ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia · 1393/11/6

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

ميگم چرا ثابت نميشه! :4: ولي براي راه حل شما زياد فرقي نمي كنه چون اون نامساوي كه توي پست قبل بهش اشاره كردم غلطه! پس زيادي سمت چپ رو كوچك كردين!

m-saghaei · 1393/11/6

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

میشه یه ذره واضح تر بگین؟!
آخه نمیفهمم! :4: یعنی چی زیادی کوچیکش کردم؟

Dadgarnia · 1393/11/6

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

m-saghaei گفت

مگه نبايد اينو ثابت كنيم:

$\frac{9}{\sum \frac{a[1+(b+c)^2]}{(b+c)^2}}\geq \frac{36}{a^2+b^2+c^2+12abc}$

اين نامساوي غلطه! دليلش هم بر مي گرده به حسابي - هندسي كه اون آخر زدين چون وقتي شما مخرجو كوچيك مي كنين كسر بزرگ ميشه! پس اين كوشي كه زدين اينجا به درد نمي خوره!

m-saghaei · 1393/11/6

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

یه چیزی بگم شاید با این مشکلش حل بشه! (چون بازم نفهمیدم !!)
اونجا تو صورت کسر سمت راستی باید

$36abc$

باشه.اون اول یادم رفت تایپش کنم که الان ویرایشش کردم.
من اصلا هیچ جاییش حسابی هندسی نزدم که !
با این چیز مشکلش حل شد؟

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

الان فهمیدم کدوم حسابی هندسی رو میگین !
ولی حسابی هندسیه که درسته به نظرم !!

m-saghaei · 1393/11/7

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

سواله چندجاشو علامتای نامساویشو اشتباه گذاشته بودم که ویرایش کردم و درست شد. (با لطف جناب دادگرنیا !)

سوال بعد(که آشناست):
اعداد حقیقی نامنفی

$a,b,c$

مفروض اند و همچنین داریم

$\sum a^2=1$

ثابت کنید که:

$\sum \sqrt{a+b}\geq 5abc+2$

(یه حسی بهم میگه تکراریه!)

Dadgarnia · 1393/11/7

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

چون سوال قبل تکراری بود من سوال بعدی رو میذارم. برای دیدن راه حل سوال قبل به این لینک مراجعه کنید: http://www.irysc.com/forum/t2600-19/#post232209
برای

$a,b,c\in \left ( \frac{1}{\sqrt{6}},+\infty \right )$

با شرط

$\sum a^2=1$

نشان دهید:

Dadgarnia · 1393/12/23

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

چون سوال قبل به مدت زيادي حل نشده باقي مونده من سوال بعدو ميذارم هر كي سوال قبلو حل كرد راهشو همينجا بذاره:
چند جمله اي

$P(x)$

با ضرايب صحيح و نامنفي را در نظر بگيريد. اگر مقادير

$P(2)$

و

$P(P(2))$

را بدانيم آيا همواره مي توان

$P(x)$

را به طور يكتا مشخص كرد؟

Dadgarnia · 1394/1/4

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

راهنمایی: سعی کنید ضرایب رو با استفاده از

$P(2),P(P(2))$

تعیین کنید مثلا اگه قرار بدیم

$P(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i$

میشه ثابت کرد

$a_n=\left \lfloor \frac{P(P(2))}{P(2)^n} \right \rfloor$

.

aras2213 · 1394/2/11

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

Community - Art of Problem Solving

Dadgarnia · 1394/2/11

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

سوال بعد:
تمام توابع

$f:\Bbb{R}\rightarrow \Bbb{R}$

را بیابید به طوریکه برای هر

$x,y\in \Bbb{R}$

داشته باشیم

$f(x+y^2)=f(x)+|yf(y)|$

.

حمید آنالیز · 1394/3/4

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

فرض میکنیم رابطه بالا

$p(x,y)$

باشد
اگر

$p(0,y)$

داریم:

$f(y^2)=f(0)+\left | yf(y) \right |\rightarrow if deg(f)=n \rightarrow 2n=n+1\rightarrow n=1$

پس درجه fباید یک باشد پس حال این اعداد را بررسی میکنیم:

$f(x)=\frac{x}{r}\rightarrow r\epsilon R^{+} or r\epsilon R^-$

که با توجه به اون قدر مطلقه تنها جواب مسئله برابره با:

$f(x)=\frac{x}{r},r\epsilon R^+$

آیا جوب دارد؟!

Dadgarnia · 1394/3/4

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

حمید آنالیز گفت

سوال گفته تابع نه چند جمله اي! براي توابع كلا چيزي به اسم درجه نميشه تعريف كرد.

