بررسی سوالات آزمون تشریحی ریاضی 7 اسفند

M_Sharifi · 1388/12/8

دوستان اگر راه حل و یا نظری در باره ی هریک از سوالات آزمون دارند، می توانند در این تاپیک مطرح کنند:

سوال 1. (تالیفی) همه ی اعداد طبیعی

$n$

را بیابید که اعداد حقیقی و مثبت

$a_0,a_1,\ldots,a_n$

وجود داشته باشند، به طوری که برای هر جایگشت دلخواه مانند

$b_0,b_1,\ldots,b_n$

از اعداد

$a_0,a_1,\ldots,a_n$

، چندجمله ای

[center:f259eda3e7]

$b_nx^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_1x+b_0$

[/center:f259eda3e7]
دست کم یک ریشه ی حقیقی داشته باشد.

سوال 2. یک جدول

$10\times10$

را در نظر بگیرید. در هر حرکت، 4 خانه را که در محل تقاطع دو سطر و دو ستون دلخواه قرار دارند، رنگ می کنیم. البته زمانی مجاز به این حرکت هستیم که حداقل یکی از این چهار خانه قبلا رنگ نشده باشد. بیش ترین تعداد حرکت های ممکن برای رنگ کردن همه ی خانه ها چقدر است؟

سوال 3.
فرض کنید

$ABCD$

یک چهارضلعی محاطی است. از نقطه ی دلخواه

$P$

درون این چهارضلعی، عمودهای

$X_1$

و

$X_2$

را بر

$AB$

و

$CD$

، عمودهای

$Y_1$

و

$Y_2$

را بر

$AC$

و

$BD$

و عمودهای

$Z_1$

و

$Z_2$

را بر

$AC$

و

$BD$

وارد کرده ایم. ثابت کنید اوساط پاره خط های

$X_1X_2$

،

$Y_1Y_2$

و

$Z_1Z_2$

روی یک خط قرار دارند.

M_Sharifi · 1388/12/8

راه حل سوال 3 (ارائه شده توسط آقای احمدپور)
اگر

$P$

بر مرکز دایره ی محیطی منطبق باشد، نقاط

$X_1,X_2,Y_1,\ldots$

بر نقاط وسط اضلاع و اقطار چهارضلعی منطبق می شوند و نقاط وسط پاره خط های

$X_1X_2,Y_1Y_2,Z_1Z_2$

بر نقطه ی

$G$

، مرکز ثقل چهارضلعی منطبق می شوند.
[center:ead913aeff]

[/center:ead913aeff]اگر نقطه ی

$P$

بر دایره ی محیطی قرار داشته باشد، طبق قضیه ی خط سمسون، نقاط

$\{X_1,Y_1,Z_1\}$

،

$\{X_2,Y_1,Z_2\}$

،

$\{X_2,Y_2,Z_1\}$

و

$\{X_1,Y_2,Z_1\}$

هم خط اند. از برخورد این چهار خط سمسون، چهارضلعی کاملی پدید می آید که رئوس آن همان نقاط

$X_1,X_2,Y_1,\ldots$

می باشند. می دانیم که نقاط وسط هر سه قطر چهارضلعی کامل بر یک خط قرار دارند. پس نقاط وسط سه پاره خط

$X_1X_2,Y_1Y_2,Z_1Z_2$

هم خط اند.
[center:ead913aeff]

[/center:ead913aeff]فرض کنید

$P$

نقطه ای دلخواه در صفحه باشد و

$P''$

مرکز دایره ی محیطی و

$P'$

نقطه ی برخورد نیم خط

$P''P$

با دایره ی محیطی. فرض کنید

$X_1',X_2",Y'_1,\ldots$

نقاط تصاویر نقطه ی

$P'$

بر خطوط

$AB,CD,BC,\ldots$

و نقاط

$X_1'',X_2'',Y_1'',\ldots$

تصاویر نقطه ی

$P''$

بر خطوط مزبور باشند. هم چنین فرض کنید

$M,N,K,M',N',K'$

نقاط وسط پاره خط های

$X_1X_2,Y_1Y_2,Z_1Z_2,X_1'X_2',Y_1'Y_2',Z_1'Z_2'$

باشند.
[center:ead913aeff]

[/center:ead913aeff]اگر

$\frac{P''P}{P''P'}=\alpha$

، آن گاه

$\frac{X_1''X_1}{X_1''X_1'}=\frac{X_2''X_2}{X_2''X_2'}=\alpha$

.

[center:ead913aeff]

$\left.\begin{matrix} \vec{GM}=\frac12(\vec{X_1''X_1}+\vec{X_2''X_2})\\ \vec{GM'}=\frac12(\vec{X_1''X_1'}+\vec{X_2''X_2'}) \end{matrix}\right\}\Rightarrow \vec{GM}=\alpha\vec{GM'}$

[/center:ead913aeff]

به همین ترتیب،

$\vec{GN}=\alpha\cdot\vec{GN'}$

و

$\vec{GK}=\alpha\cdot\vec{GK'}$

.
بنابراین با تجانس به مرکز

$G$

و نسبت

$\alpha$

، نقاط

$M',N',K'$

به ترتیب به نقاط

$M,N,K$

تبدیل می شوند. داشتیم نقاط

$M',N',K'$

بر یک خط قرار دارند، پس نقاط

$M,N,K$

نیز بر یک خط قرار دارند.

