مسائلی در هندسه مسطحه

[alipasha]

پاسخ : مسائلی در هندسه مسطحه

d رو نسبت به pq قرینه کنید

خیلی خوب بود :196:

راه حل دوم مسئله ی بیست و پنجم) از O به AB و AC عمودهای ON و OM را وارد میکنیم .نشان دهید نسبت MQ به NP برابر با Cos B به Cos C است واز تشابه و نتایج آن ثابت کنید زاویه POQ همچون زاویه NOM مکمل A است!!

​

مسئله ی بیست و ششم) در مثلث ABC نقاط D و E و F محل تماس دایره محاطی داخلی با اضلاع مثلث ABC است. ثابت کنید حاصلضرب فاصله های هر نقطه روی دایره محاطی تا اضلاع مثلث DEF با حاصلضرب فاصله های آن نقطه تا اضلاع مثلث ABC برابر است؟!

 

[ash1374]

پاسخ : مسائلی در هندسه مسطحه

سوال 24: میتونید بردار هم بنویسید...

سوال 25: دوران به مرکز p نقطه ی bبه d می بره و بعدش به مرکز q نقطه ی d رو می بریم رو c ترکیبشون به وضوح میشه به مرکز o. بقیش هم که بدیهیه.

 

[nima1376]

پاسخ : مسائلی در هندسه مسطحه

26-
رو به رو قطری d رو تو دایره محاطی در نظر بگیرید یه تشابه پیدا کنید
(

 

[alipasha]

پاسخ : مسائلی در هندسه مسطحه

مسئله ی بیست و هفتم) ABCD محیطی است و ضلع AB موازی ضلع CD است نشان دهید زاویه مشخص شده بین دو قطر نمیتواند حاده باشد!

 

[nima1376]

پاسخ : مسائلی در هندسه مسطحه

میدونیم که محل برخورد نقاط تماس رو به هم وصل کنیم از محل برخورد قطر ها میگذرد.
حالا از وسط bc به وسط m,e (محل مماس دایره با ab,cd
وصل کنید
البته با محاسبه هم میشه حل کرد

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

یه نکته ای تو راه حل دوم سوال 25 چرا دوتا عمود که میکنیم یکی داخل و دیگری خارج اون 4 ضلعی که میخواهیم ثابت کنیم محاطیه می افته؟؟

 

[alipasha]

پاسخ : مسائلی در هندسه مسطحه

یه نکته ای تو راه حل دوم سوال 25 چرا دوتا عمود که میکنیم یکی داخل و دیگری خارج اون 4 ضلعی که میخواهیم ثابت کنیم محاطیه می افته؟؟

اگر چه نقطه D متغیر است ولی فاصله دو عمود منصف از هم ثابته و برابر با نصف ضلع a است. اگر محل قرارگیری P و Q طوری باشند که M و N تواما داخل یا خارج چهار ضلعی قرار گیرد ( M وN وسط اضلاعند!و طول MN نصف ضلع a! ) این بدین معناست که فاصله دو عمود منصف یا کمتر از نصف ضلع a است یا بیشتر! که این مشخصا قابل قبول نیست زیرا فاصله ی دو عمود منصف ثابت و به اندازه ی نصف ضلع a است!!

​

البته اگه این استدلال شهودی ( که شهود پررنگیه و وضوحش زیاده) قانعت نمیکنه میتونی طول BP و CQ رو برحسب سایه هاشون رو ضلع A محاسبه کنی و ببینی M و N نمیتونن تواما داخل یا بیرون چهار ضلعی باشن!!




مسئله ی بیست و هشتم) در مثلث ABC نقاط E و F پای نیمسازهای زوایای B , و C هستند.ثابت کنید خط FE بر OIc عمود است؟!

 

[n_maths]

پاسخ : مسائلی در هندسه مسطحه

راهنمایی سوال 27:نقطه ی برخورد قطر های چهار ضلعی رو o نام گذاری کنید،حالا دایره های محیطی مثلث های obc و oad رو رسم کنید و ادامه بدید

 

[ash1374]

پاسخ : مسائلی در هندسه مسطحه

28.
راهنمایی: کارنو:
فواصل رو با قوت حساب کنید...

 

[nima1376]

پاسخ : مسائلی در هندسه مسطحه

راهنمایی28 دایره محیطی و محاطی خارجی بکشید و محور اصلیشونو ادامه بدید

 

[alipasha]

پاسخ : مسائلی در هندسه مسطحه

راه حل دوم مسئله ی بیست و ششم) اگر فاصله نقطه دلخواه روی دایره محاطی تا اضلاع مثلث DEF را m و n و p بنامیم و فاصله اش تا اضلاع مثلث ABC را a و b و c را نامگذاری کنیم حکم معادل عبارت روبروست mnp=abc...برای اثبات حکم مینویسیم:

مسئله ی بیست و نهم) اگر خط گذرنده از پای نیمسازهای نطیر رئوس B و C دایره محیطی مثلث را در دو نقطه M و N قطع کند ثابت کنید شعاع دایره محیطی مثلث MNI دو برابر شعاع دایره محیطی مثلث ABC است؟

 

[nima1376]

پاسخ : مسائلی در هندسه مسطحه

سوال 29
AoPS Forum - A well-known circle hides in the dark • Art of Problem Solving

 

[alipasha]

پاسخ : مسائلی در هندسه مسطحه

مسئله ی سی ام) خطی از نقطه i مرکز دایره محاطی داخلی مثلث abc میگذرد و اضلاع ab و ac را در m و n قطع میکند به طوری که مثلث amn حاده الزاویه شود. نقاط k وl روی ضلع bc به گونه ای انتخاب میشوند که داشته باشیم ina=ikc و ima=ilb !! ثابت کنید:

bm+kl+cn=bc​

 

