پاسخ و راهنمایی سوال های آخر فصل جبر خوشخوان (مهدی صفا )

Al!R3ZA · 1391/12/19

ضمن عرض سلام و خسته نباشید و همچنین تبریک به مناسبت قبولی دوستان عزیز
همونطور که میدونید تنها منبع فارسی موجود در رابطه با جبر تو ایران جبر انتشارات خوشخوان استاد مهدی صفاست.
اما حالا به هر دلیلی یه مقداری مشکلات گویا پیش اومده و نقص و عیب هایی داره.
من اینجا از اساتید میخوام که از فصل معادلات تابعیش شروع کنن و برن جلو و جواب های آخر هر فصل رو اول یه راهنمایی بذارن واگه ترجیحاً تونستند پاسخ آخر رو هم بذارند.
اگه این اتفاق بیوفته خیلی خوب میشه و فکر کنم یه گام بزرگ در پیشرفت بچه ها در مبحث جبر بشه.
پس من از اساتید مانند عارف خان ، استاد گودرزمهر ، ماهان مث عزیز ، استاد درنده که اسمشونو نمیدونم ! و تمام اساتیدی که من یادم رفته نام ببرم میخوام که شروع کنن هر فصل رو بریم جلو
شاید همین پاسخنامه ای که شما عزیزان میدین سعی بشه در چاپ بعدی این کتاب به نام خودتون یا این سایت ثبت بشه.
پس با اجازه دوستان ، از فصل دوازده یعنی اولین فصل معادلات تابعی میریم جلو
از دوستانی هم که از راه هاشون مطمئن نیستن یا خودشون هم مشکل دارن تقاضا میکنم خیلی این بین پست ندن و باعث شلوغی تاپیک نشن
فقط اگه بازم با اون راهنمایی که اساتید کردن نتونستن سوال رو حل کنن پست بدن و بگن که برای فلان سوال فلان فصل راهنمایی بیشتر یا حل تشریحی بذارید. به امید اینکه تاپیک منظمی داشته باشیم و دسرسی بهش برای دوستان راحت باشه.
همچنین اجازه بدین هر فصل رو با سوالاش دونه دونه بریم جلو. این طور نباشه که وقتی عزیزان دارن مثلاً برای سوالات فصل 14 راه حل میذارن ، یکی بیاد از فصل 17 سوال کنه ! اگر هم امکانش هست ترتیب سوالا رعایت بشه. تمام این نکاتی که میگم برای اینه که نظم تاپیک بالا بره و دسرسی به اون راحت تر بشه.
پس شروع میکنیم با فصل 12 !

از اینجا به بعدش برای دوستانی که فکر میکنن این جواب های آخر خوب نیست یا کلاً با این تاپیک مخالفن:
البته شاید عده ای بگن نه و نمیدونم جواب باعث میشه آدم تنبل بشه و.....
ببینید قصد ما این نیست که هر سوالو بیایم اینجا ببینیم چی به چیه و خودمون روش فکر نکنیم
هدف ما اینه که بیایمیه جواب آخر و همچنین راهنمایی برای دوستان بذاریم که چیکار کنن
به عنوان مثال ، خوددم رو مثل میزنم. هر فصل از این کتاب رو میخونم ، وقتی تمرینای آخرش رو حل میکنم خیلی شک دارم
نمیدونم درسته یا غلطه. اگه یه جواب آخر باشه که چک کنم که چیکار کردم یا نکردم خیلی خوب میشه.
اگه سوالو درست حل کرده باشم که اعتماد به نفسم میره بالا و اگه غلط حل کرده باشم ، خوب چک میکنم ببینم کجا سوتی دادم.
اما وقتی جواب نیست و من راه حلم که تموم میشه رو میبینم فکر میکنم درسته و شاید غلط باشه و این ممکنه پایه ی خیلی اشتباهات بعدی بشه.

goodarz · 1391/12/19

پاسخ : پاسخ ها و راهنمایی سوال های آخر فصل جبر خوشخوان (مهدی صفا )

سلام

خیلی ممنون که من رو هم بین دوستانی که اسمشونو بردین آوردین :4:، منتها باید یه نکته ای رو بگم و اونم این که من در طول این چند وقت، به مقدار خیلی زیادی از المپیاد دور بودم و دیگه مثل سابق نیستم، به علاوه این که یه مقدار خوبی کار دارم که رسیدن بهشون زمان خیلی زیادی رو می بره، اینه که احتمالا نمی رسم درخواستی رو که بالا ازم شده انجام بدم، و بابتش ازتون عذرخواهی می کنم. فکر کنم اگه بچه های طلایی امسال بیان و این کار رو انجام بدن نتیجه خیلی بهتری میشه گرفت.

موفق باشید!

Al!R3ZA · 1391/12/21

پاسخ : پاسخ ها و راهنمایی سوال های آخر فصل جبر خوشخوان (مهدی صفا )

كسي از اساتيد نميخواد استارت بزنه ؟‌ :دي

moghini · 1391/12/24

پاسخ : پاسخ ها و راهنمایی سوال های آخر فصل جبر خوشخوان (مهدی صفا )

خیر تنها منبع اون کتاب نیست.کتاب جبر و حساب محمود نصیری و مباحثی در ریاضیات دبیرستانی جلد اول(ویژه ی معادلات تابعی) هم مفید هستند.