AHZolfaghari · 1394/3/4

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

از این که y رو یه بار قرینه y بذاریم

$\vert yf(y)\vert = \vert yf(-y)\vert$

پس دو حالت داریم :

$f(y)=f(-y)$

یا

$f(y)=-f(-y)$

حالت اول )

$f(y)=f(-y)$

$x\rightarrow -y^2 \Rightarrow f(0)=f(-y^2)+\vert yf(y)\vert$

$x\rightarrow 0\Rightarrow f(0)=f(y^2)-\vert yf(y) \vert$

پس داریم :

$2f(0)=f(-y^2)+f(y^2)\Rightarrow f(a)+f(-a)=2f(a)=2f(0)\Rightarrow f(x)=c\Rightarrow c=0$

حالت دوم )

$f(y)=-f(-y)$

پس

$f(y)+f(-y)=0=2f(0)\Rightarrow f(0)=0$

$\vert yf(y) \vert = f(y^2)$

پس داریم :

$f(x+y^2)=f(x)+f(y^2) , f(y)=-f(-y)$

از این دو موضوع جمعی بودن تابع بر ما اثبات میشه !

$f(y^2)= \vert yf(y) \vert \geq 0$

پس f اعداد مثبت مثبت و f اعداد منفی منفی است پس نتیجه میگیریم که yf(y) به ازای همه اعداد حقیقی مثبته پس داریم :

$f(y^2)=yf(y)$

$f((y+1)^2)- f(y^2)=(y+1)(f(y)+f(1))-yf(y)=f(1)+yf(y)+yf(1)+f(y)-yf(y)=yf(1)+f(1)+f(y)=f(2y+1)=2f(y)+f(1) \Rightarrow f(y)=yf(1) \Rightarrow f(x)=ax$

Dadgarnia · 1394/3/4

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

AHZolfaghari گفت

درسته فقط براي كامل شدن راه حلتون بايد حالتي كه

$a,b$

متمايزي وجود داشته باشند كه

$f(-a)=-f(a),f(-b)=f(b)$

رو هم بررسي كنيد. لطفا بعدش سوال بعد رو هم بذارين.

AHZolfaghari · 1394/3/4

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

آره حق باشماست !
اگه حتی یه a داشته باشیم که

$f(a)=-f(-a)$

بنابر رابطه ای که داشتیم :

$f(x)+f(-x)=2f(0)$

داریم

$f(0)=0$

پس برای همه اعداد حقیقی مانند y باید داشته باشیم

$f(y)=-f(-y)$

سوال بعد :

منحنی نمودار

$y=ax^2+bx+c$

در سه نقطه

$A,B,C$

نمودار طول ها و عرض ها را قطع می کند بطوری که مرکز دایره محیطی مثلث

$ABC$

روی نیم ساز ناحیه اول و

سوم قرار گرفته است . ثابت بفرمائید که

$a+b+1=0$

.

Dadgarnia · 1394/3/6

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

AHZolfaghari گفت

فكر كنم حكم سوال بايد اين باشه

$ac+b+1=0$

. فرض مي كنيم

$x_1,x_2$

ريشه هاي حقيقي چند جمله اي

$ax^2+bx+c$

باشند پس سهمي

$y=ax^2+bx+c$

محور هاي طول و عرض رو توي نقاط

$(0,c),(x_1,0),(x_2,0)$

قطع مي كنه. اگه

$c=0$

اون وقت نقاط

$A,B,C$

هم خط ميشن پس فرض مي كنيم

$c\neq 0$

. با استفاده از اينكه مركز دايره ي محيطي محل برخورد عمود منصف هاي اضلاع مثلث هست به راحتي ميشه مختصات مركز دايره ي محيطي

$ABC$

رو بدست آورد كه اين مختصات ميشه

$\left ( \frac{x_1x_2+c^2}{2c},\frac{x_1+x_2}{2} \right )$

طبق فرض سوال بايد داشته باشيم:

$\frac{x_1x_2+c^2}{2c}=\frac{x_1+x_2}{2} \Rightarrow \frac{\frac{c}{a}+c^2}{c}=-\frac{b}{a}\Rightarrow ac+b+1=0$

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
تمام توابع

$f:\Bbb{R}^+\rightarrow \Bbb{R}^+$

را بيابيد به طوريكه براي هر براي هر

$x,y\in \Bbb{R}^+$

داشته باشيم

$f(f(x)^2+2f(y)^2)=x^2+2y^2$

.

