سوال نظریه اعداد (بخش پذیری)

P3YM4N · 1392/8/3

سلام دوستان
اگه میشه تو این 4 تا سوال منو کمک کنید ممنون
1.ثابت کنید مربع هر عدد طبیعی یا به شکل 3k است و یا به شکل 3k+1.
2.ثابت کنید که اگر n عددی طبیعی باشد, رقم یکان n[SUP]2[/SUP] به مجموعه {9و6و5و4و1و0} متعلق است.
3.ثابت کنید تعداد مقسوم علیه های هر عدد صحیح ناصفر متناهی است.
4.ثابت کنید 5[SUP]90[/SUP]+2[SUP]90 [/SUP]| 29 .

S.H1997 · 1392/8/3

پاسخ : سوال نظریه اعداد (بخش پذیری)

1.تمام اعداد به شکل:3k,3k+1,3k+2هستند.اینارو تک به تک به توان2 برسون و فاکتور بگیر تا به عددی مثل روی سوال برسی
2.مثل اولی ولی با10k+a
3.برهان خلف
4.
29k=45^45+4^25

Al!R3ZA · 1392/8/3

پاسخ : سوال نظریه اعداد (بخش پذیری)

با اجازه نفر قبلی من یکم واضح تر مینویسم !
1- میدونیم که هر عدد به یکی از صورت های زیره :

$3k , 3k+1 , 3k+2$

حالا میایم اینارو ضرب میکنیم تو هم :

$3k(3q)=9kq=3(3kq)=3l$

$3k(3q+1)=9kq+3k=3(3kq+k)=3l'$

$(3k+1)(3q+1)=9kq+3k+3q+1=3(3kq+k+q)+1=3l''+1$

( سه حالت دیگه رو هم به همین شکل اثبات کن... )

2- اول واضحه که اگه n یه رقمی باشه ، حکم درسته. حالا فرض میکنیم n یه رقمی نباشه و k رقمی باشه یعنی :

$n=\overline{a_1a_2...a_k}=10^{k-1}a_1+10^{k-2}a_2+...+a_k$

حالا :

$n^2=10^{2k-2}a_1+...+a_k^2$

از طرفی برای پیدا کردن یکان یه عدد ، باید باقی مانده اش رو به پیمانه ی 10 پیدا کنیم یعنی :

$n^2\equiv 10^{2k-2}a_1+...+a_k^2 \equiv a_k^2 ( mod 10 )$

و این یعنی یکان یه عدد مربع کامل برابر مربع یکان جذر همون عدده.
تو اول مساله هم گفتیم که این حکم برای اعداد یه رقمی برقراره. پس حکم کلاً برقراره !

3- برهان خلف. فرض میکنیم نا متناهی باشه.
در نتیجه بی نهایت عدد اول مقسوم علیهش هستن.
میدونیم هر عدد به صورت

$n=p_1^{\alpha_1}...p_k^{\alpha_k}$

هست.
اما از اونجایی که بی نهایت عدد اول مقسوم علیهش هستن ، پس باید اعداد اولی مثل

$p_{k+1} , p_{k+2},...$

هم توی تجزیه اش به عوامل اول باشن که نیستن. تناقص حاصله نشون میده که فرض خلف باطله و حکم ثابت !

4- تامیم اتحاد چاق و لاغر...

$2^{90}+5^{90}=4^{45}+25^{45}=(4+25)(4^{24}-4^{23}\times 25 +...+25^{45})= 29k \Rightarrow 29|2^{90}+5^{90}$

P3YM4N · 1392/8/3

پاسخ : سوال نظریه اعداد (بخش پذیری)

Al!R3ZA گفت

با اجازه نفر قبلی من یکم واضح تر مینویسم !
1- میدونیم که هر عدد به یکی از صورت های زیره :

$3k , 3k+1 , 3k+2$

حالا میایم اینارو ضرب میکنیم تو هم :

$3k(3q)=9kq=3(3kq)=3l$

$3k(3q+1)=9kq+3k=3(3kq+k)=3l'$

$(3k+1)(3q+1)=9kq+3k+3q+1=3(3kq+k+q)+1=3l''+1$

( سه حالت دیگه رو هم به همین شکل اثبات کن... )

2- اول واضحه که اگه n یه رقمی باشه ، حکم درسته. حالا فرض میکنیم n یه رقمی نباشه و k رقمی باشه یعنی :

$n=\overline{a_1a_2...a_k}=10^{k-1}a_1+10^{k-2}a_2+...+a_k$

حالا :

$n^2=10^{2k-2}a_1+...+a_k^2$

از طرفی برای پیدا کردن یکان یه عدد ، باید باقی مانده اش رو به پیمانه ی 10 پیدا کنیم یعنی :

$n^2\equiv 10^{2k-2}a_1+...+a_k^2 \equiv a_k^2 ( mod 10 )$

و این یعنی یکان یه عدد مربع کامل برابر مربع یکان جذر همون عدده.
تو اول مساله هم گفتیم که این حکم برای اعداد یه رقمی برقراره. پس حکم کلاً برقراره !

