a+a(b+c)^2}{(b+c)^2}=4[\sum \frac{a}{(b+c)^2}+3]=4\sum \frac{a}{(b+c)^2}+12$

که ساده شه میشه:

$\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\leq 4\sum \frac{a}{(b+c)^2}$

و اینم به وضوح برقراره چون اگه روی مخرج های عبارت سمت راستی حسابی هندسی بزنیم داریم:

$4\sum \frac{a}{(b+c)^2}\geq 4\sum \frac{a}{4bc}=\sum \frac{a}{bc}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}$

پس اثبات شد.

غلط! ديگه خودتون اشكالشو پيدا كنين! :4:

m-saghaei · 1393/11/6

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

چرا؟ کجاش؟ :4:
همون موقع که نوشتم دو دور چکش کردم ولی مشکلی نداشت!
حالا بگین شاید به احتمال نیم درصد

4

اشتباه دراومد !!

Dadgarnia · 1393/11/6

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

m-saghaei گفت

باشه چون اصرار مي كنين ميگم! :4: شما اومدين عبارت سمت چپ رو كوچك كردين در حالي كه بايد بزرگش كنين تا نامساوي ثابت بشه و علامت نامساوي بالا هم برعكس بايد باشه اگه آخر اثباتتونو نگاه كنين مي بينين كه اونجا هم علامت رو اشتباه گذاشتين.

m-saghaei · 1393/11/6

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

اصلا یه چیزی!! :4:
صورت سوال اشتباهه که! الان

$\frac{1}{2},1,\frac{3}{2}$

گذاشتم اشتباه شد. باید علامت نامساوی تو صورت سوال برعکس باشه که اشتباه نوشته شده !!

که اگه تصحیح شه راه منم کسی جرئت نمیکنه بهش گیر بده ! :4:

ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Active Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member