ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

Aref · 1390/12/12

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

ash1374 گفت

حالا درست شد.

threehandsnal · 1390/12/12

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

Aref گفت

من سوال شما رو ندیدم.داشتم سوال

$mn-1|(n^2-n+1)^2$

رو حل میکردم.اگه جایگذاری کنین و یخورده ور برین (و البته اگه من جوب نزده باشم) جواب

$((t+1)^2+1,t^2+1)$

درسته. البته من چیزی رو کپی نکردم.اگه کپی کرده بودم که هیچوقت نمیتونست جوابم غلط دربیاد. در ضمن من الان دوباره سوالو از اول حل میکنم که اگه جوبی داشت برطرف کنم و اگه راه حلم غلط بوده باشه اطلاع میدم بهتون که غلطه و اگه درست بوده باشه که راه حلم در مورد اون تیکه ای که از مینیمال بودن x نتیجه شد که فقط حالت k=2 درسته رو هم براتون توضیح میدم.
در ضمن-ما اومدیم اینجا که المپیاد بخونیم و در کنار همدیگه سوال حل کنیم.فک نکنم دلیلی برای من که سال سومم باشه که بخوام یه سوال قشنگ رو بپیچونم!!

threehandsnal · 1390/12/12

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

mahanmath گفت

احساس میکنم راه حلم تا حد زیادی جوب داشت که واسه همین از اول حل کردم سوال رو با یه راه حل دیگه که امیدوارم درست باشه:

با به هنگ mn-1 بردن به این نتیجه میرسیم که:

$mn-1|(n^2-n+1)\Rightarrow mn-1|(m+n-1)^2$

$k=\frac{(m+n-1)^2}{mn-1}$

حال باید تمامی مقادیر k را بیابیم:

$P(m,n):m^2-m(kn-2n+2)+(n-1)^2+k=0$

حال فرض کنید از بین جواب هایی که مولفه دومشان مینیمال است؛آن جوابی را انتخاب کنیم که مولفه اولش از همه کوچکتر است.فرض کنید این جواب

$(x,y)$

باشد بنابراین داریم:

$x\geq y$

.بنابراین خواهیم داشت:

$x^2-x(ky-2y+2)+(y-1)^2+k=0$

حال ریشه دوم این معادله بر حسب x را

$x'$

فرض میکنیم. بنابراین:

$x'^2-x'(ky-2y+2)+(y-1)^2+k=0$

داریم

$x\leq x'$

. طبق ویت داریم:

$x'=y(k-2)-x+2=\frac{(y-1)^2+k}{x }\geq x\Rightarrow k\geq (x-y+1)(x+y-1)$

حال دو حالت را بررسی میکنیم:

$x> y\Rightarrow k\geq 2(x+y-1)\Rightarrow \frac{(x+y-1)^2}{xy-1}\geq 2(x+y-1)\Rightarrow 2x\geq x+y\geq \: \geq 2xy-1\Rightarrow 2x(y-1)\leq 1\Rightarrow x(y-1)=0\Rightarrow x=2,y=1\Rightarrow k=4$

$x=y\Rightarrow x^2-1|(2x-1)^2\Rightarrow x^2-1|4x-5\Rightarrow x^2-1\leq 4x-5\Rightarrow (x-2)^2\leq \: \leq 0\Rightarrow x=y=2 \Rightarrow k=3$

بنابراین

$k \in \left \{ 3,4 \right \}$

است. بنابراین این دو حالت را بررسی می کنیم:

$k=3\Rightarrow m^2-2m+n^2-2n-mn+4=0\Rightarrow (m-2)^2+(n-2)^2+(m-n)^2=0\: \Rightarrow m=n=2$

$k=4 \Rightarrow (m-n)^2-2(m+n)+5=0$

چون m-n عددی فرد است قرار دهید :

$(p\in \mathbb{Z})$

$m-n=2p+1$

.بنابراین خواهیم داشت:

$\Rightarrow m+n=2p^2+2p+3\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m=(p+1)^2+1\\ n=p^2+1 \end{matrix}\right.$

$(m,n)=((p+1)^2+1,p^2+1)$

بنابراین مجموعه جواب این میشه:

$A=\left \{ (x,y)|x=(p+1)^2+1,y=p^2+1\: \: (p\in \mathbb{Z}) \right \}\bigcup \left \{ (2,2) \right \}$

amirrezaeshraghi · 1390/12/12

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

نزوال نا متناهی فرماااااااا

threehandsnal · 1390/12/12

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

amirrezaeshraghi گفت

یذره بیشتر توضیح میدین؟ :-؟

math-sina · 1390/12/12

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

ما منتظریم اجازه بدین راه حل سوال بعدی رو بزاریم !:126:

threehandsnal · 1390/12/12

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

math-sina گفت

فک کنم باید منتظر باشیم که سوال بعدی رو بذارن! :91: چون فک نکنم راه حلم جوب داشته باشه بازم :186:

goodarz · 1390/12/12

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

من راه حل دوست عزیزمون threehandsnal رو خوندم و مشکلی ندیدم, برای همین سوال بعدیو (گرچه قبلا هم روش بحث شده) میذارم:

همه زوج های

$(m,n)$

از اعداد طبیعی رو بیابید که

$mn-1\mid m^2+n^2$

.

راه حل این سوال رو هم تمیز و مرتب بنویسین که بریم سوال بعد :4:

math-sina · 1390/12/12

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

این هم سوالی که راه حلش کامل گذاشته نشده بود:
همه

$(m,n)$

های طبیعی که

$mn-1|m^2+n^2$

.

داریم

$kmn-k=m^2+n^2 \Leftrightarrow \frac{ m^2+n^2}{mn-1}=k$

.

ادعا می کنیم :

$k=5$

بدون کم شدن از کلیت مساله فرض کنید

$1\leq m\leq n$

. در بین همه ی زوج های

$(m,n)$

که در شرایط مساله صدق می کنند

$(m_0,n_0)$

را طوری اختیار می کنیم که

$m_0+n_0$

حداقل باشد. در واقع

$(m_0,n_0)$

ریشه های چندجمله ای

$x^2+y^2 -kxy +k =0$

هستند. توجه کنید که در این صورت

$(n_0, kn_0-m_0)$

هم ریشه های چند جمله ای مذکور هستند و چون

$m_0+n_0$

حداقل است پس داریم :

$m_0+n_0\leq n_0+ kn_0-m_0 \Rightarrow 2m_0\leq kn_0 (1)$

$\rightarrow kn_0=\frac{m_0^2+n_0^2}{m_0n_0-1}.n_0\geq 2m_0 \Leftrightarrow n_0^3\geq m_02n_0-2m_0$

و چون فرض مان بر این بود که

$m_0\leq n_0$

پس به ازای

$t$

نامنفی داریم :

$n_0=m_0+t$

.

اکنون با جاگذاری در معادله ی اول بدست می آوریم :

$2m_0^2t+m_0t^2 - 2m_0 - 2n_0 \leq 0$

با تعیین علامت بر حسب

$t$

داریم :

$0 \leq t\leq \frac{2m_0}{\sqrt{(m_0^2-1)^2+2m_0^2}+m_0^2-1}< 2$

.

پس

$t=0$

یا

$t=1$

.
اگر

$t=0$

داریم

$m_0=n_0 \rightarrow m_0^2-1| 2m_0^2 \rightarrow m_0^2-1|2$

که تناقض است.
پس

$t=1$

یعنی

$m_0+1=n_0 \rightarrow m_0^2+m_0-1|2m_0^2+2m_0+1 \rightarrow m_0^2+m_0-1|2m_0^2+2m_0+1 -2(m_0^2+m_0-1)=3 \rightarrow m_0=1 \rightarrow n_0=2 \rightarrow k=\frac{4+1}{1} = 5 \rightarrow \sqsubset k=5\sqsupset$

اکنون باید تمام جواب های طبیعی معادله ی

$x^2+y^2-5xy+5 = 0$

را بیابیم :4: (فکر کنم خود این به تنهایی یک سوال بوده- TST ویتنام!)