3- برهان خلف. فرض میکنیم نا متناهی باشه.
در نتیجه بی نهایت عدد اول مقسوم علیهش هستن.
میدونیم هر عدد به صورت

$n=p_1^{\alpha_1}...p_k^{\alpha_k}$

هست.
اما از اونجایی که بی نهایت عدد اول مقسوم علیهش هستن ، پس باید اعداد اولی مثل

$p_{k+1} , p_{k+2},...$

هم توی تجزیه اش به عوامل اول باشن که نیستن. تناقص حاصله نشون میده که فرض خلف باطله و حکم ثابت !

4- تامیم اتحاد چاق و لاغر...

$2^{90}+5^{90}=4^{45}+25^{45}=(4+25)(4^{24}-4^{23}\times 25 +...+25^{45})= 29k \Rightarrow 29|2^{90}+5^{90}$

ممنون از لطف شما بزرگوار عزیز:123:
فقط اگه میشه برهان اون سومی که با برهان خلف هست رو یکم بیشتر توضیح بدید

Al!R3ZA · 1392/8/3

پاسخ : سوال نظریه اعداد (بخش پذیری)

البته یه ایرادی وارده...
بهتره اینطوری بگیم که میدونیم که قدر مطلق تموم مقسوم علیه های یه عدد ، از خود اون عدد کوچکتر یا مساوی ان
اما اگه این مجموعه نامتناهی باشه ، عددی (یا اعدادی بهتره) وجود داره توی اون مجموعه که از خود عددمون بزرگتره.
که میدونیم این تناقصه.
پس نتیجه میگیریم که متناهیه.

darrande · 1392/8/3

پاسخ : سوال نظریه اعداد (بخش پذیری)

فرض کنید کنید عد nنا متنهایی مقسوم علیه داشته باشه
پس دو حالت وجود داره:
1- متناهی عامل اول داشته باشه پس باید توان یکیشون بی نهایت باشه که مسلما از عدد nما بیشتر میشه
2-یا نامتناهی تا عامل اول داره که چوت همشون بزرگتر از یک اند پس ضربشون بازم بینهایت میشه که از عدد nما بزرگتره

Miss Good · 1392/8/29

پاسخ : سوال نظریه اعداد (بخش پذیری)

من فخظ آخریو بلتم گلم!!!
این مِشِد : >>>

29k=45^45+4^25

amzakeri78 · 1392/9/26

پاسخ : سوال نظریه اعداد (بخش پذیری)

میشه سوال 1 رو بیشتر توضیح بدبد؟؟؟کدوما رو باید در کدوما ضرب کنیم؟؟

@@@ · 1398/12/10

Al!R3ZA گفت

پاسخ : سوال نظریه اعداد (بخش پذیری)

با اجازه نفر قبلی من یکم واضح تر مینویسم !
1- میدونیم که هر عدد به یکی از صورت های زیره :

$3k , 3k+1 , 3k+2$

حالا میایم اینارو ضرب میکنیم تو هم :

$3k(3q)=9kq=3(3kq)=3l$

$3k(3q+1)=9kq+3k=3(3kq+k)=3l'$

$(3k+1)(3q+1)=9kq+3k+3q+1=3(3kq+k+q)+1=3l''+1$

( سه حالت دیگه رو هم به همین شکل اثبات کن... )

2- اول واضحه که اگه n یه رقمی باشه ، حکم درسته. حالا فرض میکنیم n یه رقمی نباشه و k رقمی باشه یعنی :

$n=\overline{a_1a_2...a_k}=10^{k-1}a_1+10^{k-2}a_2+...+a_k$

حالا :

$n^2=10^{2k-2}a_1+...+a_k^2$

از طرفی برای پیدا کردن یکان یه عدد ، باید باقی مانده اش رو به پیمانه ی 10 پیدا کنیم یعنی :

$n^2\equiv 10^{2k-2}a_1+...+a_k^2 \equiv a_k^2 ( mod 10 )$

و این یعنی یکان یه عدد مربع کامل برابر مربع یکان جذر همون عدده.
تو اول مساله هم گفتیم که این حکم برای اعداد یه رقمی برقراره. پس حکم کلاً برقراره !

3- برهان خلف. فرض میکنیم نا متناهی باشه.
در نتیجه بی نهایت عدد اول مقسوم علیهش هستن.
میدونیم هر عدد به صورت

$n=p_1^{\alpha_1}...p_k^{\alpha_k}$

هست.
اما از اونجایی که بی نهایت عدد اول مقسوم علیهش هستن ، پس باید اعداد اولی مثل

$p_{k+1} , p_{k+2},...$

هم توی تجزیه اش به عوامل اول باشن که نیستن. تناقص حاصله نشون میده که فرض خلف باطله و حکم ثابت !

4- تامیم اتحاد چاق و لاغر...

$2^{90}+5^{90}=4^{45}+25^{45}=(4+25)(4^{24}-4^{23}\times 25 +...+25^{45})= 29k \Rightarrow 29|2^{90}+5^{90}$

ببخشید ممکنه جواب سوال دوم اون قسمتش ک چند جمله ای برابر با n ب توان دو رسیده رو بیشتر توضیح بدین...

سوال نظریه اعداد (بخش پذیری)

P3YM4N

New Member

S.H1997

New Member

Al!R3ZA

Well-Known Member

P3YM4N

New Member

Al!R3ZA

Well-Known Member

darrande

Well-Known Member

Miss Good

New Member

amzakeri78

New Member

@@@

New Member