ماراتن هندسه
- ارسال ها
- 335
- لایک ها
- 8
- امتیاز
- 0
فقط با اطلاعات فصل 3و2 حل میشه.
جواب میشه C=12 و B=72 و A=96 .
ابتدا یه شکل بزرگ با زاویه های گفته شده رسم کنید.(بزرگ)
محل برخورد نیمسازها را I بنامید.داریمBIF=42=90-A/2 پس A=96.
حال نیمساز CAI را رسم کنید EF و CF را در P وQ قطع کند.حال داریم QAI=QAE=IFE=24 پس چهار ضلعی های APIF و AEQF محاطی
است. پس AIP=QAF=72 پس EPI=72-EIQ=72-42=30 و QEP=QAF=72 پس QEI=72-FEI=72-18=54 حال R را قرینه ی P نسبت
به EI بگیرید و S را محل برخورد ER و CF در نظر بگیرید.چون IP=IR و PIR=60 پس PIR متساوی الاضلاع است.و PEI=IER=18
حال ISE=SEQ+SQE=84+36=120 پس PRSI محاطی است پس RSP=ESQ=60 و PES=QES=36 و چون ESمشترک است پس دو مثلث
QES و PES برابرند پس EP=EQ پس EPQ=EQP=(180-QEP)/2=54 پس APF=54 پس AFP=180-FAP-APF=180-54-72=54 پس
FBE=54-18=36 پس ABC=72 و ACB=12 و اثبات کامل شد... .
جواب میشه C=12 و B=72 و A=96 .
ابتدا یه شکل بزرگ با زاویه های گفته شده رسم کنید.(بزرگ)
محل برخورد نیمسازها را I بنامید.داریمBIF=42=90-A/2 پس A=96.
حال نیمساز CAI را رسم کنید EF و CF را در P وQ قطع کند.حال داریم QAI=QAE=IFE=24 پس چهار ضلعی های APIF و AEQF محاطی
است. پس AIP=QAF=72 پس EPI=72-EIQ=72-42=30 و QEP=QAF=72 پس QEI=72-FEI=72-18=54 حال R را قرینه ی P نسبت
به EI بگیرید و S را محل برخورد ER و CF در نظر بگیرید.چون IP=IR و PIR=60 پس PIR متساوی الاضلاع است.و PEI=IER=18
حال ISE=SEQ+SQE=84+36=120 پس PRSI محاطی است پس RSP=ESQ=60 و PES=QES=36 و چون ESمشترک است پس دو مثلث
QES و PES برابرند پس EP=EQ پس EPQ=EQP=(180-QEP)/2=54 پس APF=54 پس AFP=180-FAP-APF=180-54-72=54 پس
FBE=54-18=36 پس ABC=72 و ACB=12 و اثبات کامل شد... .
- ارسال ها
- 335
- لایک ها
- 8
- امتیاز
- 0
این سوال رو فکر میکنم تو کتاب هندسه ی مسطحه از مقدمات تا المپیاد هست.سوال زیباییست و راه حلش با خط سیمسون است.
M را محل برخورد دو تا از دایره ها بگیرید و از M به چهار خط عمود کنید طبق قضیه ی سیمسون این چهار پای عمود همخطند و حال طبق
عکس قضیه ی سیمسون دایره ی محیطی دو تای دیگر نیز از M میگذردند. پس چهار دایره در M همرسند.
M را محل برخورد دو تا از دایره ها بگیرید و از M به چهار خط عمود کنید طبق قضیه ی سیمسون این چهار پای عمود همخطند و حال طبق
عکس قضیه ی سیمسون دایره ی محیطی دو تای دیگر نیز از M میگذردند. پس چهار دایره در M همرسند.
seifi_seifi گفت
این سوال رو فکر میکنم تو کتاب هندسه ی مسطحه از مقدمات تا المپیاد هست.سوال زیباییست و راه حلش با خط سیمسون است.
M را محل برخورد دو تا از دایره ها بگیرید و از M به چهار خط عمود کنید طبق قضیه ی سیمسون این چهار پای عمود همخطند و حال طبق
عکس قضیه ی سیمسون دایره ی محیطی دو تای دیگر نیز از M میگذردند. پس چهار دایره در M همرسند.
M را محل برخورد دو تا از دایره ها بگیرید و از M به چهار خط عمود کنید طبق قضیه ی سیمسون این چهار پای عمود همخطند و حال طبق
عکس قضیه ی سیمسون دایره ی محیطی دو تای دیگر نیز از M میگذردند. پس چهار دایره در M همرسند.
seifi_seifi گفت
این سوال رو فکر میکنم تو کتاب هندسه ی مسطحه از مقدمات تا المپیاد هست.سوال زیباییست و راه حلش با خط سیمسون است.