دقت کنید اگر

$(m,n)$

ریشه های آن باشند آنگاه

$(n,5n-m)$

هم ریشه های آن هستند. جواب اولیه مان هم

$(m,n)=(1,2)$

هست. پس جمله عمومی مان هم

$a_{n+1}=5a_n - a_{n-1}$

است، باشرط

$a_0=1, a_1=2$

.
پس کل جواب ها به فرم

$(x,y)=(a_{n-1},a_n)$

به دست می آید.

امیدوارم از 7 نمره همشو بگیرم :4:

threehandsnal · 1390/12/12

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

goodarz گفت

این سوال به نسبت سوالای قبلتون یخورده آسونتر بود.اینم راه حلش:

$mn-1|m^2+n^2\Rightarrow \frac{m^2+n^2}{mn-1}=k\Rightarrow m^2-m(kn)+(n^2+k)=0$

حال مثل سوال قبل فرض کنید از بین جواب هایی که مولفه دومشان مینیمال است؛آن جوابی را انتخاب کنیم که مولفه اولش از همه کوچکتر است.فرض کنید این جواب

$(x,y)$

باشد بنابراین داریم:

$x\geq y$

.بنابراین خواهیم داشت:

$x^2-x(ky)+(y^2+k)=0$

حال فرض کنید جواب دیگر این معادله

$x'$

باشد.و طبق فرض داریم

$x\leq x'$

. بنابراین طبق ویت خواهیم داشت:

$x'=\frac{y^2+k}{x}\geq x\Rightarrow x^2-y^2\leq k\Rightarrow x^2-y^2\leq \frac{x^2+y^2}{xy-1}\Rightarrow y(x-y) (x+y)\leq \: \leq 2x$

حال سه حالت را در نظر میگیریم:

$x=y\Rightarrow x^2-1|2x^2\Rightarrow x^2-1|2$

که جواب طبیعی ندارد.

$x=y+1\Rightarrow y^2+y--1|2y^2+2y+1\Rightarrow y^2+y-1|3\Rightarrow y=1,x=2\Rightarrow k=5$

$x\geq y+2\Rightarrow 2y(x+y)\leq y(x-y)(x+y)\leq 2x\Rightarrow 0< y^2\leq x(1-y)\Rightarrow y=1\Rightarrow x-1|x^2+1\Rightarrow x-1|2\: ,\: x\geq y+2\Rightarrow x=3\Rightarrow k=5$

بنابراین سوال به حل این معادله دیوفانتی تبدیل شد که جواب مینیمال آن

$(2,1)$

است.

$P(m,n):m^2-5mn+n^2-5=0$

واضح است که از

$P(x,y)=0$

میتوان به

$P(y,5y-x)=0$

رسید. بنابراین به این دنباله بازگشتی خواهیم رسید:

$a_{n+2}=5a_{n+1}-a_n\: \: ,a_1=1,a_2=2$

$a_n=\left ( \frac{-13+3\sqrt{21}}{2\sqrt{21}} \right ).\left ( \frac{5+\sqrt{21}}{2} \right )^n+\left ( \frac{13+3\sqrt{21}}{2\sqrt{21}} \right ).\left ( \frac{5-\sqrt{21}}{2} \right )^n$

بنابراین کلیه جوابها به این فرم خواهند بود:

$A=\left \{ (x,y)|x=a_n,y=a_{n+1} \right \}\bigcup \left \{ (y,x)|x=a_n,y=a_{n+1} \right \}$

{نوشتن جوابها با math-sina همزمان شدند}

goodarz · 1390/12/12

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

جناب math-sina, اگه اون دنباله بازگشتی رو هم حل کنید خیلی بهتره, البته جوابا به فرم رادیکالی میشن ولی اگه فرم کلی جوابو بنویسین دیگه مطمئنین نمره از دست نمیدین :3:
جناب threehandsnal, شما هم فکر کنم توی اون بخش که دنباله بازگشتی رو حل کردین یه توان n کم گذاشتین. :3:
ممنون از جوابایی که نوشتین. من نتونستم غلطی توش پیدا کنم. (البته به علت خواب آلودگی حال نداشتم محاسباتتونو چک کنم, ولی ایشالله که درسته, چون کلیت راه حل درست بود)
سوال آخر رو هم به زودی علیرضا میذاره.

