ماراتن هندسه

Sharifi_M · 1394/8/14

پاسخ : ماراتن هندسه

سوال بعد:
فرض کنید که

$ABCDEF$

6 ضلعی محدبی باشد که هیچ دو ضلعی از آن موازی نباشند.
و داشته باشیم:

$\angle AF B = \angle F DE, \angle DF E = \angle BDC$

و

$\angle BFC = \angle ADF$

.
ثابت کنید خطوط

$DE,AB$

و

$FC$

همرسند اگر و تنها اگر خطوط

$BE,AF$

و

$CD$

همرس باشند.

Dadgarnia · 1394/8/17

پاسخ : ماراتن هندسه

Sharifi_M گفت

فرض می کنیم

$AB,DE,FC$

همرسند. بنابر قضیه سوا سینوسی توی مثلث

$BFD$

و برای خطوط همرس

$AB,DE,FC$

داریم:

$\frac{\sin \angle ABF}{\sin \angle ABD}\cdot \frac{\sin \angle BDE}{\sin \angle FDE}\cdot \frac{\sin \angle DFC}{\sin \angle BFC}=1$

باز هم با استفاده از قضیه سوا سینوسی توی مثلث

$BFD$

و برای خطوط همرس

$AF,AB,AD$

داریم:

$\frac{\sin \angle ABF}{\sin \angle ABD}\cdot \frac{\sin \angle ADB}{\sin \angle ADF}\cdot \frac{\sin \angle AFD}{\sin \angle AFB}=1$

با مقایسه ی دو رابطه ی بدست اومده داریم:

$\sin \angle AFD \cdot \sin \angle ADB=\sin \angle BDE \cdot \sin \angle DFC$

از طرف دیگه داریم:

$\angle AFD+\angle ADB=\angle AFC+\angle CFD+\angle ADB$

$=\angle ADE+\angle ADB+\angle CFD=\angle BDE+\angle CFD$

از دو رابطه ی بدست اومده داریم:

$\cos (\angle AFD-\angle ADB)=\cos (\angle BDE-\angle DFC)$

که نتیجه میده

$\angle AFD-\angle ADB=\angle BDE-\angle DFC$

(واضحه که

$\angle AFD-\angle ADB\neq \angle DFC-\angle BDE$

) پس

$\angle CFD=\angle BDA$

. حالا داریم:

$\frac{\sin \angle AFB}{\sin \angle AFD}\cdot \frac{\sin \angle CDF}{\sin \angle CDB}\cdot \frac{\sin \angle DBE}{\sin \angle FBE}=\frac{\sin \angle FDE}{\sin \angle EFD}\cdot \frac{\sin \angle BFE}{\sin \angle FBE}\cdot \frac{\sin \angle DBE}{\sin \angle BDE}$

$=\frac{EF}{ED}\cdot \frac{BE}{EF}\cdot \frac{ED}{BE}=1$

پس با استفاده از قضیه سوا سینوسی در مثلث

$BFD$

نتیجه می گیریم که

$AF,BE,CD$

هم همرسند و به طریق مشابه برعکس این هم ثابت میشه.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
در مثلث

$ABC$

وسط

$AC$

را

$M$

می نامیم. نقطه ی

$P$

درون مثلث

$ABC$

طوری قرار دارد که

$\angle BPC=90$

و

$\angle BAP=\angle PCB$

و

$BP=2PM$

. ثابت کنید

$AP$

از وسط

$BC$

می گذرد.