Al!R3ZA · 1391/12/24

پاسخ : پاسخ ها و راهنمایی سوال های آخر فصل جبر خوشخوان (مهدی صفا )

moghini گفت

دوست عزیز اگه اشتباه نکنم این کتاب دیگه چاپ نمیشه. اگرم بشه خیلی قدیمیه.
بعدشم من این کتاب رو دیدم. درسته جبر توضیح داده ولی جبرش به درد المپیاد نمیخوره. یعنی اون بخشی از جبره که تو المپیاد نمیاد معمولاً. فقط یه سری مباحث ابتدایی نامساوی ها توشه ( در حد فصل دو جبر آقای صفا ). اگه میشه اون کتاب دومی رو بیشتر معرفی کنید. یعنی نویسنده ، انتشاراتو... بگید.

moghini · 1391/12/24

پاسخ : پاسخ ها و راهنمایی سوال های آخر فصل جبر خوشخوان (مهدی صفا )

دقیقا" همون نویسنده و همون انتشارات.

mahanmath · 1391/12/25

پاسخ : پاسخ ها و راهنمایی سوال های آخر فصل جبر خوشخوان (مهدی صفا )

${\color{DarkBlue} \textup{Chapter 12}}$

1. تابع

$f(x)-x$

از طرفی جمع دو تابع پیوسته است، از طرفی همیشه گنگ است !

2.ثابت کنید یک به یک است و بعد قرار دهید

$y = f(x)$

...

3.

$f(1-x) + f(x) = ?$

4.به استقرا نشان دهید

$f(nx) = n f(x)$

5. با استفاده از فرض مسئله برای

$x, \frac{x-1}{x} , \frac{1}{1-x}$

یه دستگاه معادلات تشکیل بدین .

6. نشان دهید

$f(0) = 0$

و سپس

$x + f(-x) \geq f(x) + f(-x) \geq 0$

7. خیر !

$f(0) = f(1) = \frac{1}{2}$

8. تابع ما صعودی است و به راحتی به اسقرا میتوان نشان داد

$f(\frac{1}{n}) \leq \frac{1}{n}$

، پس برای

$\frac{1}{n} > x > \frac{1}{n-1}$

داریم

$f(\frac{1}{n} )> f(x) > f(\frac{1}{n-1})$

پس ...

9.اعداد طبیعی را در مبنای 2 بنویسید در مبنای 3 بخونید !

10. ابتدا نشان دهید f(0)=0 و به طور کلی تر f اعداد بازه (0,1] صفر است . بعد به اسقرا روی بازه های

$I_n = [n, n+1)$

ثابت کنید f برابر n میشود . پس

$f(x) = \left \lfloor x \right \rfloor$

11. ابتدا ثابت کنید تناوب n+1 تایی دارد، سپس نشان دهید n+1 عدد متوالی برزگ هستند که f آن ها برابر است . پس تابع ثابت است.

12. تابع ثابت است چون برای هر a دلخواه

$a+b > 0 , a- b >0 \Rightarrow \\ \\ f(a) = f((\frac{a+b}{2})+(\frac{a-b}{2})) \\\\ = f((\frac{a+b}{2})^2+(\frac{a-b}{2})^2) = f(\frac{a^2 + b^2}{ 2}) \\ \\ = f(\frac{a}{\sqrt{2}} + \frac{b}{\sqrt{2}} )$

hkh74 · 1391/12/26

پاسخ : پاسخ ها و راهنمایی سوال های آخر فصل جبر خوشخوان (مهدی صفا )

البته من جزء اساتید نیستم ولی گفتم یه کمکی کرده باشم...

${\color{DarkBlue} \textup{Chapter 13}}$

1. نشان دهید تابع

$2f(x)-x^2$

پیوسته و جمعی است.

2. نشان دهید تابع

$3f(x)-x^3$

پیوسته و جمعی است.

3. نشان دهید تابع

$\frac{f(x)}{x}-x^2$

ثابت است.

4.

$f(x)-m$

پیوسته و جمعی است.

5. اول ثابت کنید

$f(-n)=f(n)\; ,f(0)=2$

بعد به استقرا روی

$|n|$

نشان دهید

$f(n)=2^n+\frac{1}{2^n}$

.

6. g را اینطور تعریف کنید:

$g(x)=\frac{f(x)}{x}$

و نشان دهید

$g(x^2)=g(x)$

و از پیوستگی نتیجه بگیرید که g ثابت است.

7. مثل 1 عمل کنید!

8. می توانید توان های 2 و 3 را به 1 تبدیل کنید! تابع جمعی و پیوسته است.

9. نشان دهید

$f(n)=1\Leftrightarrow n=1$

. از فرض 3 نتیجه می گیریم

$f(2)+f(3)+f(5)=6$

و چون

$f(2),f(3),f(5)>1$

پس

$f(2)=f(3)=f(5)=2$

.
چون

$14400=2^6\times 3^2\times 5^2$

جواب از روی سه مقدار به دست آمده مشخص می شود.

10. در رابطه ی اول x را برابر صفر قرار دهید تا به دست آید

$(1-g(0))f(y)=f(0)g(y)$

.
اگر

$f(0)=0$

آنگاه

$(1-g(0))f(y)=0$

و چون f ثابت نیست

$g(0)=1$

که جوابی از مسئله است که به عنوان مثال برای

$f(x)=\sin (x)\; ,g(x)=\cos (x)$

اتفاق می افتد.
اما اگر

$f(0)\neq 0$

آنگاه

$g(y)=cf(y)$

که با جایگذاری در دو رابطه ی اصلی به دست می آید:

$\left\{\begin{matrix} f(x+y)=2c\, f(x)f(y) \\ f(x+y)=\frac{c^2-1}{c}\, f(x)f(y) \end{matrix}\right.$

از این دو به تناقض برسید!