M_Sharifi · 1388/12/9

راه حل سوال 1.
اگر

$n$

عددی فرد باشد، چندجمله ای

$P(x)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_1x+b_0$

حتما لااقل یک ریشه ی حقیقی دارد. چراکه اگر

$x$

به سمت

$+\infty$

برود، مقدار این چندجمله ای، مثبت و اگر به سمت

$-\infty$

برود، منفی می شود. پس چندجمله ای حتما محور ها را قطع می کند (با توجه به پیوستگی هر چندجمله ای) و لذا حتما ریشه ی حقیقی دارد.
حال فرض کنید

$n$

عددی زوج است و مثلا

$n=2k$

. چندجمله ای

$P(x)$

را به صورت زیر می نویسیم:

[center:1cf87bdd12]

$P(x)=\frac{b_{2k}}2x^{2k}+x^{2k-2}\Big(\frac{b_{2k}}2x^2+b_{2k-1}x+\frac{b_{2k-2}}2\Big)+\\ x^{2k-4}\Big(\frac{b_{2k-2}}2x^2+b_{2k-3}x+\frac{b_{2k-4}}2\Big)+\cdots+ \Big(\frac{b_{2}}2x^2+b_{1}x+\frac{b_{0}}2\Big)+\frac{b_0}2$

[/center:1cf87bdd12]

حال جایگشت

$b_0,b_1,\ldots,b_n$

را طوری انتخاب می کنیم که

$b_{2k}\geq b_{2k-2}\geq\cdots\geq b_0\geq b_{2k-1}\geq b_{2k-3}\geq\cdots \geq b_1$

. با این انتخاب، دلتای هر یک از عبارت های به فرم

$\frac{b_{2i}}2x^2+b_{2i-1}x+\frac{b_{2i-2}}2$

که برابر است با

$b_{2i-1}^2-b_{2i}b_{2i-2}$

، عددی نا مثبت می شود. پس هریک از این عبارت ها به ازای هر

$x$

، نامنفی اند (چرا که

$b_{2i}>0$

). پس عبارت

$x^{2i-2}\Big(\frac{b_2i}2x^2+b_{2i-1}x+\frac{b_{2i-2}}2\Big)$

هیچ گاه نمی تواند منفی شود. از طرفی

$\frac{b_{2k}}2x^{2k}+\frac{b_0}2>0$

. بنابراین

$P(x)$

همواره مثبت است و ریشه ی حقیقی ندارد.

bahar23 · 1388/12/9

age hameye ai ha ba ham barabar bashan , baraye n zoj -1 rishe mishe !

bahar23 · 1388/12/9

eshtebah shod ! bebakhshid

stvs-f · 1388/12/16

آقای شریفی لطفا منبع و پاسخ سوال ترکیبیات هم قرار دهید....

Goharshady · 1388/12/16

seifi_seifi · 1388/12/16

آقای گوهر شادی ولی من با 81 حرکت هم تونستم رنگ آمیزی کنم!!!!!!!!!!

با استقرا ثابت میشه ثابت کرد با n-1^2 حرکت میتوان جدول n×n را رنگ کرد.

آقا شریفی بحث و گفتگو برای آزمون اخیر نمیگذارید؟

M_Sharifi · 1388/12/16

راه حل سوال 2.
نشان می دهیم بیش از 81 حرکت امکان پذیر نیست. دنباله ای از حرکت ها را در نظر بگیرید. برای هر حرکت، یکی از خانه هایی را که برای اولین بار در این حرکت انتخاب شده است را علامت می زنیم. سپس همه ی خانه های دیگر را رنگ می کنیم. بنابراین بعضی از خانه های جدول در نهایت رنگ می شوند. حال این رنگ آمیزی را قبل از شروع دنباله ی حرکت ها در نظر بگیرید. هر بار که به یکی از خانه های علامت دار می رسیم آن خانه را نیز رنگ می کنیم. دقت کنید که هر حرکت دقیقا یکی از خانه های علامت دار را رنگ می کند.
حال گرافی دو بخشی شامل ده سطر و ده ستون (به عنوان راس های گراف) را در نظر بگیرید. در این گراف دوبخشی هر خانه ای که پیش از شروع دنباله ی حرکت ها رنگی است، بین راس های متناظر با سطر و ستون آن یالی وجود دارد. ضمن این که در هر حرکت که یکی دیگر از خانه ها رنگ می شود، یالی بین راس های متناظر با سطر و ستون این خانه رسم می کنیم. ادعا می کنیم که این گراف قبل از شروع دنباله ی حرکت ها، همبند بوده است. برای این منظور، فرض کنید طی حرکتی، سطرهای a,b و ستون های c,d انتخاب شوند و خانه ی (b,d) برای اولین بار رنگ شود. در این صورت یال (b,d) اضافه می شود. اما قبل از این حرکت نیز b به d به صورت b-c-a-d متصل بوده است. پس در هر حرکت تعداد مولفه های همبندی گراف افزایش نمی یابد. از آن جایی که در نهایت به گراف کامل می رسیم (که همبند است) پس در ابتدا نیز باید گراف همبند بوده باشد. اما یک گراف همبند 20 راسی دست کم 19 راس باید داشته باشد. بنابراین حداکثر 81 یال جدید می توان به آن اضافه کرد و لذا دنباله ی حرکت ها حداکثر 19-100=81 حرکت می تواند داشته باشد.
به راحتی می توان دنباله ای از 81 حرکت پیدا کرد که همه ی خانه ها را رنگ کند.

Aref · 1388/12/17

اگه با استقرا حکمی که seifi-seifi رو گفت ثابت کنیم غلطه؟

بررسی سوالات آزمون تشریحی ریاضی 7 اسفند

M_Sharifi

راهبر ریاضی

M_Sharifi

راهبر ریاضی

M_Sharifi

راهبر ریاضی

bahar23

New Member

bahar23

New Member

stvs-f

New Member

Goharshady

New Member

seifi_seifi

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

Aref

New Member