☺ماراتن سوال وایده های سخت معادلات دیوفانتی☻

حمید آنالیز · 1394/1/11

سلام به همه بچه های خوب!!!
خوب من اینجا میخام با هم دیگه ایده های معادلات دیوفانتی رو دربیاریم با تحلیلی ساده اونا رو ارائه کنیم و از گذاشتن سوالم مهارتمون تو حل سوالات بیشتر میشود خوب این جا مثل ماراتنای دیگس و قوانین اونا رو داره و طبق معمول اولین سوالو خودم میزارم!
#1
ثابت کنید برای هر

$n\geq 412$

اعداد طبیعی

$x_{1},x_{2},...,x_{n}$

وجود دارند,به طوری که

$\frac{1}{x_{1}^3}+\frac{1}{x_{2}^3}+...+\frac{1}{x_{n}^3}=1$

پ.ن=ترتیب سوالات از آسون به سخت و ایده را با اثبات کامل سوال بشرحین و لینک حل ندین!!

REZA 73 · 1394/1/12

پاسخ : ☺ماراتن سوال وایده های سخت معادلات دیوفانتی☻

حمید آنالیز گفت

به ازای

$n=8$

که به وضوح جواب داره.

حال اگه به ازای

$n$

جواب داشته باشه :

$\frac{1}{x^{3}_{1}}+...+\frac{1}{x^{3}_{n}}=1$

اونوقت:

$\frac{1}{x^{3}_{1}}+...+\frac{1}{x^{3}_{n-1}}+\frac{1}{8x^{3}_{n}}+...+\frac{1}{8x^{3}_{n}}=1$

و

$\frac{1}{x^{3}_{1}}+...+\frac{1}{x^{3}_{n-1}}+\frac{1}{27x^{3}_{n}}+...+\frac{1}{27x^{3}_{n}}=1$

که در عبارت اول

$n+7$

و در عبارت دوم

$n+26$

تا کسر داریم.در نتیجه اعداد

$n=8+7x+26y$

در شرط مساله صدق میکنند.(

$x,y\subseteq N$

)

قضیه: هر گاه

$a,b$

طبیعی و نسبت به هم اول باشند عدد

$m> ab$

قابل نوشتن به صورت

$ax+by$

است که

$x,y$

هم طبیعی هستند.
اثبات این قضیه با استفاده از قضیه باقیمانده چینی است و زیاد سخت نیست.

حالا طبق قضیه بالا هر گاه

$n> 8+7\times 26$

باشه در شرط مساله صدق میکنه!

حالا نمیدونم

$n\geq 412$

از کجا اومده.
؟؟:65:

حمید آنالیز · 1394/1/12

پاسخ : ☺ماراتن سوال وایده های سخت معادلات دیوفانتی☻

1.x,yچین؟؟
2.یکم کامل تر توضیح بدین حلتونو!
3.فک کنم اون قضیتون فقط در اعداد صحیح جواب بده نه گویا که روی سوال کسرین
4.راهنمایی:قضیه رو برای حالت تساوی اثبات و از استقرا استفاده کنین اون هشت هم درسته ولی 27 نه چون سخت میکنه سوالو ایده اصلی تو اون استقراست!

bakhshande.s · 1394/1/12

پاسخ : ☺ماراتن سوال وایده های سخت معادلات دیوفانتی☻

منم سه ساعت بود که جواب رو بدست اوردم که یکی از جواب هام( بازه بین ۱_۱۰ ) که جواب در این محدوده قرار میگیره ولی همش دنبال این بودم ببینم کجا جوابم غلط واقعا ممنون :1:

حمید آنالیز · 1394/1/12

پاسخ : ☺ماراتن سوال وایده های سخت معادلات دیوفانتی☻

REZA 73 گفت

نه من میگم اعداد طبیعی میان مخرج پس درست نیستن !!شاید جوب دارم میگم!!
البته طبق فرض وال فقط واسه اون منطقه جواب داره نه بیشتر پس یه جا مشکل داره به اون نراهنمایی توجه کنین که میگه 27 درسته ولی سوالو سخت میکنه8 بهتره در استقرا رو میگم یکم بیشتر فک کنین اینو تیتو اندرسکو مطرح کرده ها!!!!:4:

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

bakhshande.s گفت

الان شما با کی هستین؟!!