11. اول اینکه در صورت سوال تابع f باید از اعداد حقیقی به اعداد حقیقی باشه (بالتیک 1998 سوال 7) ، اما با این حال این راه حل برای هر دو صورت جواب میده! در رابطه ی اصلی x و y رو برابر بگذارید تا به دست بیاد

$f(f(x)^2)=2f(x)$

.
در انتها

$\left\{\begin{matrix} f(2f(x)f(y))=f(f(x^2)f(y))=f(x^2)+f(y)=2f(x)+f(y) \\ f(2f(x)f(y))=f(f(x)f(y^2))=f(x)+f(y^2)=f(x)+2f(y) \end{matrix}\right.$

پس

$2f(x)+f(y)=f(x)+2f(y)\Rightarrow f(x)=f(y)$

پس f ثابته و واضحه تنها تابع ثابت که جواب مسئله است تابع صفره.

12. جواب اینه که چنین تابعی وجود داره.
ابتدا توجه کنید که هر عدد طبیعی رو میشه به دقیقاً یکی از دو شکل

$2^\alpha (4k+1),2^\alpha (4k+3)$

نشان داد که

$k,\alpha$

اعدادی صحیح و نامنفی اند. f رو اینطوری معرفی می کنیم:

$\left\{\begin{matrix} f\left (2^\alpha (4k+1) \right )=2^\alpha (4k+3) \\ f\left (2^\alpha (4k+3) \right )=2^{\alpha +1} (4k+1) \end{matrix}\right.$

13. به استقرا ثابت کنید

$f(m)=6m^2-9m+3$

14. نشان دهید

$f(0)=2$

. در رابطه ی اصلی y را برابر 1 قرار دهید تا رابطه ی بازگشتی

$f(x+1)=3f(x)-f(x-1)$

به دست آید. از اینجا میتونین خیلی راحت

$f(7)$

و یا حتی ضابطه ی f رو به دست بیارین:

$f(m)=\alpha^{2m}+\frac{1}{\alpha^{2m}}\; ,\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Aref · 1391/12/27

پاسخ : پاسخ ها و راهنمایی سوال های آخر فصل جبر خوشخوان (مهدی صفا )

$\textup{{\color{Blue} Chapter 14}}$

1-

$f(\frac{1}{7})=\frac{a^5-6a^4+13a^3-11a^2+5a-1}{a^5-5a^4+8a^3-4a^2+a}$

:18:

2- به راحتی ثابت می شود که تابع

$f$

یک به یک است و برد

$f$

شامل اعداد بزرگتر یا مساوی

$2$

است. پس اگر داشته باشیم

$f(1)>1$

آنگاه

$f(f(1)+f(f(1)-1))=1+f(1)-1=f(1)\Rightarrow f(1)+f(f(1)-1)=1$

که تناقضه. پس

$f(1)=1$

. بعد با استقرا ثابت کنید

$f(n)=n$

یعنی

$f(1382)=1382$

.

3- با استقرا ثابت میشه:

$f(x)=f(\frac{x}{2^n})$

پس چون تابع پیوسته هست:

$f(x)=\lim_{n\to \infty}f(x)=\lim_{n\to\infty}f(\frac{x}{2^n})=f(\lim_{n\to\infty}\frac{x}{2^n})=f(0)$

پس

$f$

تابع ثابته.

4- دو حالت داریم:
حالت اول:

$\alpha\neq\beta$

داریم:

$f(x)f(y)=y^\alpha f(\frac{x}{2})+x^\beta f(\frac{y}{2})$

پس

$y^\alpha f(\frac{x}{2})+x^\beta f(\frac{y}{2})=x^\alpha f(\frac{y}{2})+y^\beta f(\frac{x}{2})$

یعنی:

$((2y)^\alpha-(2y)^\beta) f(x)=((2x)^\alpha-(2x)^\beta) f(y)$

پس

$f(x)=c.((2x)^\alpha-(2x)^\beta)$

که با جای گذاری به دست می آید

$c=0\Rightarrow f\equiv 0$

حالت دوم:

$\alpha=\beta$

در این حالت از معادله ی اصلی به دست می آید:

$f(x)^2=2x^\alpha f(\frac{x}{2})$

پس

$f(x)f(y)=\frac{y^\alpha f(x)^2}{2x^\alpha}+\frac{x^\alpha f(y)^2}{2y^\alpha}\ge |f(x)f(y)|$

که نتیجه می دهد شرط تساوی برقرار است.
یعنی به دست می آید

$\frac{f(x)^2}{x^{2\alpha}}=\frac{f(y)^2}{y^{2\alpha}}\Rightarrow f(x)=cx^\alpha$

که با جایگذاری به دست می آید

$c^2=\frac{c}{2^{\alpha -1}}\Rightarrow c=0 \vee c=\frac{1}{2^{\alpha -1}}$

5-

$\alpha x^2f(\frac{1}{x})+f(x)=\frac{x}{x+1}$

$\frac{\alpha}{x^2}f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{1}{x+1}$

که با حل این دو معادله به دست میاد:

$(\alpha^2-1)f(x)=\frac{\alpha x^2-x}{x+1}$

که این یعنی برای

$\alpha\in \{\pm1\}$

جواب نداریم و برای بقیه ی مقادیر

$\alpha$

داریم:

$f(x)=\frac{\alpha x^2-x}{(\alpha^2-1)(x+1)}$

Aref · 1391/12/28

پاسخ : پاسخ ها و راهنمایی سوال های آخر فصل جبر خوشخوان (مهدی صفا )

6- شرط اول با استقرا نتیجه میده

$f(m,n)=2^{m-1}f(1,n)$

که با جای گذاری در معادله ی اصلی نتیجه میده:

$f(1,n+1)=f(1,n)+2f(1,1)$

پس باز هم با استقرا ثابت میشه

$f(1,n)=(2n-1)f(1,1)$

پس:

$f(m,n)=2^{m-1}(2n-1)f(1,1)$

حالا چون تابع پوشاست پس

$f(1,1)=1\Rightarrow f(m,n)=2^{m-1}(2n-1)$

7-فرض کنید

$g(x)$

جواب مساله باشد در این صورت

$f(x)=cg(x),h(x)=g(dx)$

نیز جواب مساله هستند.