Dadgarnia · 1394/8/29

پاسخ : ماراتن هندسه

راهنمایی:

$C$

رو نسبت به

$BP$

قرینه کنید.

nsg2000gh · 1394/8/30

پاسخ : ماراتن هندسه

من از یه راه دیگه رفتم c رو نسبت به bp قرینه نکردم ولی از نظر خودم به جواب رسیدم و هم خط بودن a , p , m رو ثابت کردم به طور خلاصه میگمش به طور کلی اول از طریق یه سری برابری کمان ها در دایره ی محیطی a,b,c با امتداد دادن cp , ap و رسم قطر دایره از راس b به چهار ضلعی محاطی abqs رسیدم که q محل برخورد خط bp با مثلث و s محل برخورد قطر رسم شده از b و امتداد ap است و بعد از این قسمت محور اصلی دایره ی محیطی چهار ضلعی محاطی مورد نظر و دایره ی محیطی مثلث رو رسم کردم که براساس یه سری رابطه نتیجه گرفتم که محور اصلی مورد نظر قطر دایره ی محیطی چهار ضلعی محیطی مورد نظر است و از برابری زوایای bsq , aqs به راحتی نتیجه گرفتم که سه نقطه ی خواسته شده هم خط هستند . ( خیلی ببخشید خیلی خلاصه نوشتم فقط نتیجه گیریهامو نوشتم که اگه اشکالی هست بگید تا تصحیحش کنم )

Dadgarnia · 1394/8/30

پاسخ : ماراتن هندسه

nsg2000gh گفت

من از یه راه دیگه رفتم c رو نسبت به bp قرینه نکردم ولی از نظر خودم به جواب رسیدم و هم خط بودن a , p , m رو ثابت کردم به طور خلاصه میگمش به طور کلی اول از طریق یه سری برابری کمان ها در دایره ی محیطی a,b,c با امتداد دادن cp , ap و رسم قطر دایره از راس b به چهار ضلعی محاطی abqs رسیدم که q محل برخورد خط bp با مثلث و s محل برخورد قطر رسم شده از b و امتداد ap است و بعد از این قسمت محور اصلی دایره ی محیطی چهار ضلعی محاطی مورد نظر و دایره ی محیطی مثلث رو رسم کردم که براساس یه سری رابطه نتیجه گرفتم که محور اصلی مورد نظر قطر دایره ی محیطی چهار ضلعی محیطی مورد نظر است و از برابری زوایای bsq , aqs به راحتی نتیجه گرفتم که سه نقطه ی خواسته شده هم خط هستند . ( خیلی ببخشید خیلی خلاصه نوشتم فقط نتیجه گیریهامو نوشتم که اگه اشکالی هست بگید تا تصحیحش کنم )

$M$

وسط

$AC$

هست شما چه جوري ثابت كردين

$A,P,M$

همخطند؟

nsg2000gh · 1394/8/30

پاسخ : ماراتن هندسه

ببخشید به این دقت نکردم که m رو اونجا توی سوال به کار بردید ، منظورم وسط bc هست .

Dadgarnia · 1394/8/30

پاسخ : ماراتن هندسه

خب این یعنی شما از فرض

$BP=2PM$

هیچ استفاده ای نکردین همچنین با این نقاطی که شما اضافه کردین من راهی برای استفاده از فرض

$\angle BAP=\angle PCB$

نمی بینم اگه ممکنه راهتونو کامل بنویسید در ضمن اون راهنمایی که من کردم تقریبا سوالو بدیهی می کنه!

