ماراتن هندسه

[Aref]

قصد دارم یه ماراتن هندسه راه بندازم مثل اینکه سوالای قبلی یه کم سخت بوده یا دوستان هندسه دوست ندارن درحالی توی هر مقطعی بیشترین سوالا از هندسه میاد چه مرحله دوم و سوم چه جهانی!
هر کسی که بخواد میتونه سوال هندسه ی جدید بزاره به شرطی که سوالای قبلی جواب داده شده باشن.
سعی می کنم از آسون شروع کنم
مسئله اول:
نیم دایره ای به مرکز O مفروض است.A نقطه ای بر امتداد قطر این نیم دایره است. دو خطی که از دو سر قطر نیم دایره عمود بر این قطر رسم شده، خط مماس مرسوم از A بر نیم دایره را در B و C قطع می کنند. نشان دهید:
OA^2=AB*AC

 

[Aref]

کاری نداره یه تشابه و بعدشم قوته چرا کسی حل نمیکنه؟

 

[seifi_seifi]

معمولا سوال هایی رو که هر کی میزاره دو تا هدف داره : 1- خودش حل نکرده 2-یا خیلی قشنگ و جدیده که میخواد دیگران هم استفاده کنند.

من هر چی فکر میکنم این سوال جزو هیچ کدوم از این دوتا هدف نمیتونه باشه!!!!!!!!!!!!!

این ماراتن هم که میگی این جا اصلا فایده و اثری نداره چون هم تعداد المپیادی های آنلاین کمه و هم بچه ها پایه نیستند.

این کار تو mathlinks فایده داره.

درسته؟

 

[Eskandari]

این ماراتن هم که میگی این جا اصلا فایده و اثری نداره چون هم تعداد المپیادی های آنلاین کمه و هم بچه ها پایه نیستند.

این کار تو mathlinks فایده داره.

درسته؟

Daghighan

 

[zek]

کار خوبی میکنن که به قول خودشون ماراتن هندسه میذارن .من موافقم ولیبچه ها زیاد حال ندارن . ولی شما از این سوالا باز هم بذار. مخصوصاهندسه .چون تنها مبحث باحال ریاضیه .

ایشالا امسال هممون طلا می شیم ...... چه شوددددددددددددددددددددد !!!!!

 

[Aref]

... .!

 

[seifi_seifi]

... .

 

[hr_maleki]

سلام به همه
این محیط برای فعالیت علمی طراحی شده، نه محلی برای تیکه انداختن به هم.
سؤالاتی که تو سایت گذاشته می شه فقط به اون دو دلیل گفته شده نیست. هر کسی برای خودش دلیل یا دلایلی دارد.
عارف شما به سؤال گذاشتنت ادامه بده. طرح قشنگیه.
بقیه دوستان هم اگه سؤالو حل کردن لطف کنن جوابو بذارن.

 

[zek]

دوستان من کاملا با آقای مالکی موافقم . از ما ریاضی دانان بعیده به هم متلک بندازیم !!!!!!!!!!!!!!

من با راه حل کامل می نویسم.
اگه یه سر قطر رو بگیریم M و اون یکی رو بگیریم N یعنی BM و CN بر AN عمودند.
حالا نقطه تماس رو می گیریم X .
حالا میدونیم که مثلثهای ABM و AXO با هم متشابهند . نسبت اضلاع متشابه رو زحمت می کشیم و می نویسیم
و مثلث های AOX و ACN هم متشابهند. دوباره نسبت اضلاع رو می نویسیم .
حالا یه قوت با حال می نویسیم که AX^2 =AM.AN
یعنی AX/AN=AM/AX
این نسبت باعث میشه که نسبت های بالا هم با هم برابر شن . که از اونجا میاد : OA^2=AB.AC

 

[hr_maleki]

دوستان من کاملا با آقای مالکی موافقم . از ما ریاضی دانان بعیده به هم متلک بندازیم !!!!!!!!!!!!!!

من با راه حل کامل می نویسم.
اگه یه سر قطر رو بگیریم M و اون یکی رو بگیریم N یعنی BM و CN بر AN عمودند.
حالا نقطه تماس رو می گیریم X .
حالا میدونیم که مثلثهای ABM و AXO با هم متشابهند . نسبت اضلاع متشابه رو زحمت می کشیم و می نویسیم
و مثلث های AOX و ACN هم متشابهند. دوباره نسبت اضلاع رو می نویسیم .
حالا یه قوت با حال می نویسیم که AX^2 =AM.AN
یعنی AX/AN=AM/AX
این نسبت باعث میشه که نسبت های بالا هم با هم برابر شن . که از اونجا میاد : OA^2=AB.AC

خیلی ممنون از شما
البته باید بگم که بنده ملکی هستم.

 

[Eskandari]

سلام به همه
این محیط برای فعالیت علمی طراحی شده، نه محلی برای تیکه انداختن به هم.
سؤالاتی که تو سایت گذاشته می شه فقط به اون دو دلیل گفته شده نیست. هر کسی برای خودش دلیل یا دلایلی دارد.
عارف شما به سؤال گذاشتنت ادامه بده. طرح قشنگیه.
بقیه دوستان هم اگه سؤالو حل کردن لطف کنن جوابو بذارن.

kamelan movafegham

 

[seifi_seifi]

من همین جا از آقا عارف و بقیه ی دوستان معذرت میخواهم.

...

و به همین دلیل یه سوال نسبتا ساده رو مطرح میکنم.برای ابراز پشیمونی.

در مثلث متساوی الساقین ABC داریم A=108 و BE نیمساز زاویه ی B میباشد.

ثابت کنید مرکز دایره ی محیطی ABEروی BC قرار دارد.

