seifi_seifi

New Member
ارسال ها
335
لایک ها
8
امتیاز
0
#21
چرا از شکل سوال میترسید این سوال المپیاد راهنمایی آمریکا بوده است.

یه راه خیلی آسون مثلثاتی داره که از این لم استفاده میشه :

اگر D روی BC از مثلث ABC باشد انگاه BD/DC=sinBAD/sinCAD×AB/AC

امشب راه حل کاملشو مینویسم.
 

Aref

New Member
ارسال ها
1,262
لایک ها
1,008
امتیاز
0
#22
seifi_seifi گفت
چرا از شکل سوال میترسید این سوال المپیاد راهنمایی آمریکا بوده است.

یه راه خیلی آسون مثلثاتی داره که از این لم استفاده میشه :

اگر D روی BC از مثلث ABC باشد انگاه BD/DC=sinBAD/sinCAD×AB/AC

امشب راه حل کاملشو مینویسم.
این لمی که میگی با مساحت حل میشه اسمشو گذاشتیم شاه کلید
 

seifi_seifi

New Member
ارسال ها
335
لایک ها
8
امتیاز
0
#23
seifi_seifi گفت
یه خورده سطح رو ببریم بالا تر:

در مثلث ABC دو نیمساز BE و CF را رسم میکنیم.اگر : BEF=18 و CFE=24 آنگاه زوایای مثلث را بیابید.
فقط با اطلاعات فصل 3و2 حل میشه.

جواب میشه C=12 و B=72 و A=96 .

ابتدا یه شکل بزرگ با زاویه های گفته شده رسم کنید.(بزرگ)

محل برخورد نیمسازها را I بنامید.داریمBIF=42=90-A/2 پس A=96.

حال نیمساز CAI را رسم کنید EF و CF را در P وQ قطع کند.حال داریم QAI=QAE=IFE=24 پس چهار ضلعی های APIF و AEQF محاطی

است. پس AIP=QAF=72 پس EPI=72-EIQ=72-42=30 و QEP=QAF=72 پس QEI=72-FEI=72-18=54 حال R را قرینه ی P نسبت

به EI بگیرید و S را محل برخورد ER و CF در نظر بگیرید.چون IP=IR و PIR=60 پس PIR متساوی الاضلاع است.و PEI=IER=18

حال ISE=SEQ+SQE=84+36=120 پس PRSI محاطی است پس RSP=ESQ=60 و PES=QES=36 و چون ESمشترک است پس دو مثلث

QES و PES برابرند پس EP=EQ پس EPQ=EQP=(180-QEP)/2=54 پس APF=54 پس AFP=180-FAP-APF=180-54-72=54 پس

FBE=54-18=36 پس ABC=72 و ACB=12 و اثبات کامل شد... .
 

Aref

New Member
ارسال ها
1,262
لایک ها
1,008
امتیاز
0
#24
اه مگه یه سوال دیگه نذاشته بودی میانه متقارنو اینا؟
 

seifi_seifi

New Member
ارسال ها
335
لایک ها
8
امتیاز
0
#25
Aref گفت
اه مگه یه سوال دیگه نذاشته بودی میانه متقارنو اینا؟
یه خورده سخت بود عوضش کردم ولی اونو هم میزارم ولی بعدا.
 

Aref

New Member
ارسال ها
1,262
لایک ها
1,008
امتیاز
0
#26
مسئله پنجم:
چهار خط مفروض که هیچ کدام موازی نیستند و هیچ 3 تایی همرس نیستند در صفحه موجودند.
الف) ثابت کنید دوایر محیطی 4 مثلث ایجاد شده از نقطه ی مشخصی مانند M می گذرد
ب) ثابت کنید مراکز این دوایر محیطی و نقطه ی M روی یک دایره اند
 

Aref

New Member
ارسال ها
1,262
لایک ها
1,008
امتیاز
0
#29
این سوالی که گذاشتی باحال بود در حد مرحله دو بود فکر کنم شایدم سخت تر بازم از این سوالا بزار
 

seifi_seifi

New Member
ارسال ها
335
لایک ها
8
امتیاز
0
#30
Aref گفت
مسئله پنجم:
چهار خط مفروض که هیچ کدام موازی نیستند و هیچ 3 تایی همرس نیستند در صفحه موجودند.
الف) ثابت کنید دوایر محیطی 4 مثلث ایجاد شده از نقطه ی مشخصی مانند M می گذرد
ب) ثابت کنید مراکز این دوایر محیطی و نقطه ی M روی یک دایره اند
این سوال رو فکر میکنم تو کتاب هندسه ی مسطحه از مقدمات تا المپیاد هست.سوال زیباییست و راه حلش با خط سیمسون است.

M را محل برخورد دو تا از دایره ها بگیرید و از M به چهار خط عمود کنید طبق قضیه ی سیمسون این چهار پای عمود همخطند و حال طبق

عکس قضیه ی سیمسون دایره ی محیطی دو تای دیگر نیز از M میگذردند. پس چهار دایره در M همرسند.
 

Aref

New Member
ارسال ها
1,262
لایک ها
1,008
امتیاز
0
#31
seifi_seifi گفت
Aref گفت
مسئله پنجم:
چهار خط مفروض که هیچ کدام موازی نیستند و هیچ 3 تایی همرس نیستند در صفحه موجودند.
الف) ثابت کنید دوایر محیطی 4 مثلث ایجاد شده از نقطه ی مشخصی مانند M می گذرد
ب) ثابت کنید مراکز این دوایر محیطی و نقطه ی M روی یک دایره اند
این سوال رو فکر میکنم تو کتاب هندسه ی مسطحه از مقدمات تا المپیاد هست.سوال زیباییست و راه حلش با خط سیمسون است.

