ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Goharshady · 1388/11/30

سلام
بعضی از دوستان خواسته بودند که ماراتن جبر هم برگزار بشه ، درست مثل ترکیبیات و هندسه. به خاطر همین این تاپیک را ایجاد کردم.

قوانین:
1- فقط فارسی بنویسید
2- تا وقتی سوال حل نشده ای وجود دارد سوال جدیدی مطرح نکنید
3- بالای مطالبتان شماره سوال را بزرگ بنویسید.

و اما:
[center:1112bacab3]

[/center:1112bacab3]

سوال اول:

فرض کنید a و b وc اعدادی حقیقی باشند به طوری که

ثابت کنید برای هر x حقیقی:

[center:1112bacab3]

[/center:1112bacab3]

Goharshady · 1388/12/1

من از Chrome استفاده می کنم و خیلی هم راضی هستم. ولی....
مشکل از ایران بلاگ بود که رفع شد و از همه کاربران هم معذرت خواهی کردند!

Goharshady · 1388/12/1

[center:3293647d93]

[/center:3293647d93]جواب سوال شماره ی یک:
با تکمیل کردن مربع های کامل داریم:
[center:3293647d93]

[/center:3293647d93]

حال به راحتی می توان دریافت که نامساوی بالا از

نتیجه می شود.

لطفا یک نفر دیگه سوال 2 رو بذاره!

rezashiri · 1388/12/1

[center:4b62d73684]

[/center:4b62d73684]
با فرض مثبت بودن

ثابت کنید:

[center:4b62d73684]

المپیاد ریاضی اتریش ،1971[/center:4b62d73684]

rezoos · 1388/12/2

میتونیم a , b ,c رو اضلاع مثلث بگیریم؟

M_Sharifi · 1388/12/2

rezoos گفت

همین جوری نه.

rezashiri · 1388/12/2

راهنمایی:

می تونیم فرض کنیم

(با توجه به تقارن بین

)

M_Sharifi · 1388/12/4

این نابرابری، تغییر شکل یافته ی نابرابری شور هستش:

[center:f0837eea12]

[/center:f0837eea12]

MesiGooly · 1388/12/5

من بو تاپيك ده نمنه يازسام توركجه اولاجاخدير
بو موتغيّير دييشماغي نظر ده توتوز:
x=(b+c-a)/2
y=(c+a-b)/2
z=(a+b-c)/2
اوندا a,b,c ده بوجور اولار:
a=y+z
b=z+x
c=x+y
ناموساوي چوخ راحات حل اولار

M_Sharifi · 1389/3/1

سوال بعد:

[center:9b26a2713c]

$\300dpi \huge 3$

[/center:9b26a2713c]
[center:9b26a2713c]
[/center:9b26a2713c]یک جاده ی نامتناهی، در فاصله های 1500 متری دارای چراغ های راهنمایی است. چراغ ها همزمان با هم عمل می کنند و متناوبا به مدت

$1.5$

دقیقه سبز و به مدت

$1$

دقیقه قرمز می شوند. برای کدام مقادیر

$v$

، یک ماشین می تواند با سرعت ثابت

$v~\Big{\frac {\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}$

حرکت کند، به طوری که هیچ گاه پشت چراغ قرمز قرار نگیرد؟

mohammad_72 · 1389/3/16

مبدا زمان رو لحظه‌ای میگیریم که دقیقا بعد از یه چراغ وایساده.
فرض کنید آخرین باری که چراغ از قرمز به سبز تبدیل شده. زمان

$-a$

باشه اونوقت شرط مسئله معادله با اینکه برای هر n یه k‌ وجود داشته باشه که :

$2.5k \leq \frac{1500}{v}n - a \leq 2.5k + 1.5$

یا معادلا

$\{ \frac{600}{v}n - \frac{2}{5}a \} \leq \frac{3}{5}$

برای هر n طبیعی.
حالا دیگه راحت میشه دید که v باید مقسوم علیه‌ی از 1200 باشه.

