سوالی از نظریه که تنها تعداد ......

math · 1391/1/16

سلام
سوال 21 از فصل 3 کتاب پرفسور میرزاخانی رو شنیدم تعداد خیلی کمی حل کرده اند (البته من این حرف رو شنیدم ممکنه اشتباه باشه ) میشه اگر کسی راه حل این سوال رو میدونه خواهشا اینجا بذاره

واقعا ممنونم

سوال: ثابت کنید عدد زیر با توجه به این که a و b نسبت به هم اولند هیچ گاه طبیعی نمیشود

$\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{a+ib}$

:53::53::53::53:

threehandsnal · 1391/1/16

پاسخ : سوالی از نظریه که تنها تعداد ......

mathh گفت

فک کنم از دیریکله استفاده میشد. این قضیه که توی مخرج اعداد اولی تولید میشه...

math · 1391/1/16

پاسخ : سوالی از نظریه که تنها تعداد ......

threehandsnal گفت

میشه بیشتر توضیح بدین اگر هم میشه یک بار قضیه دیریکله رو بیان کنید :77::77::77::53:

threehandsnal · 1391/1/16

پاسخ : سوالی از نظریه که تنها تعداد ......

آها الان راه حلش یادم اومد فک کنم. :4:
یه چیزی شبیه به این توی کتاب آقای صفا هم بود.
دو حالت داره.
1) هیچکدوم از a,b ، عدد ۲ نباشه!‌اونموقع میشه ثابت کرد که بزرگترین توان 2 توی مخرج یکتاست.
2)یکی از این اعداد 2 باشه اونموقع بزرگترین توان 3 توی مخرج رو ثابت میکنی یکتاست.

الان راه حل کامل تر رو هم مینویسم

math · 1391/1/16

پاسخ : سوالی از نظریه که تنها تعداد ......

اگر راه حلش به قضیه دیریکله ربطی نداشت میشه قضیه دیریکله رو بفرمایید من این قضیه رو جایی پیدا نکردم که بخونم

threehandsnal · 1391/1/16

پاسخ : سوالی از نظریه که تنها تعداد ......

mathh گفت

قضیه دیریکله به بیان پارسی:
اگر

$(a,b)=1$

آنگاه در تصاعد حسابی نامتناهی

$\left \{ a+kb \right \}_{k=1}^\infty$

بی نهایت عدد اول وجود دارد.

به بیان غربی (!) :4: :
Dirichlet's theorem on arithmetic progressions - Wikipedia, the free encyclopedia

goldeneagle · 1391/1/16

پاسخ : سوالی از نظریه که تنها تعداد ......

threehandsnal گفت

فکر کنم اشتباه می کنید....اون a در حاصل تفریق نباید باشد....

شاید من اشتباه می کنم.....

threehandsnal · 1391/1/16

پاسخ : سوالی از نظریه که تنها تعداد ......

goldeneagle گفت

درست میگین.تازه متوجه شدم.باید یه جور دیگه اثباتش کنم.

مرسی که گفتید :1:

threehandsnal · 1391/1/16

پاسخ : سوالی از نظریه که تنها تعداد ......

خوب اینم راه حل کامل و بدون جوب واسه این سوال: (ممنون از goldeneagle عزیز واسه جوب گیری)

حالت اول: مساله را برای حالتی حل میکنیم که b فرد باشد :
می خواهیم ثابت کنیم

$\frac{1}{a}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+2b}+...+\frac{1}{a+nb}\notin \mathbb{N}$

.
ابتدا ثابت میکنیم بزرگترین توان 2 در مخرج یکتاست! اینم با اینکار که فرض میکنیم یکتا نباشه.(یعنی حداقل 2 تا باشن!) .فرض کنید بزرگترین توان 2 ای که در مخرج وجود داره، k باشه:

$(t,2)=(s,2)=1:a+ib=2^kt,a+jb=2^ks\Rightarrow a+\frac{i+j}{2}b=2^k\frac{s+t}{2}$

حالا این خودش دو حالت داره!
حالت اول:

$\frac{s+t}{2}$

زوج باشه که در اون صورت

$\left \|a+\frac{i+j}{2}b \right \|_2=\left \| 2^k\frac{s+t}{2}\right \|_2>k$

که تناقضه!(که در اینجا

$\left \| n \right \|_p$

یعنی بزرگترین توان p که n رو میشماره! )
حالت دوم:

$\frac{s+t}{2}$

فرد باشه که در اینصورت باز هم اینکار رو برای

$a+\frac{s+t}{2}b,a+sb$

تکرار میکنیم.واضح است که سرانجام به حالتی میرسیم که زوج باشه(چون هر بار داره کوچیکتر میشه!).پس حالت اول میشه. پس به تناقض میرسیم. پس بزرگترین توان ۲ یکتاست!

فرض میکنیم بزرگترین توان ۲ در مخرج k باشه.مثلا عدد(

$a+jb=2^kR$

که عدد R عددی فرد است. ) داریم:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+2b}+...+\frac{1}{a+nb}$

$=\frac{2^{a_0}r_0+2^{a_1}r_1+...+R+...+2^{a_{n-1}}r_{n-1}+2^{a_n}r_{a_n}}{2^k}$

( که داریم

$a_i\neq 0,(r_i,2)=1$

)
پس به راحتی میشه گفت

$\frac{1}{a}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+2b}+...+\frac{1}{a+nb}$

$=\frac{2^t.M+R}{2^k}$

$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+2b}+...+\frac{1}{a+nb}=\frac{Odd}{Even}\notin \mathbb{N}$

پس برای این حالت به تناقض رسیدیم.

