ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

math · 1391/4/25

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

mahanmath گفت

سادس؟؟؟

میشه یک راهنمایی کنید:77:

mahanmath · 1391/4/27

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

باشه ، اینم راه حلّش . سوال بعد رو خودتون بذارید

mahanmath گفت

AoPS Forum - Functional Equations Marathon • Art of Problem Solving

math · 1391/4/27

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

فقط راه حلش یک صفحه عقب تره !!! AoPS Forum - Functional Equations Marathon • Art of Problem Solving

سوال بعد :

اگر داشته باشیم

$xy=z^2+1$

ثابت کنید اعداد

$a,b,c,d$

ای موجودند که

$x=a^{2}+b^{2} \: \: ,\: y=d^{2}+c^{2}\: \: ,\: z=ac+db$

math · 1391/4/27

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

mathh گفت

هم به خاطر بالا اومدن تاپیک هم یک راهنمایی : اگر داشته باشیم

$ab=cd$

انگاه اعداد

$w,u.s,v$

موجود اند به طوری که

$a=sv \: \: ,\: b=wu \: \: ,\: c=sw\: \: ,\, d=vu$

math · 1391/4/28

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

دقت کردید استاد ماهان یک سوال میذارن بعد راهنمایی میکنن و بعد جوابش رو میدن و بعد یکی دیگه میاد سوال میذاره خودش راهنمایی میکنه و جوابش رو خودش میده !!! خوب الان سوالش سخته کسی جواب نمیده ؟؟؟ یا مشکل دیگه ای هستش ؟؟

راهمایی 2 : میتوانید از

$z[i]$

استفاده کنید !!

حال ثابت کنید

$a=v\overline{v}$

و....

ehsan-mokhtarian · 1391/4/29

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

برای سوال 25 یه راه قشنگ من دارم(!!):
دنباله ی f i را همون دنباله فیبوناتچی می گیریم با این تفاوت که اولین و دمین عضو اون i هستند و عضو هاش رو به پیمانه p نوشتیم
g(i) رو هم برار با کو چکترین اندیس در دنباله fi می گیریم که a i = a i+1 باشد
حال با توجه به اول بودن p می توان ثابت کرد تمام gi ها با هم برابر هستند (i<=p-1)
حالا می توان ثابت کرد هر زوج مرتب از اعداد به پیمانه p فقط در یکی از fi ها آمده
حالا چون به پیمانه p تعداد جفت پیمانه p حداکثر 1- p^2 است (0و0 نداریم) پس می توان نتیجه گرفت دوره تناوب fi ها حداکثر برابر با p+1 است که است و چون عضو قبل از 2 عضو برابر در دنباله اصلی به پیمانه p برابر با 0 است و ابتدای دنباله اصلی همان اعضای f1 هستند پس حکم را می توان نتیجه گرفت...

math · 1391/4/31

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

راه حل :

داريم

$s=q_{1}\overline{v}$

و

$w=q_{2}\overline{u}$

حال با توجه به اين كه

$z+i=uw \, \, ,\, z-i=sv$

پس

$q_{1}=q_{2}=1$

با كمي ساده كردن به حكم ميرسيم :196:

math · 1391/6/27

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

تمام اعداد صحیح نامنفی را بیابید به طوری که

$x^{3}+4x+1=y^{4}$

math · 1391/11/4

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

این هم یک سوال برای راه افتادن این تاپیک (به خاطر استاد zz_torna)

ایا تابعی از اعداد طبیعی به خودش وجود دارد که

$f(f(n))=n+f(n)$

math · 1391/11/5

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

کسی نیست ؟؟؟؟؟؟؟

mahanmath · 1391/11/5

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

بله ! وجود داره، هر عدد جمع یک سری عدد فیبوناچیه :4:

sa1378 · 1391/11/5

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

فیبوناچی چیه؟

math · 1391/11/7

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

دنباله فیبوناچی :

$f_{0}=f_{1}=1$

و برای بقیه داریم :