$(d\neq 0)$

پس یا

$\forall x\in \mathbb R; g(x)=0$

یا می توانیم بدون کاستن از کلیت فرض کنیم

$g(1)=1$

.
اکنون به راحتی ثابت می شود که

$\forall n\in \mathbb Z;g(nx)=n^2g(x)\Rightarrow \forall q\in \mathbb Q;g(q)=q^2$

.
حال کافیست ثابت کنیم تابع

$g$

پیوسته است.
داریم:

$g(x+1)-g(x)=g(x)-g(x-1)+2$

$g(x+2)-g(x+1)=g(x+1)-g(x)+2=g(x)-g(x-1)+4$

....

$g(x+n)-g(x+n-1)=g(x)-g(x-1)+2n$

پس:

$g(x+n)-g(x)=n(g(x)-g(x-1))+2(1+2+\dots+n)$

قرار می دهیم

$x=my$

به دست می آید:

$g(my+n)-g(my)=n(g(my)-g(my-1))+n(n+1)$

$m^2g(y+\frac{n}{m})-m^2g(y)=nm^2(g(y)-g(my-\frac{1}{m}))+\frac{n(n+1)}{m^2}$

قرار می دهیم:

$m=n$

$n^2(g(y+1)-g(y))=n^3(g(y)-g(y-\frac{1}{n}))+n(n+1)$

یعنی:

$\frac{g(y+1)-g(y)}{n}=g(y)-g(y-\frac{1}{n})+\frac{n+1}{n^2}$

حالا از این عبارت بالا نتیجه می شود

$g$

تابعی پیوسته است.(چرا؟)
پس

$g(x)=x^2$

Aref · 1392/1/1

پاسخ : پاسخ ها و راهنمایی سوال های آخر فصل جبر خوشخوان (مهدی صفا )

سوال 8 به نظرم یه مشکلی داره. مجموعه ی جواب ها ناشمارا است و فرمشون به لم زورن ارتباط پیدا می کنه.
9-
این سوال هم مشکل داره به نظرم. مثال نقض داره.
10-
تابع رو این طوری می سازیم:

$f(1)=1$

$f(2)=3,f(3)=4,f(4)=9,\dots$

بقیه اعداد رو هم همینطوری می سازیم.
11-اول چون

$f(f(x))$

خوش تعریفه پس برد از اعداد طبیعیه.
مقدار گذاری کنید.
چیزی نداره... ثابت کنید برد تابع حداکثر 2 مقدار داره...به مانده مربعی مربوط میشه.
12-

$f(2x)=f(1-x)=f(2-2x)=f(1-(2-2x))=f(2x-1);\textup{QED}$

13-تابع جمعی هستش و داریم که

$f(x^2)=xf(x)$

.

$f((x+1)^2)=(x+1)f(x+1)\Rightarrow f(x^2+2x+1)=(x+1)(f(x)+f(1))$

پس

$xf(x)+2f(x)+f(1)=xf(x)+xf(1)+f(x)+f(1)\Rightarrow f(x)=xf(1)$

بالاخره در حرکت چهارضرب موفق شدم:4:

Al!R3ZA · 1392/1/1

پاسخ : پاسخ ها و راهنمایی سوال های آخر فصل جبر خوشخوان (مهدی صفا )

بنده تا اینجا از اساتیدی که زحمت کشیدند و وقت خودشون رو گذاشتند خیلی تشکر میکنم.
امیدوارم این دوستان عزیز از این به بعد بیشتر توجه کنند و اساتید بیشتری که شاید من یادم رفته تو تاپیک اول نامشون رو ببرم هم بیان و کمک کنن که این تاپیک بره جلو.
با توجه به این که فصل بعدی ، میرسه به مسائل بدون حل ، از نظر بنده بهتره اول سایر مسائل فصول بعد یعنی از فصل هفده به بعد حل بشن ، بعد دوباره اگر اساتید عزیز همکاری کردن برمیگردیم سر مسائل بدون حل. پس بعد از اینکه فصل 14 به کمک عارف خان به اتمام رسید ، میریم روی فصل 17 یعنی اولین فصل چند جمله ای ها.
پس ادامه ی بحث با چندجمله ای ها و فصل 17

Aref · 1392/1/1

پاسخ : پاسخ ها و راهنمایی سوال های آخر فصل جبر خوشخوان (مهدی صفا )

$\textup{\color{Blue}Chapter 17}$

1-
ثابت می کنیم نرم ضربی است یعنی

$|a+bi|.|c+di|=|ac-bd+i(ad+bc)|$

خب اینم اتحاد لاگرانژ می باشد:

$\iff \sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{c^2+d^2}=\sqrt{(ac-bd)^2+(ad+bc)^2}$

2- این زیادی بدیهیه. زاویه ای که مبدا به دو ریشه متوالی نگاه می کنه و فاصله از مبدا هر کدوم از ریشه ها برابره. شکلش رو هم خودتون بکشید.
3-

$\cos (5\theta) +i\sin (5\theta)=(\cos\theta+i\sin \theta)^5$

بسط بدید و جملات حقیقی رو مقایسه کنید.
4-

$(z_2-z_1).(\frac{1+i\sqrt3}{2})=z_3-z_1$

(این رابطه با فرض این به دست اومده که

$z_1z_2z_3$

پادساعتگرد باشه. برای ساعتگرد یه رابطه ی مشابه به دست میاد.)
باید نشون بدیم

$z_3$

ریشه ی معادله ی درجه ی دوم زیر است:

