مقایسه اعداد لگاریتمی(کمی سخت)

mehran88 · 1391/3/12

سلام.

توی این تاپیک می خواهیم اعداد لگاریتمی رو با هم مقایسه کنبم.

هر دو تا لگاریتمی که به نظرتون مقایسه شون سخته بذارید تا با روش های مختلف حلشون کنیم!!

تا یکی هم حل نشده سراغ بعدی نرید.

1

$log_{11}^{13}\square log_{39}^{43}$

در ضمن برای این که ماشین حساب به دست نگیرید لگاریتم چپی حدودا 0.04 بزرگتره.
دلیل؟؟؟

mehran88 · 1391/3/13

پاسخ : مقایسه اعداد لگاریتمی(کمی سخت)

ظاهرا اولی خیلی سخت بود که کسی جواب نداد.

دومی رو میذارم که ساده تره.امروز فردا با 2 روش حلش می کنم.شما هم اظهار نظر کنید.

1

$log_{11}^{13}\square log_{39}^{43}$

2

$log_{2}^{3}\square log_{10}^{11}$

در هر دو سوال لگاریتم چپی بزرگترند.سوال دومی ساده تره.

zz_torna2 · 1391/3/13

پاسخ : مقایسه اعداد لگاریتمی(کمی سخت)

mehran88 گفت

${log^{3}}_{2}> \frac{3}{2}> {log^{11}}_{10}$

crazyboy · 1391/3/13

پاسخ : مقایسه اعداد لگاریتمی(کمی سخت)

zz_torna2 گفت

از کجا به این رسیدین ؟:4:

zz_torna2 · 1391/3/13

پاسخ : مقایسه اعداد لگاریتمی(کمی سخت)

crazyboy گفت

تصادفی!! :4: ولی یک راه دیگر هم هست و اثبات با نامساوی

$log_{n-1}^{n}> log_{n}^{n+1}$

هست( به وضوح اگه این نامساوی اثبات شود حکمم اثبات میشه .در اصل با این نامساوی میتوان 7 لگاریتم دیگر بین

$log_{2}^{3}$

و

$log_{10}^{11}$

قرار داد یعنی داریم:

$log_{10}^{11}< log_{9}^{10}< log_{8}^{9}< ...< log_{2}^{3}$

پس حالا به عنوان سوال جدید شما نامساوی رو اثبات کنید:

سوال جدید (اثبات نامساوی):

$log_{n-1}^{n}> log_{n}^{n+1}$

M_Sharifi · 1391/3/13

پاسخ : مقایسه اعداد لگاریتمی(کمی سخت)

mehran88 گفت

$11^{3\log_{39}43}<39^{2\log_{39}43}=43^2<13^3=11^{3\log_{11}13}\Rightarrow \log_{39}43<\log_{11}13$

hkh74 · 1391/3/13

پاسخ : مقایسه اعداد لگاریتمی(کمی سخت)

zz_torna2 گفت

$\log _{n-1}(n)=\frac{\ln(n)}{\ln(n-1)}$

و تابع

$f(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(x-1)}$

اکیدا نزولیه (x>1) (اثباتش با استفاده از مشتق). نمودار f

alich100 · 1391/3/13

پاسخ : مقایسه اعداد لگاریتمی(کمی سخت)

راه من:
قرار می دهیم:

$x=log_{n}(n+1),log_{n-1}(n)=y\rightarrow n^x=n+1,(n-1)^y=n$

و همچنین داریم:

$x,y> 1$

پس داریم:

$(n-1)^y+1=n^x$

حال فرض کنید که

$y\leq x$

پس داریم:

$1=n^x-(n-1)^y\geq n^x-(n-1)^x$

اما :

$n> 2$

پس :

$n^x-(n-1)^x> 2^x-1> 1$

چون تابع

$n^x-(n-1)^x$

اکیدا صعودیه پس تناقض
پس:

$y>x$

M_Sharifi · 1391/3/13

پاسخ : مقایسه اعداد لگاریتمی(کمی سخت)

alich100 گفت

این تیکه اش رو هم میتونید یه دلیل مقدماتی براش بیارید؟

crazyboy · 1391/3/13

پاسخ : مقایسه اعداد لگاریتمی(کمی سخت)

M_Sharifi گفت

با استقرا میشه ؟
پایه x=2 و x=3

mehran88 · 1391/3/13

پاسخ : مقایسه اعداد لگاریتمی(کمی سخت)

خب الان یه روش خیلی بد و اورژانسی راجع به سوال

$log_{11}^{13}\square log_{39}^{43}$

به ذهنم رسید.روش استاد شریفی خیلی خیلی کوتاه و عالی بود.