$f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}$

اثباتش هم استاد ماهان فرمودند هر عدد طبیعی را میتوان به صورت جمع جملات متفاوت فیبوناچی میتوان نوشت !(اثباتش با استقرا هستش و خیلی راحته !)

math · 1391/11/17

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

اگر داشته باشیم

$n=p_{1}^{\alpha _{1}}...p_{k}^{\alpha _{k}}$

تابع

$f$

را از اعداد طبیعی به خودش به این شکل تعریف میکنیم

$f_{1}(n)=(p_{1}+1)^{\alpha _{1}-1}...(p_{k}+1)^{\alpha _{k}-1}$

و داریم

$f_{m}=f_{m-1}(f_{1}(n))$

اعداد اعداد بین 1 تا 400 را بیابید به طوری که دنباله ی زیر بی کران باشد

$f_{1}(n),f_{2}(n),f_{3}(n),...$

math · 1391/11/18

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

mathh گفت

واقعا کسی نیست که حتی ایده داشته باشه ؟؟؟

zz_torna2 · 1391/11/18

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

به جا هایی رسیدم ولی الان وقتشو ندارم ادامه بدم:

در هر مرحله بزرگترین عامل اول کوچک تر میشه به جز حالتی که بزرگترین عامل 2یا3 هستش.پس از یه جایی به بعد عدد موردنظر یا توانی از 2 هستش یا 3 و یا عدد برابر 1 هستش.اگه در مرحله توان 2 بزرگتر از 4 باشه اون وقت دنباله بیکران هستش مثلا تمامی اعداد مضرب 32 تشکیل دنباله بی کران رو میدن.البته این کل اعداد نیست جالا ....:4:
یا اعدادی که بر 16 بخشپذیر باشند و یه عامل 3k-1 با توانی بزرگتر از 1 داشته باشن هم تشکیل دنباله نامتناهی رو میدن.........

math · 1391/12/10

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

zz_torna2 گفت

بله ایده حل سوال همینه

دیدم از مراتن نامساوی استقبال شد گفتم شاید از این هم استقبال بشه

سوال بعد :

$a_{1}=a_{2}=1$

$a_{n+2}=7a_{n+1}-a_{n}-2$

برای هر n ثابت کنید

$a_{n}$

مربع کامل است

MBGO · 1391/12/10

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

mathh گفت

فیبوناتچی+استقرا

$a_1=1,a_2=12,a_3=20,a_{n+3}=2a_{n+2}+2a_{n+1}-a_n\overset{?}{\rightarrow} 1+4a_{n}a_{n+1}=A^{2},A\in \mathbb{N}$

لینک ندید.

ash1374 · 1391/12/10

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

mathh گفت

ایده ی این سوالا عموما اینطوریه که حدس می زنیم. الانم من فقط با دیدن جملات و حدس زدن اینا رو بدست آوردم:

تعریف کنید

$x_{1}=x_{2}=1, x_{n}=3x_{n-1}-x_{n-2}$

و ثابت کنید

$a_{n}=(x_{n})^{2}$

گرچه خلاف قوانین ماراتنه ولی چون من کم ایجا سر میزنم و بچه ها خیلی از سوت و کور بون اینجا مینالند بیش از یه سوال میذارم. ببخشید!

ایده ی سوالا تقریبا شبیه همه . امیدوارم به دردتون بخوره

1. برای هر n طبیعی ثابت کنید :

$\prod_{i}^{n}\left [ 1,2,...,\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor \right ]=n!$

2. aوbوc صحیحند و

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

صحیح شده. ثابت کنید abc مکعب کامله.

3. a عددی طبیعیه و n طبیعی و بزرگتر از یکه و برای هر k طبیعی عدد طبیعی

$b_{k}$

موجوده که

$k|a-(b_{k})^{n}$

. ثابت کنید a توان nام کامله.

MBGO · 1391/12/10

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

منظور از سوال اول چیه؟

ماراتن نظریه ی اعداد (سطح ممتاز)

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member