ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

AHZolfaghari · 1393/6/11

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Dadgarnia گفت

یه راه حل ساده : از قضیه بزو استفاده کنید.

$(m,n)=mx + ny$

$\frac{(m,n)}{n} \binom{n}{m}=\frac{mx}{n}\binom{n}{m}+y\binom{n}{m}=x\binom{n-1}{m-1}+y\binom{n}{m}$

این هم بدیهی است که طبیعی هستش !!!!!!!!!!
حالا بقیه سوال بذارن !!!

math1998 · 1393/6/11

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

AHZolfaghari گفت

خودت ادامه بده سوالات خیلی خوبی میذاری .

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

تمام اعداد طیبیعی

$n$

را بیابید که

$\frac{2^n+1}{n^2}$

طبیعی باشد .

m-saghaei · 1393/6/11

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

از آقای ذوالفقاری به خاطر سوالای خوبشون تشکر میکنم.واقعا به جرئت میشه گفت ایشون غول المپیاده ! جدا میگم !

AHZolfaghari · 1393/6/11

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

math1998 گفت

کوچک ترین عامل اول n رو برابر q در نظر میگیریم . بوضوح داریم :

$q \vert 2^n + 1 \Rightarrow 4^n \equiv 1 (mod q)$

حالا فرض کنید مرتبه 4 به پیمانه n باشه d پس d یکی از مقسوم علیه های n هستش پس از q بزرگ تر هستش . اما بنابر قضیه فرما و اینکه

$4^{q-1} \equiv 1 (mod q)$

بدست میاد که

$d \vert q-1$

که تناقض داره پس d لاجرا باید یا خود q بشه یا برابر با یک باشه خود q که نیست ( خیلی بدیهیه ) پس d=1 پس

$q \vert 3$

پس

$q=3$

پس کوچک ترین عامل اولش شد 3

$2 ^n + 1 = 8^k +1$

با نوشتن لم دوخط بدست میاد که k بر سه بخش پذیر نیست .
حالا p رو کوچک ترین عامل اول k یا به عبارتی دیگر کوچک ترین عامل اول n بعد از سه میگیریم.
بازم مثل حالت قبل میشه

$p \vert 4^n -1$

پس مرتبش رو میگیریم

$d'$

حالا

$d'$

خودش یکی از مقسوم علیه های n هستش و اینکه

$d'$

از p کمتره پس

$d'$

عامل اول جدید نیست . پس یا یک توانی از سه هستش یا یک هستش یا خود سه.
توانی از سه که نمیتونه باشه چون اثبات کردیم که n حداکثر یه عامل سه داره . پس یا یک هستش یا سه
اگه یک باشه p مساوی سه میشه که تناقضه چون فرض این بوده که p از سه بزرگتره پس

$d'$

برابر سه میشه
پس

$p\vert 4^3 - 1 = 63$

پس

$p=7$

پس n بر 7 بخش پذیر هستش.
حالا :

$7 \vert 2^n + 1 + 2^3 - 1 = 2^3 ( 2^{n-3}+1)\Rightarrow 7\vert 2^{n-3}+1$

پس تو هر مرحله میتونیم توان 3 رو سه تا کم کنیم و در میرسه به باقی مانده n بر سه که یعنی به 3 میرسه یعنی 7 عاد میکنه 3 رو که تناقضه پسn عامل اول دیگه ای بجز 3 نخواهد داشت و چون اثبات کردیم این عوامل از یک بیشتر نیست پس جواب فقط n= 3 , n=1 می باشد.

سوال 3 المپیاد جهانی 1990 - پکن ، چین ( سوال خیلی قشنگی بود )

AHZolfaghari · 1393/6/11

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

math1998 گفت

کوچک ترین عامل اول n رو برابر q در نظر میگیریم . بوضوح داریم :

$q \vert 2^n + 1 \Rightarrow 4^n \equiv 1 (mod q)$

حالا فرض کنید مرتبه 4 به پیمانه n باشه d پس d یکی از مقسوم علیه های n هستش پس از q بزرگ تر هستش . اما بنابر قضیه فرما و اینکه

$4^{q-1} \equiv 1 (mod q)$

بدست میاد که

$d \vert q-1$

که تناقض داره پس d لاجرا باید یا خود q بشه یا برابر با یک باشه خود q که نیست ( خیلی بدیهیه ) پس d=1 پس

