ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

math-sina · 1390/12/13

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

پس استاد ماهان اگه میشه منبع هم برای هندسه مختلط معرفی کنید که بخونیم ! چون ما تا حالا کار نکردیم !
چیز خوبی باید باشه ! شنیدم آقای افتخاری سوال 6 جهانی پارسالو با مختلط حل کردن که راه حل شون 6 صفحه (شایدم 8 صفحه !) شده بود !

حالا هرکی · 1390/12/13

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

من خودم از آقای احمدپور پرسیدم بهترین منبع هندسه مختلط رو Complex numbers from A to Z دونستن و همچنین استاد شکریان اینو تایید کردن ببخشید که من دخالت کردم دی

threehandsnal · 1390/12/13

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

math-sina گفت

نمیدونم ولی من شنیدم که خود خانم مینا دلیر روی فرد سوال 6 جهانی رو با هندسه اعداد مختلط ثابت کردن(http://www.imo-official.org/participant_r.aspx?id=20908).اینم لینک جواب ایشونه فک کنم:

آپلود عکس و فایل

Aref · 1390/12/13

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

@mathsina: راه حلشون دکتر افتخاری دو صفحه بود!
@threehandsnal: این دست خط دکتر افتخاری هستش.

threehandsnal · 1390/12/13

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

Aref گفت

من نمیدونستم دست خط ایشونه. شایدم اون کسی که به من گفت که خانم دلیر روی فرد اون سوالو با مختلط حل کردن اشتباه گفتن :78:

mahanmath · 1390/12/13

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

عدد مختلط - ویکی‌پدیا

Complex number - Wikipedia, the free encyclopedia

این ۲ تا لینک رو یه نگاهی‌ بندازید تا با خود عدد مختلط آشنا بشید ، ضرب و جمع شون جدید نیست ولی‌ مفهوم ضرب تو اعداد مختلط خیلی‌ قابل لمس تره چون نتیجه‌اش یه تجانس مارپیچ خواهد بود .
فقط در حد تعریف هم بلد باشید کافیه . تا ظهر چند تا مساله ساده از مختلط میذارم بعد سوالش رو سخت تر می‌کنیم !

math-sina · 1390/12/13

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

@ Aref : انگار دو صفحه راه حل بود، چند صفحه دیگه هم مقدمات داشت. اون طور که من شنیدم قبلش H , O , .. و یه سری نقاط که نیاز بود رو محاسبه کرده بودن و به دست اورده بودن!

goldeneagle · 1390/12/13

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

به سینا: مگه شوکی(shoiki) هستند ایشون که 6 صفحه راه حل بنویسیند؟ :4:

به threehandsnal : نخیر راه حل ایشون به هندسه مختلط هیچ ربطی نداشت....:3: نکته بامزه و نامفهوم برای من اینجاست که این خبرها چه جوری تولید می شوند ؟! (بیخیال ..جمع کنیم این بحثها رو)

به ماهان : تو ساعت 4:11 PM پست دادی ...چه جوری تا ظهر چند تا سوال می ذاری؟ نکنه منظورت فرداس؟!! :4: یا من اشتباه استدلال می کنم؟ :39:

threehandsnal · 1390/12/13

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

goldeneagle گفت

من خودم داشتم وب گردی میکردم که یهو دیدم نوشته جواب سوال 6 جهانی با اعداد مختلط.زیرشم نوشته بود خانم دلیر روی فرد هم مثل این راه رو حل کردن.آدرس سایته یادم نیست.ولی احتمالا یذره سایت خسته ای بود که از این خبرا داد :d

mahanmath · 1390/12/13

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

۱. ABCDEیک پنج ضلعی محدب است . F,g,h,i,j به ترتیب وسط های cd,de,ea,ab,bc هستند .اگر af ، bg ، ch ، di همرس باشند ثابت کنید ej نیز از این نقطه همرسی می‌گذرد .

ash1374 · 1390/12/13

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

محل طلاقی اون چهار خط رو مبدا صفحه ی مختلط می گیریم. عدد متناظر با رئوس رو هم با حروف کوچک نمایش می دهیم. نقاط وسط اضلاع هم میانگین دو سر اون ضلع هستند. داریم از اونجایی که مثلا وسط ab با d و مبدا همخط اند پس حاصل تقسیم a+b/2 بر d عددی حقیقی است. یعنی حاصل جمعa/d و b/d عددی حقیقی است که یعنی Im(a/d)=-Im(b/d و روابط مشابهی داریم برای سایر اضلاع و از طرفی برای هر دو عدد مختلط a,b داریم Im(a/b)=(-|a|[SUP]2[/SUP]/|b|[SUP]2[/SUP])Im(b/a از روی این دو لم نتیجه می شود
Im(e/c)=-Im(a/c) =(|a|[SUP]2[/SUP]/|c|[SUP]2[/SUP])Im(c/a)=(-|a|[SUP]2[/SUP]/|c|[SUP]2[/SUP])Im(d/a)=(|d|[SUP]2[/SUP]/|c|[SUP]2[/SUP])Im(a/d)=(-|d|[SUP]2[/SUP]/|c|[SUP]2[/SUP])Im(b/d)=(|b|[SUP]2[/SUP]/|c|[SUP]2[/SUP])Im(d/b)=(-|b|[SUP]2[/SUP]/|c|[SUP]2[/SUP])Im(e/b