threehandsnal · 1390/12/12

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

goodarz گفت

ممنون استاد؛ تصحیح شد:3:

threehandsnal · 1390/12/12

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

با اجازه همگی من توی Maths Links به جوابای اینجا پست دادم =))

AoPS Forum - two vieta jumping problems • Art of Problem Solving
(Post #3)

AoPS Forum - Diophantine equation at romanian tst • Art of Problem Solving
(Post #11)

AoPS Forum - x^2 + y^2 - 5xy + 5 = 0 • Art of Problem Solving
(Post #10)

دیگه بلد نبودن زبان فارسی رو google translate باید بهشون کمک کنه :دی

math-sina · 1390/12/12

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

threehandsnal گفت

به قول آقای شریفی طرف مثلا از چین با کلی ادعا و کلی سابقه اومده تو AoPs ! بعدش مجبوره بیاد نوشته های بچه دبیرستانی های ایرانو بخونه !!

goldeneagle · 1390/12/12

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

سوال آخر برای شب زنده دارها: IMO Shortlist 2009
همه ی اعداد طبیعی n را بیابید که دنباله ی

$a_1,a_2,...a_n$

از اعداد طبیعی موجود باشد که

$‌a_{k+1} = \frac {a_k^2+1}{a_{k-1}+1}-1$

برای هر

$n-1 \geq k \geq 2$

یک نکته: یک چیزی توی این سواله خیلی نامردیه!!!! شب بر شما خوش! :4:

goldeneagle · 1390/12/12

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

پ.ن: مبحث بعدی هندسه مختلط است که گرداننده اصلی آن ماهان است!
پ.ن 2 :دوستان اگه سوال اضافه میخواهید از ماهان بگیرید هر چند من توصیه می کنم این کار رو نکنید...بذارید بقیه سوالها رو به مرور زمان بدون دانستن این که ایده اصلی vieta هست حل کنید.... :3:

threehandsnal · 1390/12/13

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

goldeneagle گفت

اول از همه یه تشکر درست حسابی از goldeneagle عزیز که این سوالو گذاشتن و این وقت شب مارو شب زنده دار نگه داشتن

البته اون نکته یا راهنمایی آخر کارتون منو خیلی دلگرم کرد برای حل مساله :21:

حل کردم و امیدوارم جوب نزده باشم

این وقت شب جوب خور هممون بالاست

ابتدا با یذره ساده کردن جمله عمومی دنباله بازگشتی و جمع کردن طرفین با 1 این شکلی میشه:

$2\leq k\leq n-1:(a_{k+1}+1)(a_{k-1}+1)=a_k^2+1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a_k+1|a_{k-1}^2+1\\ a_{k-1}+1|a_k^2+1 \end{matrix}\right.$

حالا میخوایم ثابت کنیم که

$a_{k-1},a_k$

زوج اند.برهان خلف: فرض کنید مثلا

$a_k$

فرد باشه.داریم:

$a_k+1|a_{k-1}^2+1$

بنابراین

$a_{k-1}$

هم فرد هست.

$a_k^2+1=(a_{k-1}+1)(a_{k+1}+1)\Rightarrow 2t(a_{k+1}+1)\equiv 2(mod \: 4)$

پس

$a_{k+1}$

زوجه!ولی داریم:

$a_k+1|a_{k+1}^2+1\Rightarrow 2t'|2t''+1$

که تناقض است.با فرض اینکه

$a_{k-1}$

هم فرده به طور مشابه به تناقض میرسیم.بنابراین داریم(k هایی را میتوانیم در نظر بگیریم که در اشتراک راه طی شده برای اثبات زوج بودن

$a_{k-1},a_k$

هستند) :

$2\leq k\leq n-1\: ,\: \exists t\in\mathbb{Z}:a_k=2t$

حال برای ساده سازی در نوشتن فرض کنید

$a_k=m,a_{k-1}=n$

.بنابراین داریم:

$\left\{\begin{matrix} m+1|n^2+1\\ n+1|m^2+1 \end{matrix}\right.$

حال فرض کنید از تمامی جوابهای طبیعی و زوج این معادله جوابی را در نظر بگیریم که در آن

$m+n$

مینیمال باشد.

$(n+1)(k+1)=m^2+1$

$(n+1)(k+1)\equiv 1(mod\: 4)\Rightarrow (k+1,4)=1$

بنابراین k زوج است.

