ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

M_Sharifi · 1389/3/23

راهنمایی 1: فرض کنید

$x_2=y_2+1$

و

$x_n=y_n+1$

.

Aref · 1389/3/23

چرا چنین فرضی میشه کرد؟ شاید یکی از

$x_i$

ها از n+1 بیشتر باشه، و نشه چنین فرضی کرد.

M_Sharifi · 1389/3/23

Aref گفت

البته فرض رو اصلاح کردم.
چرا اگه یکی از

$x_i$

ها از n+1 بیشتر باشه نمیشه چنین فرضی کرد؟

Aref · 1389/3/23

$s=\sum _{k=1}^nx_k=n+2;x_i\geq n+1\Leftrightarrow s-x_i\leq 1$

یعنی بقیه ی متغیر ها کوچکتر از یک میشن. و این یعنی

$y_n,y_2$

منفی میشوند. ولی چون این سوال بهش میخوره که باید با نابرابری حلش کرد و با این تغییر متغیر بعضی از جملات عبارت منفی میشن و بعضیاشون مثبت، نمیشه نابرابری رو به کار برد.

M_Sharifi · 1389/3/23

Aref گفت

این روابط یه جوری باید با هم ترکیب بشن که با ترکیب این معادله ها با فرض

$y_2\geq-1~,y_n\geq-1,~x_1,x_3,\ldots,x_{n-1}\geq0$

به یه نتیجه ی خوب رسید. لزومی نداره که یه نابرابری خوش فرم رو بشه از اون اول به کار برد. ولی میشه با توجه به جواب معادله (که قابل حدس زدنه) یه کارهایی انجام داد.

M_Sharifi · 1389/3/24

دستگاه جدید به صورت

[center:f92d5c6ed1]

$\left\{\begin{matrix} x_1+y_2+x_3+\cdots+x_{n-1}+y_n=n\\ x_1+2y^2+3x_3+\cdots+(n-1)x_{n-1}+ny_n=n\\ x_1+2^2y_2+3^2x_3+\cdots+(n-1)^2x_{n-1}+n^2y_n=n\\ x_1+2^3y_2+3^3x_3+\cdots+(n-1)^3x_{n-1}+n^3y_n=n \end{matrix}\right.$

در می آید. با توجه به برابری مقادیر سمت راست معادله ها، اگر

$P(x)$

یک چندجمله ای از درجه ی حداکثر 2 باشد،

$\sum_{i=1}^n(i-1)P(i)x_i=0$

چراکه مجموع ضرایب چندجمله ای

$(x-1)P(x)$

برابر صفر است (توی این سیگما و سیگمای بعد، منظور از

$x_2,x_n$

، همون

$y_2,y_n$

هستش). بنابراین

$\sum_{i=1}^n (i-1)(i-2)(n-i)x_i=0$

اما با توجه به فرض مسئله،

$(i-1)(i-2)(n-i)x_i\geq0$

. بنابراین

$x_3=x_4=\cdots=x_{n-1}=0$

. با جایگذاری این مقادیر در معادله نهایتا به جواب

$(x_1,x_2,\ldots,x_n)=(n,1,0,0,\ldots,0,1)$

می رسیم.

[/center:f92d5c6ed1]

M_Sharifi · 1389/3/24

[center:5ad8609ba4]

$\300dpi \huge 7$

دنباله ی

$\{a_n\}_{n\geq1}$

به صورت زیر تعریف شده است

$a_1>0,\qquad a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n^2}$

[/center:5ad8609ba4]
الف) ثابت کنید برای هر

$n\geq2$

،

$a_n\leq\frac1{\sqrt{2n}}$

.
ب) ثابت کنید

$n$

ای وجود دارد که

$a_n>\frac7{10\sqrt n}$

.