$Im(\frac{e}{c})=-Im(\frac{a}{c}) = Im (\frac{c}{a})\cdot (\frac{|a|^{2}}{|c|^{2}})= Im (\frac{d}{a})\cdot (\frac{-|a|^{2}}{|c|^{2}})= Im (\frac{a}{d})\cdot (\frac{|d|^{2}}{|c|^{2}})= Im (\frac{b}{d})\cdot (\frac{-|d|^{2}}{|c|^{2}})= Im (\frac{d}{b})\cdot (\frac{|b|^{2}}{|c|^{2}})= Im (\frac{e}{b})\cdot (\frac{-|b|^{2}}{|c|^{2}})$

اگر در تساوی بالا به اولین و آخرین عبارت نگاه کنید می بینید که نتیجه می ده Im(b/e)=-Im(c/e که نتیجه می ده حاصل تقسیم b+c بر e حقیقی است که حکم را نتیجه می دهد.
معذرت می خوام یکم بد نوشتم. امیدوارم محاسباتم درست باشه.

mahanmath · 1390/12/13

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

مرسی‌ ، راه حلتون درسته . اینجا هم میتونید سوال و راه حلی که گذاشتم رو ببینید . چند تا کار که تو این مساله انجام دادیم و مهم هستند :
۱-منتقل کردن شکل به یه جایی که مبدا مختصات بیاد رو نقطه‌ای که راه حل رو ساده تر کنه . مثلا اینجا بدیهی‌ بود که نقطه تلاقی‌ باید نقطه ویژه‌ای باشه .

۲-مفهوم هم خط بودن با مرکز مختصات تو اعداد مختلط

۳- فرض کنید ۲ تا نقطه a,b روی دایره واحد باشند در این صورت :

وسط وتر ab می‌شه میانگین حسابی‌ a,b

وسط کمان ab می‌شه میانگین هندسی a,b

قطب ab می‌شه میانگین توافقی a,b

(منظور از قطب ،محل تلاقی مماس‌های بر دایره در نقاط a,b است)

مساله اولی‌ که گذاشتم از یه جهت خاص بود ، مرکز مختصات توش مهم بود ولی‌ خود دایره واحد توش موثر نبود . در صورتی‌ که در بیشتر مسائل شما باید یه دایره (که معمولاً یکتا تعیین می‌شه!) رو انتخاب کنید و روی اون کار کنید . تو مساله بعدی شما با یه دایره هم سر و کار دارید .

سوال بعد :

$I$

مرکز چهار ضلعی محیطی‌

$ABCD$

است . این دایره محاطی در

$P,Q$

بر

$AB,CD$

مماس است .

$R$

محل طلاقی

$AD,BC$

. عمود بر

$PR$

در

$P$

$AI ,BI$

را در

$A_0,B_0$

قطع می‌کند . عمود بر

$QR$

در

$Q$

$CI,DI$

را در

$C_0,D_0$

قطع می‌کند . ثابت کنید

$A_0 D_0 = B_0 C_0$

mahanmath · 1390/12/14

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

با شرمندگی فراوان باید بگم که حکم این مساله آخر رو جا به جا نوشته بودم (به جای c ،d گذاشته بودم) . واقعاً معذرت میخوام .
(مرسی‌ hadikh)

math-sina · 1390/12/15

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

اگه راهنمایی کنین ممنون میشم

goodarz · 1390/12/15

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

math-sina گفت

به نیابت از ماهان: فرض کنید

نقاط تماس اضلاع

با دایره واحد باشن. داریم:

. حالا سعی کنید

رو حساب کنید....

ash1374 · 1390/12/15

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

اول تشکر می کنم بابت زحماتتون و مخصوصا بابت این سوال جالب.:3:
سعی می کنیم b0 رو حساب کنیم. دو تا خط داریم که می دونیم b0 روی اونهاست. اولا می دونیم b0 با مرکز مختصات و Bهمخطه پس

$\frac{b_{0}}{|b_{0}|}=\frac{B}{|B|}=\frac{\frac{2ab}{a+b}}{|\frac{2ab}{a+b}|}\Rightarrow \frac{b_{0}}{\bar{b_{0}}}=\frac{\frac{2ab}{a+b}}{\bar{\frac{2ab}{a+b}}}=ab$

