ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

amirhossein1376 · 1392/10/18

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

سوال(imo 1974):ثابت کنید به ازای هیچ n طبیعی 5 این عبارت را عاد نمیکند

$\sum_{k=0}^{n}\left \begin{pmatrix} 2n+1\\ 2k+1 \end{pmatrix}2^{3k}$

nima1376 · 1392/10/18

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

شاید بهتر باشه منبع سوال رو نگید
AoPS Forum - IMO 1974 Binomial Sum • Art of Problem Solving

amirhossein1376 · 1392/10/18

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

شاید
سوال بعدی منبعشو نمیگم

MiMi1376 · 1392/10/18

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

همه اعداد طبیعی aو b را بیابید که

$3.2^a + 1=b^2$

mathematicia76 · 1392/10/18

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

MiMi1376 گفت

$3.2^a = b^2 - 1$

$3.2^a = (b-1)(b+1)$

چون a طبیعی است پس b-1 , b+1 زوج متوالیند در نتیجه یکی یک عامل دو و دیگری a-1 عامل دارد در نتیجه حالت بندی دارد
b-1 =2 پس B=3 غیرقابل قبول
b-1 = 6 پس b = 7 و a=4
b+1 = 6 پس B = 5 و a=3
جواب ها a=3 , b= 5
a= 4 , b=7

MiMi1376 · 1392/10/18

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

پرسش بعد نشان دهید برای هر n طبیعی k ای هست که داریم

$1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+...+\tfrac{1}{k}> N$

mathematicia76 · 1392/10/18

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

MiMi1376 گفت

$\frac{1}{2^n + 1 }+\frac{1}{2^n + 2} + ... + \frac{1}{2^(n+1)} > \frac{2^n}{2^(n+1)}= \frac{1}{2}$

پس اگه همین جوری بریم تا پایین میتونیم n تا 1/2 ایجاد کنیم پس کافیه بجای n بذاریم 2n-1
پس

$1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{2^(2n)} > n$

amirhossein1376 · 1392/10/18

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

فک کنم اشتباه کردین بذارید n>3 کلا غلط میشه

S.H1997 · 1392/10/18

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

مگه اون عبارت داره به سمت بینهایت نزدیک نمیشه؟؟
پس میتونیم kرو به اندازه ای بزرگ در نظر بگیریم که اون عبارت بزرگتر ازNبشه!
فکر کنم منظور

mathematicia76

هم همین بود!ولی انگار اثبات جمله ی اول من رو نوشتن!

math · 1392/10/18

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

MiMi1376 گفت

این حکم هم درسته که اگر

$p_{i}$

همان

$i$

امین عدد اول باشد انگاه برای هر

$N$

،

$i$

وجود دارد که

$\sum_{j=1}^{i}\frac{1}{p_{j}}> N$

.

در ضمن این سوالات زیاد مرحله دویی نیستش و بهتره سوالات المپیاد های مختلف رو توی ماراتن ها بزارید

math · 1392/10/18

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

S.H1997 گفت

گفتم این سوالات زیاد در سطح سوالات مرحله دو نیست این سوال رو بزارید به عنوان سوال بعد ماراتن اگر تا فردا کسی راه حلی نداشت من راه حلش رو میزارم .

MiMi1376 · 1392/10/18

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

math گفت

من این سوالو تو میرزا خانی دیدم

aras2213 · 1392/10/18

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

ثابت کنید بی نهایت n وجود دارد که

$n^{2}+1\left |n!$

.

nima1376 · 1392/10/19

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

aras2213 گفت

اگر n جواب باشه

$n\rightarrow n^{2}+n+1$

سوال بعدی
تمام اعداد طبیعی

$m,n$

را بیابید به طوری که

$2^{n}+n=m!$

amirhossein1376 · 1392/10/19

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

با فرض n<6 تنها جواب 2 هستش
برای n>6 با همنهشتی به پیمانه ی 4 به دست میاد n مضرب 4 هست و با همنهشتی به پیمانه ی 3 و بعد 6 به دست میاد n=12k+2=2(6k+1) که یعنی n/2 فرده پس این تناقضه و تنها جواب (2,3) میشه

nima1376 · 1392/10/19

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

amirhossein1376 گفت

فکر کنم راحتون غلط باشه(اونجایی که به پیمانه 6 میگیرید)
به نظر نمیاد به این راحتی حل شه
حداقل راه من راحت نیست

MiMi1376 · 1392/10/19

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

نشان دهید برای هر عدد اول p بی نهایت عدد m هست که p

$2^m - (m+2)$

را می شمارد.

nima1376 · 1392/10/19

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

MiMi1376 گفت

$m=(p-1)(px+1)$

سوال که بود چرا دوباره سوال قرار میدید؟

amirhossein1376 · 1392/10/19

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

nima1376 گفت

math · 1392/10/19

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

nima1376 گفت

سوال المپیاد ترکیه بوده !

روی تعداد عوامل دو در n بحث کنید و با استفاده از نابرابری ثابت کنید تنها یک جواب دارد !!!:3:

ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member