M را محل برخورد دو تا از دایره ها بگیرید و از M به چهار خط عمود کنید طبق قضیه ی سیمسون این چهار پای عمود همخطند و حال طبق
عکس قضیه ی سیمسون دایره ی محیطی دو تای دیگر نیز از M میگذردند. پس چهار دایره در M همرسند.
M را محل برخورد دو تا از دایره ها بگیرید و از M به چهار خط عمود کنید طبق قضیه ی سیمسون این چهار پای عمود همخطند و حال طبق
عکس قضیه ی سیمسون دایره ی محیطی دو تای دیگر نیز از M میگذردند. پس چهار دایره در M همرسند.
- ارسال ها
- 335
- لایک ها
- 8
- امتیاز
- 0
این قسمت ب هم حل شد و باز هم با سیمسون.
این 4 خط در 6 نقطه همرسند.نام این نقاط را A,B,C,D,E,Fبنامید(به طوری که آن چهار ضلعی وسط DFCB باشد و A محل برخورد BD و FC و E محل برخورد DF وBC باشد.)
مرکز دایره ی محیطی ADF را L و مرکز دایره ی محیطی FCE را K و مرکز دایره ی محیطی BDE را N بنامید.حال ثابت میکنیم پای عمودهای وارد از M بر NK,NL,KL همخطند.
پای عمود وارد از M بر KL وسط MF است چون KL عمود منصف MF است و به همین ترتیب پای عمود وارد از M بر NL وسط DM میباشد و پای عمود وارد از M بر NK وسط ME است.
واین سه پای عمود روی میان خط مثلث MDE میباشند چون اوساط MD , ME ,MF میباشند. پس طبق عکس سیمسون پس M روی دایره ی محیطی NKL قرار دارد و به همین طور
M روی دایره ی محیطی N و K و مرکز چهارمی قرار دارد پس M و چهار مرکز دیگر روی یک دایره اند و اثبات کامل شد... .
قسمت ب رو خودت حل کردی؟اگه راه حل دیگری داری یذار تا استفاده کنیم.
این 4 خط در 6 نقطه همرسند.نام این نقاط را A,B,C,D,E,Fبنامید(به طوری که آن چهار ضلعی وسط DFCB باشد و A محل برخورد BD و FC و E محل برخورد DF وBC باشد.)
مرکز دایره ی محیطی ADF را L و مرکز دایره ی محیطی FCE را K و مرکز دایره ی محیطی BDE را N بنامید.حال ثابت میکنیم پای عمودهای وارد از M بر NK,NL,KL همخطند.
پای عمود وارد از M بر KL وسط MF است چون KL عمود منصف MF است و به همین ترتیب پای عمود وارد از M بر NL وسط DM میباشد و پای عمود وارد از M بر NK وسط ME است.
واین سه پای عمود روی میان خط مثلث MDE میباشند چون اوساط MD , ME ,MF میباشند. پس طبق عکس سیمسون پس M روی دایره ی محیطی NKL قرار دارد و به همین طور
M روی دایره ی محیطی N و K و مرکز چهارمی قرار دارد پس M و چهار مرکز دیگر روی یک دایره اند و اثبات کامل شد... .
قسمت ب رو خودت حل کردی؟اگه راه حل دیگری داری یذار تا استفاده کنیم.
جواب سوال پنجم با 4ضلعی محاطی و لم بالا:
بالاترین نقطه را A، دور ترین نقطه سمت چپ را B، نقطه میان آنها D، نقطه دور سمت راست را F، و نقطه میان F,A را C و در آخر نقطه ی وسطی را E بنامید. مرکز دایره محیطی مثلث های CEF,ADF,ABC,BDE را به ترتیب O_1,O_2,O_3,O_4 بنامید. از لم بالا داریم: O_4O_1M=BCM,O_4O_2M=BAM و چهار ضلعی ACMB محاطی است پس دو زاویه ی BAM,BCM برابرند در نتیجه: O_4O_2M=O_4O_1M پس 4ضلعی MO_1O_2O_4 محاطی است و 4 نقطه روی یک دایره اند و نقطه ی پنجم نیز به همین ترتیب ثابت میشود.
بالاترین نقطه را A، دور ترین نقطه سمت چپ را B، نقطه میان آنها D، نقطه دور سمت راست را F، و نقطه میان F,A را C و در آخر نقطه ی وسطی را E بنامید. مرکز دایره محیطی مثلث های CEF,ADF,ABC,BDE را به ترتیب O_1,O_2,O_3,O_4 بنامید. از لم بالا داریم: O_4O_1M=BCM,O_4O_2M=BAM و چهار ضلعی ACMB محاطی است پس دو زاویه ی BAM,BCM برابرند در نتیجه: O_4O_2M=O_4O_1M پس 4ضلعی MO_1O_2O_4 محاطی است و 4 نقطه روی یک دایره اند و نقطه ی پنجم نیز به همین ترتیب ثابت میشود.