$q \vert 3$

پس

$q=3$

پس کوچک ترین عامل اولش شد 3

$2 ^n + 1 = 8^k +1$

با نوشتن لم دوخط بدست میاد که k بر سه بخش پذیر نیست .
حالا p رو کوچک ترین عامل اول k یا به عبارتی دیگر کوچک ترین عامل اول n بعد از سه میگیریم.
بازم مثل حالت قبل میشه

$p \vert 4^n -1$

پس مرتبش رو میگیریم

$d'$

حالا

$d'$

خودش یکی از مقسوم علیه های n هستش و اینکه

$d'$

از p کمتره پس

$d'$

عامل اول جدید نیست . پس یا یک توانی از سه هستش یا یک هستش یا خود سه.
توانی از سه که نمیتونه باشه چون اثبات کردیم که n حداکثر یه عامل سه داره . پس یا یک هستش یا سه
اگه یک باشه p مساوی سه میشه که تناقضه چون فرض این بوده که p از سه بزرگتره پس

$d'$

برابر سه میشه
پس

$p\vert 4^3 - 1 = 63$

پس

$p=7$

پس n بر 7 بخش پذیر هستش.
حالا :

$7 \vert 2^n + 1 + 2^3 - 1 = 2^3 ( 2^{n-3}+1)\Rightarrow 7\vert 2^{n-3}+1$

پس تو هر مرحله میتونیم توان 3 رو سه تا کم کنیم و در میرسه به باقی مانده n بر سه که یعنی به 3 میرسه یعنی 7 عاد میکنه 3 رو که تناقضه پسn عامل اول دیگه ای بجز 3 نخواهد داشت و چون اثبات کردیم این عوامل از یک بیشتر نیست پس جواب فقط n= 3 , n=1 می باشد.

سوال 3 المپیاد جهانی 1990 - پکن ، چین ( سوال خیلی قشنگی بود )

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

m-saghaei گفت

دیگه من انقدر ها هم تعریف کردنی نیستم . شما لطف داری دوست عزیز !

m-saghaei · 1393/6/12

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

سلام
1- m و n دو عدد طبیعین که اختلافشون بیشتر از یکه. و m+n|4mn+1 ثابت کنید ب.م.م 2n-1 و 2m+1 برابر با یکه.

Dadgarnia · 1393/6/12

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

m-saghaei گفت

مثال نقض:

$m=2,n=13$

AHZolfaghari · 1393/6/12

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

m-saghaei گفت

صورت درست سوال اینه :

$m+n \vert 4mn+1 , (2m-1,2n+1)=1\Rightarrow m+1=n$

اثباتش هم به این شکل هستش :

براحتی میتونیم نتیجه بگیریم که :

$m+n \vert (2m+1)(2n+1)$

$(2m-1,2n+1)=(2m+2n,2n+1)=(m+n,2n+1)=1$

به طرز مشابه :

$(m+n,2m-1)=1$

$m+n \vert (2m+1)(2n+1)\Rightarrow m+n \vert 2m + 1 , 2n-1$

$m+n \leq 2m+1\Rightarrow n\leq m+1$

$m+n \leq 2n-1\Rightarrow m+1\leq n$

$m+1 = n$

darya.f · 1393/6/12

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

$n^{2} -2| n!$

ثابت کنىد ببنهاىت عدد طبىعى n وجود دارد که

AHZolfaghari · 1393/6/12

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

darya.f گفت

این استدلالی میخوام انجام بدم شاید زیاد مناسب نباشه اما من اول اومدم N های کوچیک رو چک کردم و به عدد خاصی نرسیدم.
بعد در پی این اومدم که

$n^2 - 2$

چند تا عامل اول گنده داشته باشه . مثلا اومدم n رو به پیمانه 17 گرفتم 6 و به پیمانه 7 گرفتم 4 .
بعد بدست اومد که n به پیمانه 119 میشه 74
بعد که چک کردم به ازای n=74 درست در میاد.
بعد دنباله