$m=\left \frac{n^2+1}{k+1}-1 \right \Rightarrow n+1|\left ( \left \frac{n^2+1}{k+1}-1 \right \right )^2+1\Rightarrow n+1|(n^2-k)^2+(k+1)^2\Rightarrow n+1|(k-1)^2+(k+1)^2\Rightarrow n+1|2(k^2+1),(n+1,2)=1\Rightarrow n+1|k^2+1$

پس توانستیم از جواب (m,n) به جواب (n,k) برسیم و چون

$m+n$

مینیمال است پس فقط سه حالت داریم:
1)

$k=0$

.یعنی:

$m=n^2\Rightarrow n+1|n^4+1\Rightarrow n+1|2\Rightarrow n=1$

که این با زوج بودن n متناقض است.پس این حالت رد شد.

2)

$k=m$

.یعنی:

$m^2+1=(n+1)^2$

که هیچ جواب طبیعی ای ندارد.

3)

$k>m$

.یعنی اینکه از روی هر دو

$(m,n)$

میتوانیم نامتناهی تا جمله دیگر با m+n بزرگتر مثل

$(n,k)$

بسازیم و از آنجا که تعداد مقسوم علیه های

$n^2+1$

متناهی است ولی با توجه به فرض داریم

$k+1|n^2+1$

و این یعنی تناقض!!!
و این یعنی هیچ جواب زوج و طبیعی

$(m,n)$

ای وجود ندارد که

$\left\{\begin{matrix} m+1|n^2+1\\ n+1|m^2+1 \end{matrix}\right.$

.

حال باید n ای را بیابیم که هیچ دو عضو متوالی و زوجی از آن رابطه

$\left\{\begin{matrix} a_k+1|a_{k-1}^2+1\\ a_{k-1}+1|a_k^2+1 \end{matrix}\right.$

را نداشته باشند.حال ثابت میکنیم حداکثر طول دنباله n=4 است.فرض کنید طول دنباله ای 5 باشد.که اگر در معادلات بالا قرار دهیم k=3 آنگاه به این نتیجه میرسیم که

$a_2,a_3$

هر دو زوج هستند!و با توجه به معادلات بالا به تناقض میرسیم!!!(چون همانطور که گفته شد این معادله بالا به ازای m,n زوج جواب ندارد.پس دنباله به طول 3 خواهد شد!!)بنابراین جمله پنجمی وجود ندارد و پس

$n\leq 4$

است.حال دنباله ای با طول 4 میسازیم!
میدانیم در دنباله ای به طول 4 داریم:

$\left\{\begin{matrix} a_2^2+1=(a_1+1)(a_3+1)\\ a_3^2+1=(a_2+1)(a_4+1) \end{matrix}\right.$

برای اینکه بتوانیم حدسی برای ساخت دنباله بدست بیاوریم باید داشته باشیم:

$\left\{\begin{matrix} a_2+1|a_3^2+1\\ a_3+1|a_2^2+1 \end{matrix}\right.$

میدانیم که

$a_2,a_3$

همزمان نباید زوج باشند!اگر

$a_3$

فرد باشد آنگاه

$a_2$

نیز فرد خواهد بود.سعی میکنیم با همین حدس فرد بود هر دوی اینها جلو برویم.

$a_2^2+1=(a_1+1)(a_3+1)\Rightarrow (a_1+1)(2s+1+1)\equiv 2(mod\: 8)\Rightarrow (a_1+1)(k+1)\equiv \: \equiv 1(mod\: 4)\Rightarrow (a_1+1,4)=1$

بنابراین

$a_1$

زوج خواهد شد.از مقادیر ابتدایی شروع میکنیم.

$a_1=2\Rightarrow a_2^2+1=3(a_3+1)\Rightarrow 3|a_2^2+1\Rightarrow 3|1$

که تناقض است!