M را محل برخورد دو تا از دایره ها بگیرید و از M به چهار خط عمود کنید طبق قضیه ی سیمسون این چهار پای عمود همخطند و حال طبق

عکس قضیه ی سیمسون دایره ی محیطی دو تای دیگر نیز از M میگذردند. پس چهار دایره در M همرسند.
این که خیلی تابلوه با 4ضلعی محاطیم حل میشه لقمرو پیچوندی دور گردنت! قسمت ب رو حل کن!
 

Aref

New Member
ارسال ها
1,262
لایک ها
1,008
امتیاز
0
#32
کسی حل نکردش؟
 

Aref

New Member
ارسال ها
1,262
لایک ها
1,008
امتیاز
0
#33
seifi_seifi گفت
Aref گفت
مسئله پنجم:
چهار خط مفروض که هیچ کدام موازی نیستند و هیچ 3 تایی همرس نیستند در صفحه موجودند.
الف) ثابت کنید دوایر محیطی 4 مثلث ایجاد شده از نقطه ی مشخصی مانند M می گذرد
ب) ثابت کنید مراکز این دوایر محیطی و نقطه ی M روی یک دایره اند
این سوال رو فکر میکنم تو کتاب هندسه ی مسطحه از مقدمات تا المپیاد هست.سوال زیباییست و راه حلش با خط سیمسون است.

M را محل برخورد دو تا از دایره ها بگیرید و از M به چهار خط عمود کنید طبق قضیه ی سیمسون این چهار پای عمود همخطند و حال طبق

عکس قضیه ی سیمسون دایره ی محیطی دو تای دیگر نیز از M میگذردند. پس چهار دایره در M همرسند.
قسمت ب حل نشد؟
 

seifi_seifi

New Member
ارسال ها
335
لایک ها
8
امتیاز
0
#34
این قسمت ب هم حل شد و باز هم با سیمسون.

این 4 خط در 6 نقطه همرسند.نام این نقاط را A,B,C,D,E,Fبنامید(به طوری که آن چهار ضلعی وسط DFCB باشد و A محل برخورد BD و FC و E محل برخورد DF وBC باشد.)

مرکز دایره ی محیطی ADF را L و مرکز دایره ی محیطی FCE را K و مرکز دایره ی محیطی BDE را N بنامید.حال ثابت میکنیم پای عمودهای وارد از M بر NK,NL,KL همخطند.

پای عمود وارد از M بر KL وسط MF است چون KL عمود منصف MF است و به همین ترتیب پای عمود وارد از M بر NL وسط DM میباشد و پای عمود وارد از M بر NK وسط ME است.

واین سه پای عمود روی میان خط مثلث MDE میباشند چون اوساط MD , ME ,MF میباشند. پس طبق عکس سیمسون پس M روی دایره ی محیطی NKL قرار دارد و به همین طور

M روی دایره ی محیطی N و K و مرکز چهارمی قرار دارد پس M و چهار مرکز دیگر روی یک دایره اند و اثبات کامل شد... .




قسمت ب رو خودت حل کردی؟اگه راه حل دیگری داری یذار تا استفاده کنیم.
 

Aref

New Member
ارسال ها
1,262
لایک ها
1,008
امتیاز
0
#35
نه متاسفانه نتونستم ولی قسمت الف با 4ضلعی محاطی اثباتش کردم
خط سیسمون رو هم هنوز بهش نرسیدم ولی یه نگاهی بهش انداختم
 

hr_maleki

New Member
ارسال ها
42
لایک ها
1
امتیاز
0
#36
این قسمت هم با چهارضلعی محاطی حل می شه
می تونی از این مسأله ی ساده استفاده کنی که:
فرض کنیددودایره ی O1 و O2 در A و B متقاطع باشند. خطی دلخواه از B می گذرد که دایره ی O1 رادر C ودایره ی O2 رادر D قطع می کند. در این صورت:
AO1O2~ABD
 

Aref

New Member
ارسال ها
1,262
لایک ها
1,008
امتیاز
0
#37
این احتمالا ACD نیست؟
 

seifi_seifi

New Member
ارسال ها
335
لایک ها
8
امتیاز
0
#39
سوال ششم:

در چهار ضلعی محاطی ABCD داریم : M وسط AB و N وسط DC میباشد . از M بر BD و از N بر AC عمود میکنیم و ادامه میدهیم تا یکدیگر را در P قطع کنند.

اگر Q محل برخورد اقطار چهار ضلعی باشد ثابت کنید PQ بر AD عمود است.
 

Aref

New Member
ارسال ها
1,262
لایک ها
1,008
امتیاز
0
#40
جواب سوال پنجم با 4ضلعی محاطی و لم بالا:
بالاترین نقطه را A، دور ترین نقطه سمت چپ را B، نقطه میان آنها D، نقطه دور سمت راست را F، و نقطه میان F,A را C و در آخر نقطه ی وسطی را E بنامید. مرکز دایره محیطی مثلث های CEF,ADF,ABC,BDE را به ترتیب O_1,O_2,O_3,O_4 بنامید. از لم بالا داریم: O_4O_1M=BCM,O_4O_2M=BAM و چهار ضلعی ACMB محاطی است پس دو زاویه ی BAM,BCM برابرند در نتیجه: O_4O_2M=O_4O_1M پس 4ضلعی MO_1O_2O_4 محاطی است و 4 نقطه روی یک دایره اند و نقطه ی پنجم نیز به همین ترتیب ثابت میشود.
 
بالا