 

[Aref]

با تشکر از بقیه دوستان

سوال بدی نبود من با برهان خلف این جوری گفتم:
36 درجه از زاویه ی BAE جدا میکنیم تا BC رو تو N قطع کنه زاویه BNA میشه 108 درجه و زاویه ی BEA میشه 54 که نصف BNA هستش و اگه مرکز دایره محیطی BAE نباشه به تناقض می رسیم.

مسئله سوم:
اینو قبلا گذاشته بودم ولی جوابی داده نشد:
در مثلثی دایره ی محاطی مثلث یکی از سه میانه را به سه قسمت تقسیم کرده است. نسبت اضلاع مثلث را بیابید.

 

[seifi_seifi]

راه حلت درسته. و اما سوال شما :

فرض کنیم دایره ی محاطی میانه ی AM را به سه قسمت مساوی تقسیم کند و AM را در G ,N قطع کند که G مرکز ثقل است.

و بر AB,AC,BC به ترتیب در E,D,F مماس باشد.قرار میدهیم : BF=BE=x و CF=CD=z و AD=AE=y و شعاع دایره ی محاطی=r

حال طبق قوت داریم : MG.MN=MF[SUP]2[/SUP]=AN.AG=AE[SUP]2[/SUP] پس MF=AE پس AB=BM پس BC=2AB

حال چون G روی دایره ی محاطی قرار دارد پس IG=r و طبق لایبنیتس داریم :

3IG[SUP]2[/SUP]=AI[SUP]2[/SUP]+BI[SUP]2[/SUP]+CI[SUP]2[/SUP]-1/3(AB[SUP]2[/SUP]+AC[SUP]2[/SUP]+BC[SUP]2[/SUP])=3r[SUP]2[/SUP]=3r[SUP]2[/SUP]+x[SUP]2[/SUP]+y[SUP]2[/SUP]+z[SUP]2[/SUP]-1/3((x+y)[SUP]2[/SUP]+(x+z)[SUP]2[/SUP]+(y+z)[SUP]2[/SUP]) i

که بدست میاید : x[SUP]2[/SUP]+y[SUP]2[/SUP]+z[SUP]2[/SUP]=2xy+2xz+2yz و با توجه به اینکه BC=2AB بدست میاید z=2y+x و با جایگزاری در رابطه بدست میاید :

y=4x و z=9x و بدست میاید AB=5x و BC=10x و AC=13x و نسبت آنها نیز بدست میاید.​

 

[Aref]

راه حلت درسته. و اما سوال شما :

فرض کنیم دایره ی محاطی میانه ی AM را به سه قسمت مساوی تقسیم کند و AM را در G ,N قطع کند که G مرکز ثقل است.

و بر AB,AC,BC به ترتیب در E,D,F مماس باشد.قرار میدهیم : BF=BE=x و CF=CD=z و AD=AE=y و شعاع دایره ی محاطی=r

حال طبق قوت داریم : MG.MN=MF[SUP]2[/SUP]=AN.AG=AE[SUP]2[/SUP] پس MF=AE پس AB=BM پس BC=2AB

حال چون G روی دایره ی محاطی قرار دارد پس IG=r و طبق لایبنیتس داریم :

3IG[SUP]2[/SUP]=AI[SUP]2[/SUP]+BI[SUP]2[/SUP]+CI[SUP]2[/SUP]-1/3(AB[SUP]2[/SUP]+AC[SUP]2[/SUP]+BC[SUP]2[/SUP])=3r[SUP]2[/SUP]=3r[SUP]2[/SUP]+x[SUP]2[/SUP]+y[SUP]2[/SUP]+z[SUP]2[/SUP]-1/3((x+y)[SUP]2[/SUP]+(x+z)[SUP]2[/SUP]+(y+z)[SUP]2[/SUP]) i

که بدست میاید : x[SUP]2[/SUP]+y[SUP]2[/SUP]+z[SUP]2[/SUP]=2xy+2xz+2yz و با توجه به اینکه BC=2AB بدست میاید z=2y+x و با جایگزاری در رابطه بدست میاید :

y=4x و z=9x و بدست میاید AB=5x و BC=10x و AC=13x و نسبت آنها نیز بدست میاید.​

لایبنیتس رو یه کم توضیح میدی؟

 

[seifi_seifi]

قضیه ی لایبنیتس :

اگر M نقطه ای در صفحه باشد و G مرکز ثقل مثلث ABC داریم :

3MG[SUP]2[/SUP]=AM[SUP]2[/SUP]+BM[SUP]2[/SUP]+CM[SUP]2[/SUP]-1/3(AB[SUP]2[/SUP]+AC[SUP]2[/SUP]+BC[SUP]2[/SUP]) i​

 

[seifi_seifi]

یه خورده سطح رو ببریم بالا تر:

در مثلث ABC دو نیمساز BE و CF را رسم میکنیم.اگر : BEF=18 و CFE=24 آنگاه زوایای مثلث را بیابید.

 

[Aref]

قضیه ی لایبنیتس :

اگر M نقطه ای در صفحه باشد و G مرکز ثقل مثلث ABC داریم :

3MG[SUP]2[/SUP]=AM[SUP]2[/SUP]+BM[SUP]2[/SUP]+CM[SUP]2[/SUP]-1/3(AB[SUP]2[/SUP]+AC[SUP]2[/SUP]+BC[SUP]2[/SUP]) i​

اثباتشم لطف میکنی بگی؟

 

[seifi_seifi]

توی کتاب هندسه مسطحه از مقدمات تا المپیاد فصل بردار اثبات کرده است.(ص 236)

البته یه راه حل هم تو شارگین هست که حال ندارم بنویسم.(سوال 140 فصل دوم.)

 

[Aref]

مرسی ولی این سوالی که دادین با اطلاعات فصل های 1تا4 هندسه مسطحه حل میشه؟