bakhshande.s · 1394/1/12

پاسخ : ☺ماراتن سوال وایده های سخت معادلات دیوفانتی☻

حمید آنالیز گفت

بنده با اقای reza73بودم

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

میشه بگید منبع این سوال چی هست ؟؟؟

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

Dadgarnia · 1394/1/14

پاسخ : ☺ماراتن سوال وایده های سخت معادلات دیوفانتی☻

به نظر من راه حل آقاي REZA73 درسته ولي من يه راه ديگه هم پيدا كردم كه از 412 استفاده ميشه. واضحه كه اگه براي n چنين اعدادي وجود داشته باشن براي n+7 هم وجود داره. حالا دقت كنيد كه

$412\equiv 27\pmod 7,413\equiv 49\pmod 7,414\equiv 36\pmod 7$

$415\equiv 261\pmod 7,416\equiv 178\pmod 7,417\equiv 200\pmod 7$

پس كافيه براي اعدادي كه در بالا بدست اومد چنين اعدادي را پيدا كنيم:

$\frac{27}{3^3}=1,\frac{4}{2^3}+\frac{9}{3^3}+\frac{36}{6^3}=1,\frac{4}{2^3}+\frac{32}{4^3}=1,\frac{18}{3^3}+\frac{243}{9^3}=1,\frac{18}{3^3}+\frac{16}{4^3}+\frac{144}{12^3}=1$

$\frac{4}{2^3}+\frac{16}{4^3}+\frac{36}{6^3}+\frac{144}{12^3}=1,\frac{4}{2^3}+\frac{9}{3^3}+\frac{81}{9^3}+\frac{324}{18^3}=1$

لطفا سوال بعدو خودتون بذارين در ضمن لطفا ناظمان عزيز اينو به بخش نظريه اعداد منتقل كنن.

حمید آنالیز · 1394/1/14

پاسخ : ☺ماراتن سوال وایده های سخت معادلات دیوفانتی☻

همه ی جوابای صحیح معادله ی

$x^3-3xy^2+y^3=n^3$

را پیدا کنید سوال با اندکی تلخیص است!!!!!لطفا لینک نزارید و حل کاملو بنویسید با تشکر!:4:

حمید آنالیز · 1394/1/21

پاسخ : ☺ماراتن سوال وایده های سخت معادلات دیوفانتی☻

جواب بدید از ای ام او که سخت نیس تازه ایده اونه!!!

jan123 · 1394/1/22

پاسخ : ☺ماراتن سوال وایده های سخت معادلات دیوفانتی☻

واضحه که یکی از جواب های معادله (0,0,0)هست
به ازای x=0یا y=0 بدست میاد y=nیاx=n لذادر این حالت به ازای هرk صحیح که به جای x یا y معادله جواب داره
مثلا جواب هایx=0,y=1,n=1یاx=2,y=0,n=2 موجود است
پس معادله بیشمار جواب داره
(ببخشید اگه راه حلم غلط بود چون آشنایی زیادی با این نوع معادلات ندارم)

Seyed Amir Hosseini · 1394/1/22

پاسخ : ☺ماراتن سوال وایده های سخت معادلات دیوفانتی☻

خب شما فقط به ازای x=0 یا y=0 سوال را بررسی کردید در صورتی که به ازای مفادیری غیر از xو y صفر هم سوال باید بررسی بشه حتی اگه جواب هم نداشته باشه باید این حالات را در نظر بگیرید:4:

حمید آنالیز · 1394/1/22

پاسخ : ☺ماراتن سوال وایده های سخت معادلات دیوفانتی☻

جواب دوستمون درسته وخلاقانه در مورد بینهایت جوابا حالا بررسی کنین ببین یا ثابت کنین این معادله فقطی همهی x,y,nاعداد طبیعی اند جواب ندارد:4:!