$a_1=4\Rightarrow a_2^2=5a_3+4,a_3=2p+1\Rightarrow a_2=10t\pm 3$

حال با امتحان کردن

$3,7,13,17,21,27,33,37,...$

و بدست آوردن بقیه جملات دنباله,اولین

$a_2$

قابل قبولی که بدست می آید(

$a_2$

ای که جملات

$a_3,a_4$

طبیعی باشند)

$a_2=33$

است.پس این دنباله به صورت زیر است:

$4,33,217,1384$

این دنباله بدست آمده کوچکترین دنباله است(و از 1384 اش برمیاد که سوال پیشنهادی جهانی ایران توی(2005 میلادی=1384 خورشیدی) IMO 2005 باشه

ایران از این خز بازیا ممکنه در بیاره

‌)

البته واضحه وقتی برای n=4 دنباله ساخته شده با حذف کردن جمله 4 ام این دنباله؛دنباله ای برای n=3 ساخته میشود و با حذف دو جمله آخر دنباله ای برای n=2 و با حذف سه جمله آخر دنباله ای برای n=1 ساخته میشود که در جمله عمومی دنباله نیز صدق میکند...پس اگر مجموعه جواب را

$A$

بنامیم آنگاه خواهیم داشت:

$A=\left \{ 1,2,3,4 \right \}$

سوال خیلی قشنگی بود.بازم دم این چهار تا طلایی گرم که از این سوالای باحال میذارن

دیگه صبح شده.ما شب زنده دارا بگیریم بخوابیم

حالا هرکی · 1390/12/13

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

goldeneagle گفت

$a_{k}+1\mid a_{k+1}^{2}+1$

,

$a_{k}+1\mid a_{k-1}^{2}+1$

,در نتیجه

$a_{k}+1\mid a_{k+1}^{2}-a_{k-1}^{2}$

,

$a_{k}+1\mid\left ((a_{k}^{2}+1)/a_{k-1}+1 \right )^{2} -a_{k-1}^{2}$

$a_{k}+1\mid\(a_{k}^{2}+1)^{2}+1-2\left ( a_{k-1}+1 \right )\left ( a_{k}^{2}+1)-a_{k-1}^{2}\left ( a_{k-1}+1 \right )$

حال نتیجه میگیریم با اندکی محاسبات که

$a_{k}+1\mid\(a_{k}^{2}+1)^{2}+1-2\left ( a_{k-1}+1 \right )\left ( a_{k}^{2}+1)-a_{k-1}^{2}\left ( a_{k-1}+1 \right )$

, حالا بازهم محاسبات را خلاصه تر میکنم و نتیجه میگیرم که

$a_{k}+1\mid a_{k}^{4}+a_{k-1}a_{k}^{2}+1$

,حالا طبق داشته های قبلی میدانیم که

$a_{k}+1\mid a_{k}a_{k-1}+a_{k-1}+1$

و همچنین

$a_{k}+1\mid a_{k}a_{k-1}+1$

این را از رابطه بالا با ساده سازی بدست میآوریم پس حالا

$a_{k}+1\mid a_{k-1}-2$

با ساده سازی روایطی که بر حسب

$a_{k}+1$

و

$a_{k-1}$

مجموعه ی جواب بدست می آِد

$\left \{ 1,2,3,4 \right \}$

البته به تمام معنا شرمنده ه خیلی خیلی خلاصه نوشتم ولی مطمئنم اشتباه محاسباتی نداشتم
ببخشید که دومین پاسخ رو دادم خوب شما شبا بی خوابی به سرتون میزنه به من چه :90:

goldeneagle · 1390/12/13

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

میدونید منظورم از نامردی این بود که برای n=4 مثالش خیلی بی خوده....اگه این سوال مثالش این قدر بی خود نبود خیلی بهتر میشد (شاید اصلا میرفت توی سوالات IMO)....تو هر چه قدرم تلاش کنی بازم باید (3و7و13و17و23و27و33) را چک کنی که بدون ماشین حساب سر جلسه واقعا اعصاب خورد کنه! مضافا بر این که چون مثال n=4 ساده نیست امکان داره فکر کنیم که n=4 مثال داره و کلا از مسیر اثبات پرت شیم بیرون...نامردیه دیگه!

threehandsnal · 1390/12/13

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

goldeneagle گفت

آره خوب :3: ولی نه وقتی آدم تو خونه اس و میتونه محاسبات رو یواشکی با ماشین حساب انجام بده :78::65:

ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member