ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

math1998 · 1393/8/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

ممنون که گفتید.الان خودم اینجاش گیج شدم!!!فکر کردم t اوله.چون اگه اول باشه اونو داریم.

همین تیکه آخرشو یه جور دیگه میگم.امیدوارم این دیگه درست باشه.

این رو داریم که

$tf(t)+q^2+2qt$

باید مربع کامل باشه.پس

$t(f(t)-t)+(t+q)^2$

مربع کامله.

حالا اگه داشته باشیم اونوقت چون مربع کامل بعد

$(t+q)^2$

,

$(t+q+1)^2$

هه پس باید داشته باشیم:

که اینم چون اشتباهه.چون اگه q مثلا 3 باشه: که اگه طرف چپ رو بزرگش هم کنیم منفی میشه.

حالا اگه داشته باشیم

$f(t)<t$

اونوقت دوباره مثل قبلیه باید داشته باشیم: که اینم اشتباهه.

پس باید داشته باشیم

$f(t)=t$

این یکی چی؟درسته؟

منظورتون اینه که

$t(f(t)-t)+(t+q)^2$

باید کوچکتر از

$(t+q+1)^2$

باشه؟؟!!

m-saghaei · 1393/8/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

math1998 گفت

نه.باید بزرگتر تر از اون باشه.

math1998 · 1393/8/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

m-saghaei گفت

با حرف شما باید داشته باشیم

$t(f(t)-t-2)\leq 2q+1$

درست میگید که میتونیم

$t$

رو بزرگ کنیم اما اگه

$f(t)< t+2$

رو چطور توضیح میدی ؟؟!!!

m-saghaei · 1393/8/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

math1998 گفت

نه دیگه.من دارم میگم طرف چپ باید بزرگتر از طرف راست باشه.یعنی

$t(f(t)-t-2)\geq 2q+1$

math1998 · 1393/8/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

m-saghaei گفت

ببخشید علامت نامساویو اشتباه گذاشتم اما در کل شما از همین رابطه ای که نوشتید هم نمیتونید نتیجه خوبی بگیرید برای اینکه هیچ اطلاعی از

$f(t)$

ندارید!!!

m-saghaei · 1393/8/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

math1998 گفت

یعنی هیچ جوره نمیشه گفت اون نامساویه غلطه؟

math1998 · 1393/8/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

m-saghaei گفت

شما باید اطلاع اندکی هم که شده درباره

$f(t)$

داشته باشید که اینطور نیست !!!

m-saghaei · 1393/8/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

math1998 گفت

اطلاعات اندک رو داریم اینکه اف تی از تی بزرگتره.

حمید آنالیز · 1393/8/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

سوال رو درست حل کردین سوال بعد : حد اکثر kرا بیابید وقتی که حاصل عبارت روبرو اول بشه با شرط این کهk<2015
k^2+(k-1)^2+(k-2)^2+...+[k/2]^2

m-saghaei · 1393/8/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

حمید آنالیز گفت

هنوز جواب سوال قبلی تموم نشده.

حمید آنالیز · 1393/8/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

چرا دیگه اون سوالو که به یه جایی رسوندین سوال من حرف نداره ها روش فکر کنین
:8:

Dadgarnia · 1393/8/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

حمید آنالیز گفت

$\sum_{i=\left \lfloor \frac{k}{2} \right \rfloor}^{k}i^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}-\frac{\left \lfloor \frac{k}{2} \right \rfloor(\left \lfloor \frac{k}{2} \right \rfloor-1)(2\left \lfloor \frac{k}{2} \right \rfloor-1)}{6}$

k زوج یا فرد باشه در هر دو حالت عبارت بالا تجزیه میشه مگر اینکه k یک یا 2 یا 3 یا 4 یا 5 یا 6 یا 11 یا 12 باشه که به راحتی میشه چک کرد. در ضمن شما قوانین ماراتن رو نخوندید تا سوالی وجود داره نباید سوال جدیدی گذاشته بشه و بهتر بود این سوالو توی بخش نظریه اعداد مقدماتی مطرح می کردین.