M_Sharifi · 1389/3/16

[center:9cd6c9692d]

$\300dpi \huge 4$

اعداد حقیقی

$a,b,c$

در رابطه های

$(a+b)(b+c)(c+a)=abc,\\ (a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)=a^3b^3c^3$

[/center:9cd6c9692d]
صدق می کنند. ثابت کنید

$abc=0$

.

Aref · 1389/3/16

$abc\neq 0\Rightarrow \prod (a^2+b^2-ab)=a^2b^2c^2\geq \prod ab\Rightarrow a^2=b^2=c^2$

$\Rightarrow sgn(a)=sgn(b)=sgn(c)$

$a,b,c>0\Rightarrow \prod (a+b)=abc\geq 8abc$

$a,b,c>0\Rightarrow -abc=\prod (-a-b)\geq 8\prod (\sqrt{ab})\Rightarrow abc=0$

Aref · 1389/3/16

khate4:
a,b,c<0

M_Sharifi · 1389/3/17

Aref گفت

درسته. هر چند که توی خط اول، اون نابرابری رو فقط با توجه به این که

$a^2-ab+b^2\geq|ab|$

میشه به کار برد، نه این که

$a^2-ab+b^2\geq ab$

.
سوال بعد:
[center:1c5cb862d6]

$\300dpi \huge 5$

اگر مجموعه ی

$S=\{(x,y): |||x|-2|-1|+|||y|-2|-1|=1,~x,y\in\Bbb R\}$

[/center:1c5cb862d6]
را با یک سیم بسازیم، طول سیم چقدر خواهد بود؟

Aref · 1389/3/19

اگر فرض کنیم

$x,y\geq 0$

و مسئله رو با این فرض حل کنیم، جواب آخر رو باید در 4 ضرب کنیم. می دانیم

$x,y\leq 4$

.حالا 16 حالت برای این که x,y در هر کدام از بازه های

$[0,1],[1,2],[2,3],[3,4]$

قرار بگیرند داریم. می توان به راحتی چک کرد که به ازای هر x در یک بازه ی مشخص، دقیقا 4 جواب برای y وجود دارد که هرکدام از این جواب ها دقیقا در یکی (یا دوتا) از بازه های مذکور قرار میگیرد. (یعنی اگر بازه ی y را بدانیم، با دانستن x جواب یکتایی برای y بدست می آید.) هر کدام از این بازه ها خطی به طول

$\sqrt2$

و با شیب

$\pm 1$

را مشخص می کنند. پس طول سیم مورد نظر برابر است با:

$(16\sqrt2)4=64\sqrt2$

.

Aref · 1389/3/19

برای

$x,y\geq 0$

نمودار چیزی شبیه ضربدر میشود.

Aref · 1389/3/19

برای مثال فرض کنید هم x و هم y در بازه ی

$[0,1]$

قرار داشته باشند. حالا با توجه به شرط گفته شده:

$\left | \left | \left | {x} \right |{-2} \right | {-1}\right |+\left | \left | \left | y \right |-2 \right |-1 \right |=1\Leftrightarrow x+y=1$

M_Sharifi · 1389/3/20

درسته. در واقع نمودار توی ریع اول به صورت

[center:2e39c7d920]

[/center:2e39c7d920]
در میاد. توی ربع دوم و سوم و چهارم هم، این نمودار تکرار میشه.

M_Sharifi · 1389/3/20

[center:bb52f90ec4]

$\300dpi \huge 6$

[/center:bb52f90ec4]فرض کنید

$n\geq5$

. دستگاه معادلات

[center:bb52f90ec4]

$\left\{\begin{matrix} x_1+x_2+\cdots+x_n=n+2\\ x_1+2x_2+\cdots+nx_n=2n+2\\ x_1+2^2x_2+\cdots+n^2x_n=n^2+n+4\\ x_1+2^3x_2+\cdots+n^3x_n=n^3+n+8 \end{matrix}\right.$

[/center:bb52f90ec4]
را در مجموعه ی اعداد حقیقی نامنفی حل کنید.

ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

راهبر ریاضی

Well-Known Member

راهبر ریاضی

Member

راهبر ریاضی

New Member

راهبر ریاضی

New Member

New Member

راهبر ریاضی

New Member

New Member

New Member

راهبر ریاضی

راهبر ریاضی