روشم خیلی خیلی کلیه و اگه جایی گیر کردید حتما کمک می کنه.

میاییم و دو نقطه

$\left ( 11,13 \right )and\left ( 39,43 \right )$

رو در نظر می گیریم و معادله خط گذرنده از این دو نقطه رو بدست میاریم.

$b=\frac{15a+17}{14}$

حالا کافیه ثابت کنیم

$f(x)=log_{x}^{\frac{15x+17}{14}}=\frac{ln\frac{15x+17}{14}}{lnx}$

به ازای x های بزرگتر از 1 اکیدا نزولیه.

$f'(x)=\frac{lnx^{\frac{15}{15x+17}}-ln(\frac{15x+17}{14})^{\frac{1}{x}}}{ln^2x}$

مخرج مثبته.کافیه ثابت کنیم به ازای x های بزرگتر از 1 صورت منفیه و در نتیجه تابع اکیدا نزولیه.

${lnx^{\frac{15}{15x+17}}-ln(\frac{15x+17}{14})^{\frac{1}{x}}}< 0$

$x^{\frac{15}{15x+17}}< (\frac{15x+17}{14})^{\frac{1}{x}}$

کاملا واضحه که این نامساوی برقراره.چون به ازای تمامی

$x> 0$

توان طرف راست بزرگتر از توان عبارت سمت چپه.

و پایه ی سمت راست به ازای

$x> -17$

از سمت چپ بزرگتره.

پس تابع f اکیدا نزولیه و لگاریتم چپی بزرگتره!!!

zz_torna2 · 1391/3/13

پاسخ : مقایسه اعداد لگاریتمی(کمی سخت)

hkh74 گفت

ممنون .راه خودم:
حکم رو تغییر میدم:

$log_{n-1}^{n}> log_{n}^{n+1}\Rightarrow ln(n)^{2}> ln(n-1)ln(n+1)$

حالا طبق نامساوی حسابی-هندسی داریم

البته با توجه به دامنه حکم n>2 است):

$ln(n-1)ln(n+1)< (\frac{ln(n-1)+ln(n+1)}{2})^{2}=(\frac{ln(n^{2}-1)}{2})^{2}< (\frac{ln(n^{2})}{2})^{2}=(ln(n))^{2}$

که حکم ثابت شد!

Aref · 1391/3/13

پاسخ : مقایسه اعداد لگاریتمی(کمی سخت)

zz_torna2 گفت

این سوال رو من قبلا ثابت کردم.
http://www.irysc.com/forum/t4623-6/#post70468

seyed iman · 1391/3/13

پاسخ : مقایسه اعداد لگاریتمی(کمی سخت)

mehran88 گفت

متوجه نمیشم.
ببین تو صفحه ای که یک محورش a و یکیش b باشه خم هایی که loga b ثایت رو نشون میده خط نیست.یک خم لگاریتمیه.
هر خم ماله یک F ثابته.یک مقدار برای لگ آ ب.این خم ها هم بسته نیستند ولی ربع صفحه بالا رو میکنند دو بخش:بالایی که F های بزرگتره.و پایینی که F های کوچکتره.
پس باید ثابت کنیم که نقطه ما بالای خم (نه خط) میافته یا نه.

mehran88 · 1391/3/13

پاسخ : مقایسه اعداد لگاریتمی(کمی سخت)

kaleiodoscope گفت

کلا هدفم رو از این کار میگم.

بی نهایت تا نمودار لگاریتمی میشه تعریف کرد که از دو نقطه

$log_{11}^{13}\square log_{39}^{43}$

بگذرند. حالا یکی از این نمودار ها

$f(x)=log_{x}^{\frac{15x+17}{14}}=\frac{ln\frac{15x+17}{14}}{lnx}$

هستش.این نمودار رو انتخاب کردم چون ساده ترین نمودار برای ادامه
راه حله.