$w^2-w(z_1+z_2)+z_1^2+z_2^2-z_1z_2=0$

ریشه های این معادله از فرمول

$\frac{z_1+z_2+\sqrt{-3(z_1-z_2)^2}}{2}$

به دست میان. که رادیکال تابعی دو مقداره است.
حالا میشه دید که

$z_3$

یکی از ریشه های این معادله هست.
5-
الف)
برای باقی مانده به جای x^2 عدد 1 می گذاریم در میاد باقی مانده 6 هستش. خارج قسمت هم با تقسیم میشه دید که میشه

$x^2+5$

ب)
ریشه های Q به طور بدیهی 1و-1 هستن. ریشه های P در رابطه ی

$w^2=-2\pm\sqrt 3$

صدق می کنن. پس ریشه های P میشن:

$\pm i\sqrt{2-\sqrt 3},\pm i\sqrt{2+\sqrt 3}$

ج)

$P(x)-Q(x)=x^4+3x^2+2=(x^2+2)(x^2+1)$

پس ریشه هاش میشن

$\pm i,\pm i \sqrt2$

6-

$P(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$

$P'(x)=3a_3x^2+2a_2x+a_1$

$P''(x)=6a_3x+2a_2$

$P'''(x)=6a_3$

حالت کلی هم بسط تیلور هر تابع تحلیلی ه.

hkh74 · 1392/1/3

پاسخ : پاسخ ها و راهنمایی سوال های آخر فصل جبر خوشخوان (مهدی صفا )

$\textup{\color{Blue}Chapter 18}$

1. نشان دهید

$P(x)=\frac{x^{202}-1}{x^2-1}$

پس با فرض

$Q(x)=\frac{x^{101}-1}{x-1}$

خواهیم داشت

$P(x)=Q(x^2)$

پس همه ی تک جمله ای های

$P$

توان زوج دارند.

2. (طبق قانون علامت دکارت)

$P$

ریشه ی مثبتی نداره، پس

$P(x)=(x+\alpha_1)(x+\alpha_2)\dots (x+\alpha_n)$

که

$\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n\geq 0$

، همچنین

$\alpha_1\alpha_2\dots\alpha_n=P(0)=1$

.
بنابر نابرابری

$\sqrt[n]{(a_1+b_1)\dots (a_n+b_n)}\geq \sqrt[n]{a_1\dots a_n}+\sqrt[n]{b_1\dots b_n}$

خواهیم داشت:

$\sqrt[n]{P(2)}= \sqrt[n]{(2+\alpha_1)\dots(2+\alpha_n)}\\ \geq \sqrt[n]{2^n}+\sqrt[n]{\alpha_1\dots\alpha_n}\\ =3$

که حکم رو ثابت می کنه.

3. ریشه های

$P$

رو با

$\alpha_1,\dots,\alpha_n$

نشان دهید.

$a(x-\alpha_1)\dots(x-\alpha_n)=ax^n-ax^{n-1}+c_2x^{n-2}+\dots+c_{n-2}x^2-n^2bx+b$

از تساوی ضرایب

$x^{n-1},x^1,x^0$

نتیجه می گیریم

$\sum_{i=1}^{n}\alpha_i=1,\sum_{i=1}^{n}\frac{\alpha_1\dots\alpha_n}{\alpha_i}=n^2\alpha_1\dots\alpha_n$

پس

$\sum_{i=1}^{n}\alpha_i=1,\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\alpha_i}=n^2$

، اما بنابر نابرابری حسابی-توافقی:

$n^2=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\alpha_i}\geq \frac{n^2}{\sum_{i=1}^{n}\alpha_i}=n^2$

پس حالت تساوی نامساوی رخ داده و در نتیجه همه ی متغیر های باید برابر باشند.

4. جواب: تمام m,n های طبیعی که m+1,n نسبت به هم اولند.
ابتدا از

$Q|P$

نتیجه بگیرید که

$(x^{m+1}-1)(x^n-1)|(x-1)(x^{(m+1)n}-1)$

.
سپس ثابت کنید

$(x^{(m+1,n)}-1)^2|(x-1)(x^{(m+1)n}-1)$

.
فرض کنید

$(m+1,n)=d,(m+1)n=k$

پس

$(x^d-1)^2|(x-1)(x^k-1) \\ \Rightarrow (x-1)(x^k-1)=g(x)(x^d-1)^2$

از طرفین مشتق بگیرید

$(x^k-1)+kx^{k-1}(x-1)=g'(x)(x^d-1)^2+2dx^{d-1}g(x)(x^d-1) \\ \Rightarrow x^d-1|(x-1)((x^k-1)+kx^{k-1}(x-1))=g(x)(x^d-1)^2+kx^{k-1}(x-1)^2 \\ \Rightarrow x^d-1|(x-1)^2$

واضح است که d=1 ، پس m+1,n باید نسبت به هم اول باشند.
حالا فرض کنید m+1,n نسبت به هم اولند، برای اثبات حکم از این استفاده کنید که

$(x^a-1,x^b-1)=x^{(a,b)}-1$

5. راهنمایی: توجه به با فرض سوال

$P(x)-P(0)$

نامتناهی ریشه خواهد داشت.

