ماراتن نا مساوی

ali_irysc · 1390/4/9

پاسخ : ماراتن نا مساوی

$a,b,c$

ثابت

$x,y,z$

متغیر

mahanmath · 1390/4/9

پاسخ : ماراتن نا مساوی

$a\sqrt{8b^{2}+c^{2}}+b\sqrt{8c^{2}+a^{2}}+c\sqrt{8a^{2}+b^{2}}\le (a+b+c)^2$

[/QUOTE]

alimohammadi · 1390/4/9

پاسخ : ماراتن نا مساوی

7
a,b,c اعداد مثبت و حقيقي با مجموع 1 هستند ثابت كنيد

fereidoon · 1390/4/9

پاسخ : ماراتن نا مساوی

استاد mmath فك كنم الان خودكشي ميكنه!!!لطفا تا سوالي حل نشده,سوال نذاريد!

M_Sharifi · 1390/4/9

پاسخ : ماراتن نا مساوی

mmath گفت

[/QUOTE]

$\sum a\sqrt{8b^2+c^2}\leq\frac12\sum a\left(\frac{8b^2+c^2}{2b+c}+2b+c \right )\\=\sum a\left(3b+c-\frac{3bc}{2b+c} \right )=4\sum ab-3abc\sum\frac1{2b+c}$

M_Sharifi · 1390/4/9

پاسخ : ماراتن نا مساوی

refresh گفت

داریم

$\sum abc=ab(c+d)+cd(a+b)\leq\frac14(a+b)^2(c+d)+\frac14(c+d)^2(a+b)\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\frac14(a+b)(c+d)(a+b+c+d)$

حالا اگه جای متغیرها رو با هم عوض کنیم و نابرابری های به دست آمده رو با هم جمع کنیم، به نابرابری

$\left(\sum a\right)\left(\sum ab \right )\geq6\sum abc$

می رسیم. تساوی هم زمانی اتفاق می افته که یا همه ی متغیرها برابر باشند و یا سه تا از متغیرها برابر صفر بشن.

M_Sharifi · 1390/4/9

پاسخ : ماراتن نا مساوی

HatefS گفت

با تغییر متغیر

$a=x+1,\ldots$

نابرابری به صورت

$x^2+y^2+z^2+2xyz\geq0$

در میاد، که

$x,y,z\geq-1$

. اگر

$xyz\geq0$

مساله حله. در غیر این صورت، کافیه فقط حالت

$x\geq y\geq0\geq z\geq-1$

رو چک کنیم که در این حالت،

$x^2+y^2+z^2+2xyz\geq x^2+y^2+z^2-2xy=(x-y)^2+z^2\geq0$

ali_irysc · 1390/4/9

پاسخ : ماراتن نا مساوی

سوال 6 رو درست کردم

Gaara · 1390/4/9

پاسخ : ماراتن نا مساوی

سوال 7 با mixing راحت در نمیاد؟!؟!؟!

goodarz · 1390/4/9

پاسخ : ماراتن نا مساوی

مطمئنی؟؟ آخه اگه بخوای میکسینگ بزنی و شرط رو هم حفظ کنی قیافش خیلی بد میشه....

Gaara · 1390/4/9

پاسخ : ماراتن نا مساوی

فکر نکنما!!!
من که نوشتم یکم زشت شد ولی خیلی بدریخت نشد!!!

alimohammadi · 1390/4/10

پاسخ : ماراتن نا مساوی

سوال هفت با كوشي هم قابل حله:5:

M_Sharifi · 1390/4/10

پاسخ : ماراتن نا مساوی

refresh گفت

عبارت سمت چپ بر حسب b به صورت

$mb+\frac nb+k$

است که

$m,n,k\geq0$

و بنابراین یک تابع محدب است. پس زمانی به بیش ترین مقدار خود می رسد که

$b=a$

و یا

$b=c$

. فرض می کنیم مثلا

$b=a$

. با تغییر متغیر

$t=x+y$

، نابرابری به صورت

$\frac{(a+c)^2}{4ac}(z+t)^2\geq(at+cz)\left(\frac ta+\frac zc \right )$

در می آید که این نابرابری هم ارز است با

$\frac{(a-c)^2}{4ac}\left(z-t \right )^2\geq0$

M_Sharifi · 1390/4/10

پاسخ : ماراتن نا مساوی

$8$

برای اعداد مثبت

$a,b,c$

ثابت کنید

$a\sqrt{a^2+3bc}+b\sqrt{b^2+3ca}+c\sqrt{c^2+3ab}\geq2(ab+bc+ca)$

mahanmath · 1390/4/10

پاسخ : ماراتن نا مساوی

M_Sharifi گفت

طبق حسابی هندسی

$\frac{2a(b+c)(a^2 +3bc)}{ \sum a^2 + 5bc} \leq a \sqrt{a^2 +3bc}$

پس کافیه ثابت کنیم

$\sum a(b+c) \frac{a^2 + bc - b^2 - c^2}{\sum a^2 +5bc } \geq 0$

حالا چون مخرجا بر اساس ترتیب a,b,c مرتب شدن با استفاده از رابطه زیر مساله با استفاده از شور تابعی حل می شه .

$a^2 + bc - b^2 - c^2 = (a-b)(a-c)+(a-b)(b-c)+c(2a-b-c)$

mahanmath · 1390/4/10

پاسخ : ماراتن نا مساوی

$9$

برای اعداد مثبت

$a,b,c$

ثابت کنید

$a^3 + b^3 +c^3 \geq \sum ab(\sqrt{2(a^2+b^2)} -c)$

alimohammadi · 1390/4/10

پاسخ : ماراتن نا مساوی

سوال 7 حل نشده هنوز....

mahanmath · 1390/4/10

پاسخ : ماراتن نا مساوی

alimohammadi گفت

$\frac{ab}{1-c^2} = \frac{ab}{(a+b)(2c+a+b)}$

$\sum \frac{ab}{(a+b)(2c+a+b)} =\sum \frac{ab}{2(a+b+c)}(\frac{1}{a+b} + \frac{1}{2c+a+b})$

حالا توجه کنید که

$\frac{1}{2c+a+b} \leq \frac{1}{4(c+a)} + \frac{1}{4(c+b)}$

پس نابرابری تبدیل میشه به این نابرابری بدیهی

$\sum \frac{2ab}{a+b} \leq a+b+c$

mmath گفت

HatefS · 1390/4/10

پاسخ : ماراتن نا مساوی

...............

mahanmath · 1390/4/10

پاسخ : ماراتن نا مساوی

hatefs گفت

بله ، این راه حل خود طراح :71: ... شما این لمو از کجا بدست آوردید ؟ آخه همونجوری که می بینید نامساوی لم همگن و نیازی به اون فرض اضافی (که تو صورت اصلی مساله هست) نیست.

من مثل آقای شریفی حل کرده بودم... به نظرم مساله ساده ای نبود (واسه آقای شریفی بدیهی بود صد البته !) ...

ماراتن نا مساوی

New Member

New Member

New Member

Active Member

راهبر ریاضی

راهبر ریاضی

راهبر ریاضی

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

راهبر ریاضی

راهبر ریاضی

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member