[nima1376]

پاسخ : مسائلی در هندسه مسطحه

به مرکز i دو دایره به شعاع ik,il رسم کنید.تاbc راقطع کنند.
حالا همنهشتی پیدا کنید

 

[alipasha]

پاسخ : مسائلی در هندسه مسطحه

راه حل سوم مسئله ی بیست و هشتم) بدون کاسته شدن از کلیت مسئله وبرای راحتی کار مثلث Ia و Ib و Ic رو مثلث اصلی میگیریم و مثلث پادک DEF همان مثلث اصلی سوال میشود..در راه حل N وسط OH است(مرکز دایره محیطی DEF ):

​

راه حل دوم مسئلهی سی ام)
اگر زاویه KMN رو روی پاره خط MN به اندازه ی نصف زاویه A جدا کنیم "حکم: BM+CK=BC" هم ارز حکم اصلی است (چرا؟؟؟)
(اگر اینو پذیرفتید!! دیگه ادامه ی سوال راحته!)

​

مسئله ی سی و یکم)
فرض کنید Dو E وF پای نیمسازهای نظیر رئوس A و B و C باشند.محل برخورد نیمساز راس A و پاره خط EF را K مینامیم. از K خطی موازی ضلع BC رسم میکنیم تا اضلاع AB و AC را در تقاط M و N قطع کند ثابت کنید:

BM+CN=2MN​

 

[nima1376]

پاسخ : مسائلی در هندسه مسطحه

اگه با تالس اون طول هایی رو که میخواهیم حساب کنیم و حکم رو ساده کنیم تو 5-6 خط حل میشه
تا فردا حلشو کامل مینویسم!!

 

[alipasha]

پاسخ : مسائلی در هندسه مسطحه

مسئله ی سی و دوم) در مثلث ABC مثلثهای متساوی الساقین APB و ACK را به ترتیب بر روی ضلعهای AB و AC بنا میکنیم به نحوی که BAP = KAC باشد .
BK و CP همدیگر را در R قطع میکنند.اگر O مرکز دایره محیطی مثلث BRC باشد ثابت کنید AO بر PK عمود است؟!

​

 

[nima1376]

پاسخ : مسائلی در هندسه مسطحه

تجانس مارپیچی!
خیلی زیبا بود!

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال 33

اگه زیرمیانه بلد نیستید فکر نکنید!
من راه حلم 2-3 صفحه هست!

 

[alipasha]

پاسخ : مسائلی در هندسه مسطحه

راه حل دوم مسئله ی سی ودوم) از C به AK عمود میکنیم وبه اندازه خود امتداد میدهیم تا به F برسیم:

​

راه حل سوم مسئله سی و دوم) سوالایی از این دست رو هم که "بردار" له میکنه!!

پ . ن: کارنو نوشتم ولی در نیومد !:66:

 

[alipasha]

پاسخ : مسائلی در هندسه مسطحه

مسئله ی سی و چهارم) ​

فرض کنید چهارضلعی ABCD محاط در دایره W باشد ​

و P محل تقاطع AB و CD،همچنین Q محل تقاطع AD وBC محل تقاطع اقطار AC و BD در R است.فرض کنید نقطه M وسط پاره خط PQ باشد.خط MR دایرهٔ W را در K قطع می‌کند.ثابت کنید دایرهٔ محیطی مثلث PKQ بر دایرهٔ W مماس است؟!

پ.ن : این سوال قشنگ آخرین سوال تاپیک هندسه صفر تا 100 که دیگه جواب ندادنو تاپیک خوابید, شادی روح بانیـــه تاپیک فاتحه مع الصلوات..​

 

[alipasha]

پاسخ : مسائلی در هندسه مسطحه

راه حل مسئله ی سی و چهارم)
قبل از حل سوال دو تا نکته مهم تو چهارضلعی های محاطی رو میگیم که خودشون به تنهایی میتونن سوال خوبی باشن.در حالت کلی در چهار ضلعی محاطی ABCD محل برخورد قطرها را R و محل برخورد امتداد اضلاع روبرو را به ترتیب P و S مینامیم.دو گزاره زیر صادق اند:

1)پاره خط OR به PS عموده! به عبارت بهتر R مرکز ارتفاعی مثلث POS است!
2) مماس های رسم شده در نقاط Bو D و و خط PS همرسند!

گزاره اول رو میشه با محور اصلی و دومی رو هم با قطب و قطبی اثبات کرد.البته اگه کسی محور اصلی وقطب وقطبی بلد نیست میتونه بدون اون ابزار هم این دوتا حکم و اثبات کنه که اینم چالش خوبیه!

​

حل سوال : خط MKR را امتداد میدهیم تا دایره را برای بار دوم قطع کند مماس های رسم شده در این نقطه و نقطه K همدیگر رو امتداد PS ملاقات میکنند(؟) برای اثبات حکم کافیه نشون بدیم FK هم به دایره محیطی PKS مماسه! به این نکته توجه میکنیم که N روی دایره محیطی OSP قرار دارد(برای اثبات از این استفاده کنید که در مثلث OSP خط MKR مرکز ارتفاعی را به وسط ضلع وصل کرده است) پس مینویسیم:

​

مسئله ی سی وپنجم)
دو دایره یکدیگر را در نقاط A و B قطع کرده اند.خط دلخواه گذرنده از B دایره اول و دوم را به ترتیب در نقاط C و D قطع میکنند.مماس های رسم شده در نقاط C و D یکدیگر را در M قطع میکنند خط گذرنده از محل تلاقی AM و CD به موازات CM پاره خط AC را در K قطع میکند. ثابت کنید BK بر دایره ی دوم مماس است؟!