6. مانند مثال 18-1 عمل کنید.
جواب آخر:

$P(x)=cx(x-1)(x+1)$

7. وجود ندارد.
فرض کنید چنین چندجمله ای هایی وجود داشته باشند. اگر a زوج باشد چون a|b و a|c باید b,c هم زوج باشند پس a+1,b+1,c+1 فردند و چندجمله ای با ضرایب فرد نمی تواند دو ریشه ی صحیح داشته باشد (زیرا دلتای معادله به پیمانه ی 8 برابر 5 می شود که برابر هیچ مربع کاملی نیست). حالت a فرد به طور مشابه حل می شود (یعنی a+1 زوج می شود و ...)

8. مانند مثال 18-1 عمل کنید و ثابت کنید

$P(x)=(x-16)(x-8)(x-4)(x-2)Q(x)$

که

$Q(2x)=Q(x)$

و نتیجه بگیرید

$Q$

ثابت است.

Aref · 1392/1/15

پاسخ : پاسخ ها و راهنمایی سوال های آخر فصل جبر خوشخوان (مهدی صفا )

$\textup{{\color{Blue} Chapter 19}}$

1-
قضیه 1: اگر

$a,b$

دو عدد صحیح باشند و

$P(x)\in\mathbb Z[x]$

آنگاه

$a-b\mid P(a)-P(b)$

.
از اتحاد چاق و لاغر نتیجه می شود.

الف)

$19-1\nmid 85-19$

پس پاسخ منفی است. وجود ندارد.

ب)

$P(x)=917x^2-851x+19$

چند جمله ای مورد نظر است. من خودم اول

$P(x)=ax^2+bx+c$

گرفتم و ضرایب رو محاسبه کردم. ولی میشه این کار رو با درونیابی لاگرانژ هم انجام داد.

2- برهان خلف می زنیم. فرض کنید داشته باشیم:

$P(a)=P(b)=P(c)=P(d)=7,P(e)=4$

طبق قضیه 1 داریم:

$e-a,e-b,e-c,e-d$

همگی مقسوم علیه های 3 هستند. بدون کاستن از کلیت مساله فرض می کنیم:

$e-a=-3,e-b=-1,e-c=1,e-d=3$

تعریف کنید:

$Q(x)=P(x)-7$

.

داریم:

$Q(a)=Q(b)=Q(c)=Q(d)=0$

پس

$Q(x)=R(x)(x-a)(x-b)(x-c)(x-d);R(x)\in \mathbb Z[x]$

حالا داریم:

$Q(e)=-3\Rightarrow \prod (e-a)\mid -3\Rightarrow 9\mid 3$

که تناقض است.

3- از قضیه 1 داریم:

$a_1-a_2\mid P(a_1)-P(a_2)\Rightarrow a_1-a_2\mid a_2-a_3$

به همین ترتیب داریم:

$a_1-a_2\mid a_2-a_3\mid \dots\mid a_{n}-a_{n+1}\mid a_{n+1}-a_2$

پس

$|a_1-a_2|= |a_2-a_3|=\dots=|a_{n-1}-a_{n}|=|a_n-a_1|$

اگر همه ی

$a_i-a_{i+1}$

ها هم علامت نباشند آنگاه عدد j یافت می شود که

$a_j-a_{j+1}=-(a_{j+1}-a_{j+2})$

که در تناقض با متمایز بودن است. پس همه ی آنها هم علامتند و این یعنی:

$a_1-a_2=a_2-a_3=\dots=a_n-a_1\Rightarrow n(a_1-a_2)=\sum_{i=1}^{n}a_i-a_{i+1}=0$

که این هم تناقض است.

4 - باز هم برهان خلف می زنیم فرض کنید که

$f(a_1)^2=\dots=f(a_{1996})^2=9$

پس

$f(a_1)=\dots=f(a_{1996})\in \{\pm3\}$

فرض کنید

$f(a_1)=\dots=f(a_k)=-f(a_{k+1})=\dots=-f(a_{1996})$

و

$k\ge998,a_1<a_2<\dots<a_k$

طبق قضیه 1 داریم

$\forall 1\le i\le k;a_i-a_{1996}\mid 6$

که این تناقض هستش. پس

$f(a_1)=f(a_2)=\dots=f(a_{1996})$

حالا چون

$\deg f=1991$

پس

$f$

نمی تواند در 1996 نقطه ثابت باشد که تناقض است.

5- برهان خلف می زنیم. فرض کنید

$x^n-x^{n-1}-\dots-x-1=p(x)q(x)$

.
قضیه ی تعیین علامت دکارت نتیجه می دهد که

$f(x)=x^n-x^{n-1}-\dots-x-1$

دقیقا یک ریشه حقیقی دارد. اگر n=2 حکم بدیهی است. پس فرض می کنیم

$n\ge 3$

$f(\sqrt 3)=(\sqrt 3)^n-\frac{({\sqrt 3})^n-1}{\sqrt 3 - 1}<0\iff 1<(\sqrt 3)^n(2-\sqrt3)$

$(\sqrt 3)^n(2-\sqrt3)\ge (\sqrt 3)^3(2-\sqrt3)>1\iff 27>25$

$f(2)=2^n-2^{n-1}-\dots-2-1=1$

پس

$f$

دقیقا یک ریشه ی حقیقی دارد و آن هم در بازه ی

$(\sqrt3,2)$

قرار دارد. آن ریشه را

$k$

می گیریم.
داریم:

$f(z)=0\Rightarrow |z|^n=|z^{n-1}+\dots+z+1|\le |z|^{n-1}+\dots+|z|+1\Rightarrow f(|z|)\le 0$

$f(z)(z-1)=z^{n+1}-2z^n+1=0\Rightarrow |z|^n|z-2|=1$

$2\le |z|+|z-2|=|z|+|z|^{-n}$

پس

$f(|z|)(|z|-1)\ge 0\Rightarrow f(|z|)=0\vee |z|\le 1$

پس

$|z|=k\vee |z|\le 1$

حالا ریشه با کوچکترین نرم رو

$e$

در نظر می گیریم. چون

$f(0)=-1$

پس

$|e|<1$

. داریم:

$1=|e|^n|e-2|\le|e|^n(|e|+2)<3|e|^n\Rightarrow |e|^n>\frac{1}{3}$

پس حاصل ضرب نرم اون هایی که نرمشون کمتر مساوی یک هستش حداقل 1/3 ه. پس تنها ریشه با نرم بزرگتر از 1، همون k هستش.
چرا که اگر یه ریشه غیر از k با نرم برابر k داشته باشیم نرم حاصل ضرب ریشه ها نمی تونه 1 باشه.
فرض می کنیم

$p(k)=0$

در این صورت

$q(z)=0\Rightarrow |z|\le1;|q(0)|=1\Rightarrow |z|=1\Rightarrow |z-2|=1\Rightarrow z=1$

که تناقض است چون 1 ریشه ی f نیست.
پس f تحویل ناپذیر است.

6-

$P(x)=(x-1)(x-6)(x-8)(x-9)$

در رابطه ی گفته شده صدق می کنه. برای اثبات این که

$P(1986)$

مربع کامل نیست کافیه تعداد عوامل 3 رو براش بشمارید.

7-

ash1374 · 1392/1/17

پاسخ : پاسخ و راهنمایی سوال های آخر فصل جبر خوشخوان (مهدی صفا )

فصل بیستم:

1. فکر کنم مشکل داره. مثلا

$x^{4}-2x^{2}+2$

مثال نقضه.

2. استقرای دوگانه بزنید.( ار N-2 به N بروید) مثلا درباره ی a باید بگوییم ریشه ای کوچکتر از a ندارد. فرض کنید ریشه ای مثل c کوچکتر از a داشته باشد. ثابت کنید در نقطه ای بین aوc مثل d مشتق صفر می شود. سپس ثابت کنید در نقطه ای بین aو d مشتق دوم صفر می شود(یعنی جهت تقعر تابع عوض می شود) . سپس با فرض استقرا به تناقض برسید.

3. دقت کنید مشتق چند جمله ای

$Q(x)=\frac{a_{n}}{n+1}x^{n+1}+...+\frac{a_{1}}{2}x^{2}+a_{0}x$

همان P می شود. از طرفی Q حداقل دو ریشه ی حقیقی دارد و...

4. روی K استقرا بزنید. ( همان روند اثبات قائده ی تغییر علامت دکارت را تکرار کنید)

5. دقت کنید

$\left ( \frac{p'(x)}{p(x)} \right )'=\frac{p(x)p''(x)-(p'(x))^{2}}{(p(x))^{2}}$

. از طرفی

$\frac{p'(x)}{p(x)}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x-r_{i}}$

که R_i ها ریشه های p اند.

بنابر این

$\frac{p(x)p''(x)-(p'(x))^{2}}{(p(x))^{2}}=(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x-r_{i}})'=\sum_{i=1}^{n}(\frac{1}{x-r_{i}})'=\sum_{i=1}^{n} \frac{-1}{(x-r_{i})^{2}}$

.

که اگر قرار بود همه ی r[SUB]i[/SUB] ها حقیقی باشند عبارت بالا کمتر مساوی صفر میشد و لذا

$p(x)p''(x)-(p'(x))^{2}\leq 0$

که تناقض است.

msaeids · 1392/5/8

پاسخ : پاسخ و راهنمایی سوال های آخر فصل جبر خوشخوان (مهدی صفا )

اگر دوستان موافقند بریم به فصل 11 و سوالات اون رو تا جایی که میشه حل کنیم

Al!R3ZA · 1392/5/8

پاسخ : پاسخ و راهنمایی سوال های آخر فصل جبر خوشخوان (مهدی صفا )

msaeids گفت

چون منابع نامساوی زیادی توی کشور هست و چاپ شده و همینطور همین فروم و جاهای دیگه، بهتره بریم سراغ فصول تابعی و چند جمله ای.
پس اگه دوستانی هستن که میخوان ادامه بدن از فصل 16 (مسائل بدون حل معادلات تابعی) شروع کنن

msaeids · 1392/5/8

پاسخ : پاسخ و راهنمایی سوال های آخر فصل جبر خوشخوان (مهدی صفا )

(من یه مقداری کوتاه راهنمایی میکنم
اگه لازمه بگید حلشو بذارم
امروز فعلا تا همین جایی که میذارم رو تونستم به یاد بیارم
ایشالله روزهای بعدی بیشتر هم میشه)
فصل 11:
سوال1-تجزیه کنید عبارت رو(با فاکتور گیری و استفاده از فرض دوم)
سوال4 - 3 رو فاکتور بگیرید و برای a+b,c,d حسابی هندسی بزنید
سوال 5- استقرا بزنید روی n
سوال 6 -برای هر دو قسمت بسط بدید
زاه تمیزتر هم داره ولی خوب اون بیشتر واسه تعمیمشه
سوال 7-دقیقا صورت کوشی برای

$\binom{n}{i}$

هاست که ازش جذر گرفتیم
سوال 9 رو یادمه که آسون بود ولی حلش یادم نیومد
سوال 10 غلطه
سوال 11 هم راه استقرا داره
هم راه بی استقرا
که راه بی استقراش خیلی بدیهیه
سوال 12 - طرفین وسطین کنید
سوال 13- حسابی مربعی بزنید و از این استفاده کنید که