Aref · 1389/3/24

M_Sharifi گفت

این قسمتشو نفهمیدم، اون سیگما از کجا اومده؟و چرا از این که مجموع ضرایب

$(x-1)P(x)$

برابر صفر است می توان نتیجه گرفت که مقدار سیگما صفر است؟

M_Sharifi · 1389/3/24

Aref گفت

حاصل اون سیگما یه عبارت میشه که برابره با ترکیبی از ضرب چهار تا معادله ی دستگاه در یه اعدادی، که این اعداد، همون ضرایب چندجمله ای

$(x-1)P(x)$

اند. چون مجموع ضرایب

$(x-1)P(x)$

برابر صفره و سمت راست معادله ها همه برابر n اند، پس حاصل این سیگما هم صفر میشه. می تونی با یه چندجمله ای دلخواه امتحان کنی تا ببینی چه اتفاقی می افته.

mousavi · 1389/3/25

پایه استقرا مشخصه
a_n<=1/2n ^1/2
می خواهیم ثابت کنیم
a_n/1+a_n^2<=1/2 * n+1 ^1/2
اگر ساده کنیم
a_n^2 *2n <=a_n^4 +1
n- a_n^2 ^2 -n^2 +1 >=0
عبارت فوق بزرگتر است از
n -1/4n^2 ^2 -n^2 +1
که این هم مثبت است(توجه کنید در بالا از شرط a_n>0 استفاده کردیم)

mousavi · 1389/3/25

اقای شریفی در قسمت ب میشه از دنباله تفاضلات جملات متوالی استفاده کرد و حالت حدی پیدا کنه؟

M_Sharifi · 1389/3/25

mousavi گفت

برای فرمول نویسی می تونید از سایت http://codecogs.com/latex/eqneditor.php استفاده کنید و لینک عکس فرمول رو در قسمت وارد کردن تصویر وارد کنید. چون خوندن این چیزهایی که نوشتید، سخته.

M_Sharifi · 1389/3/26

mousavi گفت

توی قسمت (ب) اول برای راحتی محاسبات فرض کنید

$b_n=\frac1{a_n}$

. طبق قسمت الف،

$b_n\geq\sqrt{2n}$

. حالا ثابت کنید دنباله ی

$c_n=b_n-\sqrt{2n}$

اکیدا نزولی و مثبته و نتیجه بگیرید که حد داره. در نهایت ثابت کنید

$\lim_{n\to\infty}c_n=0$

که حکم قسمت (ب) رو نتیجه میده.

Aref · 1389/3/26

$a_{n+1}=\frac{1}{\frac{1}{a_n}+...+\frac{1}{a_1}+a_1}$

Aref · 1389/3/26

[center:3526dd117b]

$a_{n+1} \le\frac{1}{\sqrt{2(n+1)}}\\ ~~~~~~~~\iff\frac{1}{a_n}+\cdots+\frac{1}{a_1}+a_1\ge 2+\sqrt{2}(\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n})\ge \sqrt{2(n+1)} \\ ~~~~~~~~\iff\sqrt{n+1}-\sqrt{n} <1<\sqrt{2}\iff n<\sqrt{n(n+1)}$

[/center:3526dd117b]

M_Sharifi · 1389/3/26

Aref گفت

درست نیست. باید این طوری بشه:
[center:1a582df49b]

$a_{n+1}=\frac1{a_n+a_{n-1}+\cdots+a_1+\frac1{a_1}}$

[/center:1a582df49b]

Aref · 1389/3/26

$a_{n+1}=\frac{1}{b_1+...+b_n}$

که

$b_i=\frac{1}{\sum _{k=1}^{i-1}b_k}$

و

$b_1=\frac{1}{a_1}$

.

M_Sharifi · 1389/3/27

Aref گفت

درسته. ولی دنباله b[SUB]n[/SUB] ای که تعریف کردی با دنباله ی a[SUB]n[/SUB] هیچ فرقی نداره (به جز جمله ی اول). دقیقا همون فرمول پست قبلی میشه. حالا بقیه اش؟

M_Sharifi · 1389/3/27

[center:ebf849a7eb]

$\300dpi \huge 7$

همه ی مقادیر

$a$

را بیابید که تابع غیر ثابت

$f:(0,1]\to\Bbb R$

وجود داشته باشد که برای هر

$x,y\in(0,1]$

،

[/center:ebf849a7eb]
[center:ebf849a7eb]

$a+f(x+y-xy)+f(x)f(y)\leq f(x)+f(y)$

[/center:ebf849a7eb]

mahanmath · 1389/3/27

M_Sharifi گفت

جواب :

$\120dpi a\in(-\infty,\frac{1}{4})$

ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

راهبر ریاضی

New Member

راهبر ریاضی

New Member

راهبر ریاضی

راهبر ریاضی

راهبر ریاضی

New Member

راهبر ریاضی

New Member

New Member

راهبر ریاضی

راهبر ریاضی

New Member

New Member

راهبر ریاضی

New Member

راهبر ریاضی

راهبر ریاضی

New Member