حالا از اونجایی که RPبرRB[SUB]0[/SUB] عموده داریم

$\frac{b_{0}-a}{|b_{0}-a|}=\pm i \frac{\frac{2bd}{b+d}-a}{|\frac{2bd}{b+d}-a|}\Rightarrow \frac{b_{0}-a}{\bar{b_{0}-a}}=-\frac{\frac{2bd}{b+d}-a}{\bar{\frac{2bd}{b+d}-a}}\Rightarrow$

$\frac{b_{0}-a}{\frac{b_{0}}{ab}-\frac{1}{a}}=\frac{a(2bd-ab-ad)}{2a-b-d}$

حالا از اینجا b[SUB]0[/SUB] بدست می آد.

$b_{0}=\frac{2b(d-a)}{d-b}$

به طور مشابه c[SUB]0[/SUB] حساب میشه.

$c_{0}=\frac{2b(d-c)}{d-b}$

حالا مقدار نرم c[SUB]0[/SUB]b[SUB]0[/SUB] حساب می کنیم.

$|c_{0}b_{0}|^{2}=(c_{0}-b_{0})(\bar{c_{0}}-\bar{b_{0}})=(\frac{2b(d-a)}{d-b}-\frac{2b(d-c)}{d-b})(\frac{2\frac{1}{b}(\frac{1}{d}-\frac{1}{a})}{\frac{1}{d}-\frac{1}{b}}-\frac{2\frac{1}{b}(\frac{1}{d}-\frac{1}{c})}{\frac{1}{d}-\frac{1}{b}})=-4(\frac{\frac{a}{c}+\frac{c}{a}-2}{(d-b)(\frac{1}{d}-\frac{1}{b})})$

با توجه به اینکه عبارت بالا نسبت به aوc و همچنین نسبت به b وd متقارنه بنابراین مقدار نرم a[SUB]0[/SUB]d[SUB]0[/SUB] هم همین میشه که حکم رو نتیجه می ده. امیدوارم محاسباتم درست باشه.
به علاوه من یه سوال از اساتید طلایی دارم. خوب مثلا وقتی ما این سوالو ببینیم چطور بفهمیم با مختلط خوب حل میشه.:39: اگه مقدار b0 پیچیده میشد طبیعتا خیلی کار سخت و حتی غیر ممکن میشد . اینجا شانس اوردیم که b0 خوب محاسبه شد. یعنی تو یک کلام خواستم بپرسم چه سوالایی مختلط خورشون ملسه. با تشکر از زحماتتون

math-sina · 1390/12/16

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

دیگه سوال نمیزارین اساتید ؟

goodarz · 1390/12/16

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

بخش اعظم (یا بهتر بگم همه!) کار بخش هندسه مختلط با ماهانه, و اونم این روزا یکم سرش شلوغه :3:

mahanmath · 1390/12/16

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

اولا یه معذرت خواهی‌ باید بکنم به خاطر این همه تاخیر ، همونطور که گودرز گفت این روزا یه خورده اوضاعم به هم ریختست .ولی‌ سعی‌ می‌کنم هر شب سر بزنم :

"شبا که تو میخوابی آقا ماهان بیداره --- تو خوابه خوش میبینی‌ ، ماهان سوال میذاره !"

اینم لینک مساله قبلی‌

راه حل "Louis" برای من یکی‌ راه حل سر راستی‌ نبود . در صورتی‌ که حل مختلطش کمتر از ۵ دقیقه وقت گرفت . نظر شما چیه ؟

سوال بعدی :

در مثلث حاده الزاویه

$\triangle ABC$

داریم

$BC=\min\left \{ BC,CA,AB \right \}$

. دوایر محیطی‌

$\triangle AHC , \triangle AHB$

اضلاع

$AB,AC$

رو به ترتیب برای بار دوم در

$M,N$

قطع میکنند . ثابت کنید مرکز دایره محیطی‌

$\triangle MHN$

روی خط اویلر

$\triangle ABC$

قرار دارد .
(

$H$

مرکز ارتفاعی)

mahanmath · 1390/12/18

پاسخ : ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

راهنمایی کنم ؟
خوب اولش که دایره محیطی‌ مثلث رو دایره واحد میگیریم .
تنها چیزی که نیاز دارید ، و خیلی‌ هم مهمه اینه که قبل از شروع به خر کاری (!!) یه مقدار هندسی به مساله فکر کنید تا لازم نباشه برای بدست اوردن همه نقاط بخواین محاسبات انجام بدین .

ماراتن المپیاد ریاضی- کاری از دوره طلا

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member