یه روش دیگه هم اینه.
میاییم و مثلا نقطه ی لگاریتم 50 تو مبنای 44 رو در نظر میگیرم.حالا از سه نقطه متمایز یک و تنها یک تابع لگاریتمی که عبارت جلوش سهمی درجه 2 هستش میگذره.حالا بین پایه و عبارت جلوی لگاریتم یه رابطه درجه 2 برقراره و ادامه اثبات سخت تر میشه.

seyed iman · 1391/3/13

پاسخ : مقایسه اعداد لگاریتمی(کمی سخت)

mehran88 گفت

یعنی چی!!بی نهایت نمودار میشه تعریف کرد.ولی که چی!؟؟!!
باید هدف داشته باشیم از این کار!!
فقط باید ثابت کنیم اون نقطه هه بالای منحنی F=const میافته یا نه.
و اون منحنی فقط یک دونه است.فقط یک دونه!!هر نقطه توی صفحه یک F هست.F=loga b .حالا به ازای هر F یک خم داریم.یعنی یک سری a و b ها میتونیم داشته باشیم که F همشون بشه یک مقداری(F).
پس نمیشه هر منحنی دلمون خاست انتخاب کنیم!
راهتو باید درست کنی...باید استدلال کنی چون اون خم F=const تقعر رو به پایین داره..اگر از خط بینشون بالا باشیم..حتمن از خم F ثابت هم بالاییم.

mehran88 · 1391/3/13

پاسخ : مقایسه اعداد لگاریتمی(کمی سخت)

kaleiodoscope گفت

فهمیدم مشکلت چیه.

با اونجا که گفتم خط بین این دو نقطه مشکل داشتی.

باید میگفتم تنها رابطه درجه 1 برقرار بین این دو نقطه.

من اصلا از این که خط واصل بین دو نقطه

$log_{11}^{13}\square log_{39}^{43}$

هیچ استفاده ای توی حل نکردما!!!

هدفم رو بذار بهتر بگم.

اومدم یه منحنی انتخاب کردم که از این دو نقطه بگذره.

بعد ثابت کردم این منحنی اکیدا نزولیه.

چون فرم منحنی ام جوری بود که از اکیدا نزولی بودنش میشد نتیجه گرفت یکی از اون دو نقطه عرض پایین تری داره نسبت به دیگری پس سوال حل شد

seyed iman · 1391/3/13

پاسخ : مقایسه اعداد لگاریتمی(کمی سخت)

مگه نموداری که کشیدی محوراش a , b نیست؟
و ما میخوایم loga b رو حساب کنیم؟

mehran88 · 1391/3/13

پاسخ : مقایسه اعداد لگاریتمی(کمی سخت)

kaleiodoscope گفت

نه!!!

خب نکته همینه که من بین a وb یه رابطه درجه 1 پیدا کردم و حالا داریم

$f(x)=log_{x}^{\frac{15x+17}{14}}=\frac{ln\frac{15x+17}{14}}{lnx}$

رو رسم می کنیم که یه رابطه بین x و y هستش.در ضمن برای راحتی a رو کردم x .

یه بار دیگه با دقت این رو بخون کاملا توضیح دادم چکار کردم.

--------------------------------------------------------------------

هدفم رو بذار بهتر بگم.

اومدم یه منحنی انتخاب کردم که از این دو نقطه بگذره.

بعد ثابت کردم این منحنی اکیدا نزولیه.

چون فرم منحنی ام جوری بود که از اکیدا نزولی بودنش میشد نتیجه گرفت یکی از اون دو نقطه عرض پایین تری داره نسبت به دیگری پس سوال حل شد

seyed iman · 1391/3/13

پاسخ : مقایسه اعداد لگاریتمی(کمی سخت)

این نمودار چیه!!!
محوراش چیند؟؟چی بر حسب چی هست!؟؟؟

مقایسه اعداد لگاریتمی(کمی سخت)

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

راهبر ریاضی

New Member

New Member

راهبر ریاضی

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member