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$

مقدار حداقل میشه 12
سوال 15 - چند جمله ای رو به فرم اصلی بنویسید ورابطه حکم رو بازنویسی کنید
میبینید که حکم دقیقا صورت کوشیه!
سوال14- روی a,b,c حالت بندی کنید همه شون بزرگتر از یک باشن یا یکیشون کمتر از یک باشه و ...
یه حکم قویتر از این تو یه سالی از apmo بوده
نمیدونم دقیقا کدوم سال
سوال 16- ثابت کنید i,j,k,l داریم که (بابرهان خلف)

$\frac{1}{1+x_{i}}+\frac{1}{1+x_{j}}>1,\frac{1}{1+x_{k}}+\frac{1}{1+x_{l}}<1$

سوال 17-مثله سوال 16 عمل کند
سوال 19- کوشی بزنید بعدشم نامساوی توانی
سوال 20- به توان دو برسونید بعد خیلی ساده و ریلکس تقریب بزنید!!
سوال 22- نامساوی توانی
سوال 25- استقرا بزنید حالت n تاییش میشه عین حالت سه تاییش
سوال 26 - m تا حسابی هندسی بزنید بعد همه رو تو هم ضرب کنید
سوال 29- خیلی ریلکس تقریب زنید(میشه صورت حسابی هندسی)
سوال 30 کوشی بزنید حداقلش میشه

$\frac{3}{(a+b)^2}$

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

ببخشید من کم راهنمایی میکنم
برای اینه که تعداد سوالا زیاده به خاطر همین هم هست که زیاد از لاتکس استفاده نمیکنم
هر کدوم رو که لازم بود من کامل حل میکنم)
ولی این راهنمایی ها سوال رو حل میکنن معمولا

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

ببخشید من پست علیرضا خان رو ندیدم
ولی خوب چون کار کردم روش ادامه میدم تا جایی که الان حاضر کردم ولی دفعات بعدی میرم روی فصل 16
سوال 31 - سمت چپ رو بگیرید B و سمت راست رو بگیرید Aاول سمت راستو ثابت کنید بعد ثابت کنید 2A+B=3 برای اثبات سمت راست هم دقت کنید که

$\frac{a^2}{a^2+2bc}\geq \frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}$

سوال 34- طرفین وسطین کنید و از این کثیف کاری های بیل زدن
سوال 39- برهان خلف بزنید و تیکه تیکه حکم رو ثابت کنید
ولی اول از هم ه با برهان خلف ثابت کنید همشون مثبتن
سوال 40 تو مثلینکس هست
راهنماییش یه نامساوی جزیی خوشگل داره
ببخشید الان تو وضعیتی نیستم که لینکشو تو مثلینکس بذارم
سوال 41 الف)ب رو ثابت میکنینم
ب)

$p^2+q^2+1\geq p^2+\frac{(q+1)^2}{2}\geq \sqrt{2}p(q+1)$

سوال 38- تعمیم سوال 20 و مثه اون هم حل میشه
سوال 43- این تغییرمتغیر رو اسمشو میذاریم تغییرمتغیر خوشگلa=y+z,b=x+z ,c=x+y حالا حسابی توافقی بزنید
سوال 44- تغییر متغیر خوشگل و حسابی هندسی
سوال 45 - غلطه!
سوال 54- کوشی بزنید
سوال 55-چون x,y دلخواهند میتونیم 1 بذاریم
همچنین میشه با توان دو رسوندن هم حلش کرد
سوال 56-غلطه!
57-تغییر متغیر

$a^3=x,b^3=y,c^3=z$

و اینکه

$\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{1}{3}$

سوال 58- مثل سوال 16 عمل کنید!
سوال 59- ضربشون رو یه متغیر بگیرید
جمعشون رو یه متغیر
بعد بررسی کنید !!!:90:
سوال 60 اتحاد اولر
سوال 61 - n=2,3,4 برای بقیه مثال نقض رو خودتون میتونید بسازید :90:
سوال 68- ترتیب فرض کنید و نابرابری های خیلی خیلی بدیهی بزنید:90:
سوال 74 چند جمله ای بسازید که ریشه هاش a,b,c باشند
سوال 80 - حسابی هندسی
سوال 83- عبارت سمت چپ A
به استقرا ثابت کنید

$A \geq \frac{1-\sum x_{i}}{1+\sum x_{i}}$

سوال 85- احتمالا باید توان دو برسونید :90:
سوال 90 -تغییر متغیر خوشگل و نامساوی مربعی حسابی
سوال 94- بسط بدید و ساده سازی کنید
115- عملا فقط باید بیل بزنید:90:
123- مثله سوال 1 عمل کنید
سوال 127- حالت بندی کنید روی علامت a نتیجه میشه a بزرگتره
سوال 148- حسابی هندسی بزنید
موفق باشید
ایسالله پست بعدی راجع به معادلات تابعیه:90:

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

بالا خره تموم شد:18:

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

بالا خره تموم شد:18:

Al!R3ZA · 1392/5/11

پاسخ : پاسخ و راهنمایی سوال های آخر فصل جبر خوشخوان (مهدی صفا )

تو بخش تابعی لطفاً خیلی خیلی بیشتر توضیح بدید و برای هر سوال تا جای ممکن بنویسید (حتی اگه شد تا آخر )
نیازی نیست توی دو تا پست تموم کنیدشون.
توی هر پست اگه 4-5 تا سوال رو بنویسید (حتی کمتر ) ولی اونو توضیح بدیدو خیلی خوب راهنمایی کنید خیلی ارزشش بیشتره تا توی یه پست در مورد هر سوال سه کلمه بنویسید.
بازم ممنون از راهنمایی هاتون.

پاسخ و راهنمایی سوال های آخر فصل جبر خوشخوان (مهدی صفا )

Well-Known Member

Well-Known Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member