a=b=c=0

mahdisaj · 1389/7/2

اگر a, b , c اعدادی گویا باشند به طوری که داشته باشیم :

$a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}=0$

ثابت کنید :

$a=b=c=0$

ali_irysc · 1390/12/14

پاسخ : a=b=c=0

اتحاد اویلر +نامساوی حسابی هندسی

mahanmath · 1390/12/14

پاسخ : a=b=c=0

این رو چطور ثابت می‌کنید با "حسابی‌ هندسی" ؟
حالت کلی‌ مساله هم درسته:

$a_1 , a_2 , \dots,a_n \in \mathbb Q \\ \\ a_1 + a_2 \,( 2^{\frac{1}{2}}) + a_3 \,( 2^{\frac{1}{3}})+ \dots + a_n \,( 2^{\frac{1}{n}}) = 0 \\ \\ \implies a_1 = a_2 = \dots=a_n=0$

ali_irysc · 1390/12/15

پاسخ : a=b=c=0

عبارتی که شما نوشتید چون گنگه پس همه اعداد باید صفر باشن

goodarz · 1390/12/15

پاسخ : a=b=c=0

ali_irysc گفت

چطوری میگید اون عبارت اگه ضرایب ناصفر باشن گنگه؟؟ جمع چندتا گنگ لزومی نداره گنگ باشه....

ali_irysc · 1390/12/15

پاسخ : a=b=c=0

راه حل شما مقدماتیه؟

mahanmath · 1390/12/15

پاسخ : a=b=c=0

ali_irysc گفت

بله , کاملا :3:

ali_irysc · 1390/12/15

پاسخ : a=b=c=0

استقرا نیستش؟

Aref · 1390/12/16

پاسخ : a=b=c=0

mahanmath گفت

ببخشید اینو میگم، ولی این مساله حالت کلی نیست. در واقع یه مساله ی دیگست. حداقل صورتش با مساله ی اصلی فرق میکنه. شاید بعدا به هم ربط پیدا کنن نمی دونم...

hh1546 · 1390/12/16

پاسخ : a=b=c=0

mahdisaj گفت

در نظر بگیرید

$P(x)=cx^2+bx+a$

که

$P(x)$

چمد جمله ای با ضرایب صحیح است طبق فرض مساله

$P(\sqrt[3]{2})$

برابر صفر است پس

$\sqrt[3]{2}$

ریشه

$P(x)$

است اما میدانیم چند جمله ای مینیمال

$\sqrt[3]{2}$

درجه 3 است که این نتیجه میدهد

$P(x)$

ثابت صفر است پس a=b=c=0

math · 1390/12/17

پاسخ : a=b=c=0

من این سوال رو این طور حل کردم

$a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}=0\Rightarrow a^{3}+2b^{3}+4c^{3}=6abc\Rightarrow a^{3}=8a_{1}^{3}\Rightarrow 4a_{1}^{3}+b^{3}+2c ^{3}=6a_{1}bc\Rightarrow b^{3}=8b_{1}^{3}\Rightarrow2a_{1}^{3}+4b_{1}^{3}+c^{3}=6a_{1}b_{1}c\Rightarrow ......\Rightarrow 2^{x }\mid a,2^{y}\mid b,2^{z}\mid c\Rightarrow a=b=c=0$

در بالا از این استدلال استفاده کردم که چون هرتوانی از دو رو انتخاب کنیم a,b,c رو عاد میکنه پس a,b,c صفرند و این اعداد اعداد گویا هستند برای این که صحیح بشند میتونیم در مخرج مشترکشون ضرب کنیم (منظورم gcd)

ونقطه چین ها یعنی باید این عمل رو تکرار کنیم چون الان c باید زوج باشد بعد دوباره a و.... که نتیجه میگیریم که هرتوانی از دو a,b,c رو عاد میکنه :53:

a=b=c=0

mahdisaj

New Member

ali_irysc

New Member

mahanmath

New Member

ali_irysc

New Member

goodarz

Well-Known Member

ali_irysc

New Member

mahanmath

New Member

ali_irysc

New Member

Aref

New Member

hh1546

New Member

math

New Member