Dadgarnia · 1394/1/22

پاسخ : ☺ماراتن سوال وایده های سخت معادلات دیوفانتی☻

حمید آنالیز گفت

شما كه نوشته بودين تمام جواب ها!!!! آيا درسته كه يه جوان رو 18 روز اينجوري سر كار بذارين؟ :4: در مورد جواب هاي طبيعي هم جواب

$(x,y,n)=(k,3k,k)$

وقتي k طبيعي باشه صدق مي كنه. لطفا سوال بعدي رو بذارين ولي اين دفعه يه كم دقتتونو توي نوشتن صورت سوال بالاتر ببرين! :4:

حمید آنالیز · 1394/1/23

پاسخ : ☺ماراتن سوال وایده های سخت معادلات دیوفانتی☻

Dadgarnia گفت

خوب جوابتون که درسته ولی میخواستم اون جوون از جوابش نا امید نشه آقا:4:
همهی جواب های معادله

$x+x^2=y+y^2+y^3$

را در مجموعه اعداد صحیح بیابید.(لطفا از ذکر منبع خودداری کنید!)

Dadgarnia · 1394/1/23

پاسخ : ☺ماراتن سوال وایده های سخت معادلات دیوفانتی☻

حمید آنالیز گفت

ابتدا اگه يكي از x و y صفر باشن يا مساوي باشن جواب هاي

$(x,y)=(0,0),(-1,0)$

بدست مياد. حالا فرض مي كنيم

$x\neq y\neq 0$

. اگه

$y<0$

باشه بدست مياد:

$-1\geq y^3+y^2+y=x^2+x\geq -\frac{1}{4}$

كه تناقضه پس

$x,y$

هر دو مثبتند. حالا داريم:

$(x-y)(x+y+1)=y^3$

فرض مي كنيم

$\gcd(x-y,x+y+1)\neq 1$

و

$p$

يه عامل اول

$\gcd(x-y,x+y+1)$

باشه پس داريم:

$p|x-y,p|x+y+1\Rightarrow p|2y+1$

$p|y^3\Rightarrow p|y$

$\Rightarrow p|1$

كه تناقضه پس

$\gcd(x-y,x+y+1)=1$

كه نتيجه ميده اعداد طبيعي

$m,n$

وجود دارند به طوريكه

$x-y=n^3,x+y+1=m^3,y=mn$

$\Rightarrow 2y+1=m^3-n^3\geq 3mn(m-n)\geq 3mn=3y\Rightarrow y=1$

اما براي

$y=1$

معادله جواب صحيح نداره پس تنها جواب هاي معادله

$(x,y)=(0,0),(-1,0)$

هستند.

حمید آنالیز · 1394/1/23

پاسخ : ☺ماراتن سوال وایده های سخت معادلات دیوفانتی☻

Dadgarnia گفت

خیلی عالی میدونستم که اولین شمایین!:4:
آقا علیرضا حالا میتونین منبع سوالو بگین و سوال دیگه رو بزارین!

Dadgarnia · 1394/1/23

پاسخ : ☺ماراتن سوال وایده های سخت معادلات دیوفانتی☻

حمید آنالیز گفت

منبع سوال كه فكر كنم سوال مرحله دو بوده! سوال هم لطفا شما بذارين من سوال خوب ندارم!

حمید آنالیز · 1394/1/23

پاسخ : ☺ماراتن سوال وایده های سخت معادلات دیوفانتی☻

ثابت کنید بی نهایت عدد طبیعی مانند nوجود دارد که

$n^2+(n+1)^2$

مربع کامل باشد!
این سوال دیگه تابلوئه که تمام جواباشو نمیخواد و فقط اثباته یه ساعت و نیم وخت دارین:4:الکی:4:

Dadgarnia · 1394/1/23

پاسخ : ☺ماراتن سوال وایده های سخت معادلات دیوفانتی☻

حمید آنالیز گفت

كافيه ثابت كنيم اعداد طبيعي

$a,b$

وجود دارند به طوريكه

$n=2ab,n+1=a^2-b^2\Rightarrow a^2-b^2-1=2ab\Rightarrow (a-b)^2-2b^2=1$

اينم كه معادله ي پله و بي نهايت جواب داره. سوال بعدي! :4:

حمید آنالیز · 1394/1/23

پاسخ : ☺ماراتن سوال وایده های سخت معادلات دیوفانتی☻

Dadgarnia گفت

حالا سوال جون دارو نشونتون میدم با لا اقل بزارین یه روز ازش بگذره بعد!!!:4
تمام اطاعات خود را در باره ی جواب های این معادله بگین!!

$3x^2+5y^2-17z^2=0$

☺ماراتن سوال وایده های سخت معادلات دیوفانتی☻

Well-Known Member

Active Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

Well-Known Member

Well-Known Member

New Member

Active Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member