$n^2 - 2$

نوشتم و بعد دو تا از اعدادشو گرفتم ( ترجیحا عامل اول بزرگ داشته باشند ) بعد اومدم همین کارو کردم مثلاn=101 رو بدست اوردم.
به این ترتیب میشه n هایی رو دراورد به این شکل .
اما کلا باید یه کاری کنیم که

$n^2 - 2$

رو بشه تجزیه به دو تا عدد که نسبتا به هم نزدیک هستند تجزیه کرد

m-saghaei · 1393/6/12

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

AHZolfaghari گفت

.
.
.
الان راه حل تموم شده یا نه؟

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

AHZolfaghari گفت

.
.
.
الان راه حل تموم شده یا نه؟

darya.f · 1393/6/12

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

من فکر کردم مثلا جاى n ىه فرمى مثلا km ىا چىزاى اىن شکلى بزارىم که عبارت تجزىه شه,مثلا اگه به جا 2- تو سوال 1 بود 2m جواب مىداد....

AHZolfaghari · 1393/6/12

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

darya.f گفت

بله منم اون اول به سمت این کار رفتم اما نشد . شما به نتیجه ای نرسیدید ؟

ash1374 · 1393/6/12

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

راهنمایی:

$(n^{2}-n-2)^{2}-2=(n^{2}-2)(n^{2}-2n-1)$

سوالی مهم تر از راهنمایی بالا: فکر می کنید این عبارت چه جوری به ذهنم رسید؟

darya.f · 1393/6/12

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

AHZolfaghari گفت

راستش نتىجه خاصى نه ولى نظرم رو

$K t^{3}$

هاست ولى بررسى نکردم

AHZolfaghari · 1393/6/12

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

ash1374 گفت

اگه اشتباه نکرده باشم شما در پی این بودید که یه دنباله ای از اعداد بر حسب n بیابید که اولا صدق کنند دوما هر جمله بر حسب جمله قبلیش بدست بیاد مثلا ما از 74 میتونیم به 5400 برسیم

ash1374 · 1393/6/12

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

AHZolfaghari گفت

خوب آره هدف که همون تجزیه شدن اون عبارت بود. سوال اینه که چطوری یه عبارتی بدست آوردم که تجزیه بشه؟ طبیعتاً آزمون و خطا نکردم! یعنی اگه یه سوال دیگه شبیه این دیدیم چه کار کنیم. یک مثال میزنم: نشان دهید بی شمار

$n$

طبیعی وجود دارد که

$n^{2}+4$

عامل اولی بزرگتر از

$n$

ندارد.

REZA 73 · 1393/6/13

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

ash1374 گفت

اگر n به صورت

$\left ( 2s^{2}-1 \right )^{2}$

باشه در شرط مساله صدق میکنه

math1998 · 1393/6/13

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

ash1374 گفت

ببخشید نمیفهمم حالا باید چک کنیم که

$n^2-2\mid (n^2-n-2)!$

به نظرم اینم به اندازه حل صورت مسئله سخته به دلیل اینکه برای

$n$

های بزرگ هیچ چیز خوبی بهمون نمیده و کمکی نمیکنه ممکنه بیشتر توضیح بدید .
در ضمن خواهشا بگید اینا چطور به ذهنتون میرسه مثلا اون اتحادی که توی نظریه ممتاز گذاشته بودید امکان به ذهن رسیدنش وجود نداره از روش خاصی استفاده میکنید ؟!!!

REZA 73 · 1393/6/13

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

$n=2s^{2}+2s-1\Rightarrow n^{2}-2=\left ( 2s^{2}+2s \right )^{2}-\left ( 4s^{^2}+4s \right )-1$

پس : n به توان دو منهای 2 برابر است با:

$\left ( 2s^{2} +2s\right )^{^{2}}-\left (2s+1 \right )^{2}=\left ( 2s^{2}-1\left \right )\left ( 2s^{2}+4s+1 \right )\mid \left ( 2s^{2} +2s-1\right )!$

حال برای این که رابطه بالا برقرار باشه کافیه s به هنگ 7 برابر 1 باشه.در اون صورت چون دو پرانتز سمت چپ عاد کردن متباین هستند رابطه درسته.

امیدوارم تو محاسبات اشتباه نکرده باشم.

ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Well-Known Member

New Member

New Member

Well-Known Member

Well-Known Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Active Member

New Member

Active Member