AHZolfaghari · 1394/3/6

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

فكر كنم حكم سوال بايد اين باشه

$ac+b+1=0$

. فرض مي كنيم

$x_1,x_2$

ريشه هاي حقيقي چند جمله اي

$ax^2+bx+c$

باشند پس سهمي

$y=ax^2+bx+c$

محور هاي طول و عرض رو توي نقاط

$(0,c),(x_1,0),(x_2,0)$

قطع مي كنه. اگه

$c=0$

اون وقت نقاط

$A,B,C$

هم خط ميشن پس فرض مي كنيم

$c\neq 0$

. با استفاده از اينكه مركز دايره ي محيطي محل برخورد عمود منصف هاي اضلاع مثلث هست به راحتي ميشه مختصات مركز دايره ي محيطي

$ABC$

رو بدست آورد كه اين مختصات ميشه

$\left ( \frac{x_1x_2+c^2}{2c},\frac{x_1+x_2}{2} \right )$

طبق فرض سوال بايد داشته باشيم:

$\frac{x_1x_2+c^2}{2c}=\frac{x_1+x_2}{2} \Rightarrow \frac{\frac{c}{a}+c^2}{c}=-\frac{b}{a}\Rightarrow ac+b+1=0$

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
تمام توابع

$f:\Bbb{R}^+\rightarrow \Bbb{R}^+$

را بيابيد به طوريكه براي هر براي هر

$x,y\in \Bbb{R}^+$

داشته باشيم

$f(f(x)^2+2f(y)^2)=x^2+2y^2$

.

درسته درواقع تو سوال اصلی ضریب پیشرو رو 1 داده بود و ضریب X رو a و جمله ثابتش b بود که همچنین حکمی داشت اما برای این سوال حکم دست یافته شما درسته

J.Karimi · 1394/5/13

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

اگر

$a+b+c+d=4$

ثابت كنيد:

$\frac{a}{1+b^{2}c}+\frac{b}{1+c^{2}d}+\frac{c}{1+d^{2}a}+\frac{d}{1+a^{2}b}\geq 2$

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

درضمن اعداد حقيقي و مثبت اند

Dadgarnia · 1394/5/14

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

J.Karimi گفت

با استفاده از كوشي و حسابي هندسي داريم:

$LHS\geq \frac{16}{\sum_{cyc}a(1+b^2c)}\geq \frac{16}{4+(bc+ad)(ab+cd)}\geq \frac{16}{4+\frac{1}{4}( \Right \sum_{cyc}ab ) \left }$

$\geq \frac{16}{4+\frac{1}{4}(a+c)^2(b+d)^2}\geq 2=RHS$

Amitis :D · 1394/5/17

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

فکر می کنم به این سوال جواب داده نشده باشد.

ابتدا به این نکته توجه کنید که تابع

$f$

یک به یک و پوشاست. از نکته بعدا در اثبات استفاده می شود.

داریم:

$f(f(x\sqrt2)^2+2f(y)^2)=2x^2+2y^2$

از تقارن عبارت و یک به یکی تابع نتیجه می گیریم که برای هر دو عدد حقیقی و مثبت

$x,y$

داریم:

$f(x\sqrt2)^2+2f(y)^2=f(y\sqrt2)^2+2f(x)^2\Rightarrow f(x\sqrt2)^2-2f(x)^2=c$

ادعا می کنیم

$c=0$

. فرض کنید این طور نباشد. در این صورت دو حالت داریم:

$c>0\Rightarrow f(x\sqrt2)^2=c+2f(x)^2>c$

که در تناقض با پوشایی

$f$

است.

$c<0\Rightarrow 2f(x)^2=c+f(x\sqrt2)^2>c$

که این نیز در تناقض با پوشایی

$f$

است.

پس

$f(x\sqrt2)=f(x)\sqrt2$

. اکنون از عبارت مساله داریم:

$(x,y\sqrt2)\Rightarrow f(f(x)^2+2f(y\sqrt2)^2)=x^2+y^2$

پس

$f(f(x)^2+f(y)^2)=x^2+y^2$

$(x,x)\Rightarrow f(2f(x)^2)=2x^2\Rightarrow f(f(x)^2)=x^2$

بنابراین:

$f(f(x)^2+f(y)^2)=f(f(x)^2)+f(f(y)^2)$

پوشایی نتیجه می دهد که تابع

$f$

جمعی است.

از اینجا با توجه به برد تابع

$f$

نتیجه می شود که:

$f(x)=cx$

در فرض مساله این تابع را جایگذاری می کنیم و نتیجه می شود که:

$f(x)=x$

D:

ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

Active Member

New Member

New Member