sepidfekr · 1393/8/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

حمید آنالیز گفت

خب چرا اینقدر عجله داری هنوز آخر سوال قبلی یکم میلنگه به زودی حل میشه عجله نکن

Dadgarnia · 1393/8/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

m-saghaei گفت

شما فقط برای اعداد اول اینو ثابت کردین.

m-saghaei · 1393/8/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

Dadgarnia گفت

نه.اول که گفتم اف پی مساوی پیه اون تموم شد.
بعدش اومدم گفتم دوحالت میگیریم.
1-اف تی بزرگتر از تی باشه.
2-اف تی کوچکتر از تی باشه.
که باید یه جوری این دوتا رو نقض کنیم.
اونی که گفتم داریم اف تی بزرگتر از تیه واسه حالت اوله.

AHZolfaghari · 1393/8/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

برای سوال قبلی . ابتدا چند تا لم :
الف )

$af(a)$

به ازای همه a های طبیعی مربع کامل هستش .
فرض خلف فرض کنید یه p اول وجود داره که عوامل اولش تو

$af(a)$

فرد باشه مثلا 2n+1
حالا b رو بدین

$p^{2n+2}$

پس یه مربع کامل داریم که عوامل p در آن 2n+1 تا است که تناقض پس

$af(a)$

مربع کامل به ازای همه a های طبیعی
ب) اگه

$p \vert f(x)\Rightarrow p\vert x$

فرض خلف
فرض کنید

$xf(x)$

دارای 2n عامل اول p باشه که همش برای f(x) هست طبیعتا.
حالا b رو بدین

$p^{2n-1}$

و به تناقض برسید .
ج )

$f(1)=1$

فرض خلف

$f(1)$

یه عامل p داشته باشه پس p عاد میکنه یکو که تناقضه پس

$f(1)=1$

د)

$f(p)=p$

اگه

$f(p)$

یه عامل اول به نام q داشته باشه q باید عامل p باشه یعنی p=q پس

$f(p)$

یه توانی از p است . از اونجایی که

$pf(p)$

مربع کامله پس

$f(p)=p^{2k+1}$

حالا a رو یک بدید و b رو p بدید و عبارت حاصله رو بین دو تا مربع کامل بندازید و نتیجه بگیرید k=0
ه )

$f(n)=n$

حالا نوبت فتح الفتوحه !!
b رو بدید p و a رو بدید n حالا

$p^2 + af(a)+2ap = x^2$

,

$p^2 + a^2+2ap = y^2$

فاصله این دو تا مربع کامل حداقل 2y+1 هست . ( با فرض y<x )
یعنی

$a (f(a)-a)> 2a + 2p + 1$

اما این مطلب به ازای p بزرگ صادق نیست . حالت x<y هم به همین ترتیب رد میشه پس x=y پس حکم مورد نظر ثابت شد

m-saghaei · 1393/8/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

AHZolfaghari گفت

منم منظورم دقیقا همین بود.فقط اینکه p بزرگ یعنی چی؟

Dadgarnia · 1393/8/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

m-saghaei گفت

بیاین a رو ثابت بگیرین اگه p رو اینقدر بزرگ کنیم تا

$2a+2p+1> a(f(a)-a)$

به تناقض می رسیم.

AHZolfaghari · 1393/8/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

m-saghaei گفت

ببخشید کجای راه حل شما شبیه من بود ؟؟؟ بعدشم کل دغدغه سوال بدست اوردن f اعداد اول هستش . ثانیا سوال الکی نیست که با یکی دو تا کار مبتدیانه حل شه سوال اخر امتحان اخر TST ایران 2011 بوده

math1998 · 1393/8/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

یه نفر سوال بعد رو بذاره!!!

ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member