نامساوی حرفه ای سوال ازمون جی پک

mohamadreza salehi · 1391/8/27

$2+\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{3}}+\cdots+\left(\frac{n+1}{n}\right)^{\frac{1}{n}}<n+2$

جواب های من :

$sum_{k=1}^n (1 + \frac1k)^{\frac1k} < \sum_{k=1}^n (1 + \frac{1}{k^2}) < n + \frac{\pi^2}{6} < n+2$

راه حل دوم من :

$Since \log(1+x)\leq x -and- e^x\leq\frac{1}{1-x} we have: (1+1/k)^{1/k}=\exp\left(\frac{1}{k}\,\log(1+1/k)\right)\leq e^{1/k^2}\leq 1+\frac{1}{k^2-1}=1+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k+1}\right), so: \sum_{k=2}^{n}(1+1/k)^{1/k} \leq (n-1)+\sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2-1}\leq (n-1)+\sum_{k=2}^{+\infty}\frac{1}{k^2-1}=(n-1)+\frac{3}{4}< n.$

راه حل های شما چی هستند راه حل های من درستن به نظرتون؟

ehsan-mokhtarian · 1391/8/27

پاسخ : نامساوی حرفه ای سوال ازمون جی پک

من یه جور دیگه حل کردم:
حکم رو قوی تر می کنیم و با استقرا اثباتش می کنیم
در حکم قوی شده 1/n رو به سمت چپ نا مساوی اضافه میکنیم
برای اثبات گامش هم از هیچ نا مساوی قویی مثل حتی برنولی هم استفاده نمی شه فقط کافیه بسط نیوتون رو برای 2 جمله حساب کنیم...

victor · 1391/8/27

پاسخ : نامساوی حرفه ای سوال ازمون جی پک

من برنولی زدم خیلی قشنگ حل میشه!

MBGO · 1391/8/27

پاسخ : نامساوی حرفه ای سوال ازمون جی پک

به محمد رضا و ویکتور : برو آموووووووووووووووووووووووووووووووووو
به احسان: این راه حل بهتره

تاسف برای : AoPS Forum - nice inequality • Art of Problem Solving

ehsan-mokhtarian · 1391/8/27

پاسخ : نامساوی حرفه ای سوال ازمون جی پک

البته راه من خیلی شبیه راه mathlinks هست..(همین لینک بالایی)

zz_torna2 · 1391/8/27

پاسخ : نامساوی حرفه ای سوال ازمون جی پک

راه حلمو در
[h=2]المپیاد ازمایشی گروه جی پک[/h]گذاشتم.

zz_torna2 · 1391/8/27

پاسخ : نامساوی حرفه ای سوال ازمون جی پک

mohamadreza salehi گفت

برای راه اولتون چه طوری بدست اوردین که مجوع معکوس مربعات اعداد از 2 تا n از پی به توان 2 ششم کوچکتره . اگه میخواین لینک بدین خودم در wikipedia پیدا کردم

و حتی یه فرمول بسته برای مجوع معکوس مربعات اعداد از 2 تا n نوشته ولی اثباتش....:40:

mohamadreza salehi · 1391/8/27

پاسخ : نامساوی حرفه ای سوال ازمون جی پک

خب دیگه از چیز هایی که بلد بودم یه چیز هایی نوشتم تا حل شد اما اثباتش نمیدونم دارم یا نه حالا نگاه میکنم اگه داشتم میذارم

mohamadreza salehi · 1391/8/28

پاسخ : نامساوی حرفه ای سوال ازمون جی پک

سوال هندسش چیکار کردید ؟ من ارتفاع c رو ادامه دادم تا دایره رو یه جایی قطع کرد بعد ثابت کردم که ادامه ی te باید با این نقطه ی برخورد همرس باشه تا یه چهار ضلعی محاطی پدید بیاد بعد ثابت میشه دو زاویه برابرند و ... بقیش دیگه راحت اثبات میشه

ehsan-mokhtarian · 1391/8/29

پاسخ : نامساوی حرفه ای سوال ازمون جی پک

از این لم هم می شد استفاده کرد که اگر یک خط از h بگذره قرینش نسبت به اضلاع روی دایره محیطی همرس هست
اول یه همرسی رو ثابت می کردیم بعد از این لم استفاده می کردیم...

zz_torna2 · 1391/8/29

پاسخ : نامساوی حرفه ای سوال ازمون جی پک

راه حل سومم استفاده از پاسکال هستش که در ازمون المپیاد ازمایشی گروه جی پک سوال 2 روز دوم گذاشته بودمش.

نامساوی حرفه ای سوال ازمون جی پک

mohamadreza salehi

New Member

ehsan-mokhtarian

New Member

victor

New Member

MBGO

New Member

ehsan-mokhtarian

New Member

zz_torna2

New Member

zz_torna2

New Member

mohamadreza salehi

New Member

mohamadreza salehi

New Member

ehsan-mokhtarian

New Member

zz_torna2

New Member