حالت دوم: مساله را برای حالتی حل میکنیم که

$b=2$

:
در این حالت باید ثابت کنیم

$\frac{1}{a}+\frac{1}{a+2}+\frac{1}{a+4}+...+\frac{1}{a+2n}\notin \mathbb{N}$

.برای این حالت باید ثابت کرد که بزرگترین توان 3 در مخرج یکتاست.
فرض کنید

$3^k\leq a+2n< 3^{k+1}$

. ثابت میکنیم جمله

$a+2i=3^k$

بزرگترین توان 3 است و یکتاست!
اثبات بزرگترین توان بودن که واضح است!
کافی است اثبات کنیم یکتاست!
فرض کنید

$m=3^kr$

که در آن

$(r,3)=1$

است.

$3^{k+1}>a+2n\geq m=3^kr\Rightarrow r<3\Rightarrow \boxed{r=1}\: or \: \boxed{r=2}$

بوضوح میدانیم که این دنباله،عدد زوجی ندارد!پس حالت

$\boxed{r=2}$

غیرممکن است! پس نتیجه میشود که بزرگترین توان ۳ یکتاست!
حال مشابه حالت بالا داریم(

$(x,3)=(y,3)=1$

):

$\frac{1}{a}+\frac{1}{a+2}+\frac{1}{a+4}+...+\frac{1}{a+2n}=\frac{3M+x}{3^ky}=\frac{3z+x}{3z'}\notin \mathbb{N}$

حالت سوم) b عددی زوج و بزرگتر از 2 باشد! این تیکه رو نتونستم هنوز اثبات کنم...

MBGO · 1391/1/17

پاسخ : سوالی از نظریه که تنها تعداد ......

threehandsnal گفت

با سلام

اونجاهایی که علامت # گذاشتم....اولی باید

$a+\frac{i+j}{2}b,a+jb$

باشه.(درسته؟). دومی هم تو مخرج باید

$2^{k}R$

باشه. از طرفی اون

$R$

که رو صورت گذاشتی، تنها با این فرض می تونی بذاری که در یکی از

$\frac{1}{a+ib}$

ها

$a+ib$

به صورت

$2^{k}$

باشه.
هرجا مشکلی بود بگید.

با تشکر.

threehandsnal · 1391/1/17

پاسخ : سوالی از نظریه که تنها تعداد ......

MahanBabol گفت

اولین جمله ات درسته.(البته زیاد فرقی نداره! i,j با s,t !) :3:
در مورد دومی من اومدم مخرج مشترک گرفتم از کل جملات! مخرج باید یه چیزی * 2 به توان k باشه!(آخه زیاد فرقی نداره چی باشه تو مخرج!مهم اینه که مخرج زوجه) :4:

goldeneagle · 1391/1/17

پاسخ : سوالی از نظریه که تنها تعداد ......

من دیشب شدید خوابم میومد زود رفتم.... این سوال به نظر سخت می آید و حلی هم ازش وجود نداره....من یک بار از دکتر جمالی پرسیدم پارسال گفتند که یک حل از حسام مهدوی فر(اگه درست یادم باشه) برای این سوال هست در مجله آن زمان باشگاه هم چاپ شده.... خود دکتر حل سوال رو داشتن اما وقت نشد ازشون بعدا بگیرم...اگر کسی با ایشون کلاس داره ازشون بپرسه حتما و بیاد اینجا حل رو بگه و خلقی رو مستفیض کنه....

اما من یک بار این سوال رو چند ماه پیش ها در ML گذاشتم که یک نفر یک حرفایی زد و البته من هیچ وقت حوصله نکردم بخونم....اگه کسی حوصله داشت بررسیش کنه:
AoPS Forum - old and hard problem! • Art of Problem Solving

math · 1391/1/17

پاسخ : سوالی از نظریه که تنها تعداد ......

من از استاد جمالی می پرسم اگر داشتن حتما ازشون میگیرم

math · 1391/1/19

پاسخ : سوالی از نظریه که تنها تعداد ......

یک سوال دیگه که بازهم تا اونجایی که شنیدم تعداد کمی حل کرده اند

تمام جواب های طبیعی معادله ی

$7^{x}+1=3^{y}+5^{z}$

را بیابید

math · 1391/1/27

پاسخ : سوالی از نظریه که تنها تعداد ......

mathh گفت

من از استاد جمالی پرسیدم ایشون راه حلش رو دارن اما ایشون تا چند روز دیگه بیش تر ایران نیستن ایشون گفتن بهترین کار اینه که از خود اقای مهدوی فر جواب رو بگیریم اگر کسی میتونه به ایشون میل بزنه لطفا این کار رو بکنه و جوابش رو این جا بذاره

سوالی از نظریه که تنها تعداد ......

math

New Member

threehandsnal

New Member

math

New Member

threehandsnal

New Member

math

New Member

threehandsnal

New Member

goldeneagle

New Member

threehandsnal

New Member

threehandsnal

New Member

MBGO

New Member

threehandsnal

New Member

goldeneagle

New Member

math

New Member

math

New Member

math

New Member