nsg2000gh · 1394/8/30

پاسخ : ماراتن هندسه

درسته از رابطه ی اون دو تا استفاده نکردم ولی از برابری اون دو زاویه ابتدای راهم استفاده کردم .
ببینید من اول محاطی بودن رو دلیلش رو میگم : ( محل برخورد سر دیگر قطر رسم شده از B با دایره (Q ) است محل برخورد BP با دایره N و محل برخورد CP با دایره S است و محل برخورد AP با دایره رو هم میزارم T.)
از قائمه بودن زاویه ی BAQ استفاده میکنم برای اینکه اثبات کنم کمان های QC , SN با هم برابرند که رابطه هاش برای رسیدنش سادن فقط کافیه بجای AQB زاویه ی برابر ACB را قرار دهیم و یه جا بجای مجموع pbc , pcb 90 توی رابطمون قرار بدیم و در نهایت به اینکه مجموع ABP , ACP برابر با QBC هستند میرسیم که نتیجش میشه برابریه دو کمانی که گفتم و حالا با یه نگاه ساده به شکل میشه فهمید کمان های NQ ,TC با هم برابرند پس دو زاویه ی CAP , PBQ هم با هم برابرند الان میتونیم محاطی بودن چهار ضلعی که قبلا گفتم رو ببینیم . ( البته نام گزاری هام با توضیحی که قبلا دادم فرق میکنه ) و میدونیم که زاویه ی SPB برابر 90 درجه هست و اگه اثبات کنیم APS و BPT متمم هم هستند میشه گفت اون سه نقطه همرس هستند که این رابطه هم از روی کمان های برابر روی دایره ی محیطیمون خیلی ساده بدست میاد . ( فقط قبلش من چهار ضلعیه محاطی رو اثبات کردم تا بتونم از محل برخورد قطراش و متقابل به راس بودنشون برای قسمت آخر استفاده کنم )
میشه شما هم راه حل خودتون رو از راه قرینه کردن بزارید ؟

Dadgarnia · 1394/8/30

پاسخ : ماراتن هندسه

ببينيد فرض

$BP=2PM$

رو كه از سوال حذف كنيم سوال غلط ميشه! بعدشم شما آخر اثباتتون گفتيد كه اگه ثابت كنيم

$\angle APS+\angle BPT=90$

حكم اثبات ميشه اما اين با توجه به رابطه

$90=\angle BPC=\angle SPB$

بديهيه يعني حتي شما از فرض

$\angle BAP=\angle PCB$

هم استفاده نكردين در ضمن اينكه اين دو تا زاويه متممن چه ربطي به اين داره كه

$AP$

از وسط

$BC$

ميگذره؟
خير نميشه :71:

nsg2000gh · 1394/9/1

پاسخ : ماراتن هندسه

موضوع اولتون رو کاملا قبول دارم ولی چیزی که بعدش مطرح کردید رو اصلا اگه بخوایم از این ارتباط طول ها استفاده کنیم دقیقا چجوری میشه آوردش توی راهی که با زاویه سروکار داره ؟ میشه شما راه خودتون با قرینه رو بزارید لطفا ؟؟؟

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

اگه بخوایم از راه قرینه کردن بریم میتونیم بگیم از قرینه کردن C یه چهار ضلعی محاطی به وجود میاد که زوایای رو به رو به ضلع C'B قائمه هستند و با رسم میانه ی نظیر میشه نتیجه گرفت که از هم خط بودن M,P,قرینه ی M' و همچنین نسبت این دو به یکدیگر که 2/3 است این یک میانه است و p مرکز ثقل مثلث M"ACاست و سپس از برابری زاوایا با استفاده از چهار ضلعی محاطی و میانه های رسم شده بر وتر میشه در نهایت با قضیه ی تالس ثابت کرد امتداد میانه ی M"C بر وسط BC برخورد میکند . فکر کنم این جوری باشه .

Dadgarnia · 1394/9/1

پاسخ : ماراتن هندسه

راهتونو نفهمیدم ولی چیزی که فهمیدم اینه که شما نقطه های زیادی رو بدون علت خاصی به شکل اضافه می کنید که فقط شما رو تو سوال گم می کنه و سوال رو هم حل نمی کنه.
در مورد اون سوالتون که گفتید چه جوری میشه طول ها رو به زاویه ها ربط داد هم جوابش واضحه که با تشابه یا راه های محاسباتی. فکر می کنم زیادی دیگه روی این سوال نسبتا آسون بحث شده و خودم دیگه جوابشو میذارم:
قرینه ی

$C$

نسبت به

$BP$

رو

$C'$

می نامیم. چون

$\angle BAP=\angle PCB=\angle BC'P$

نتیجه می گیریم که چهار ضلعی

$AC'BP$

محاطیه و چون

$M,P$

وسط های

$AC,CC'$

هستند طبق تالس نتیجه می گیریم که

$BP=2PM=AC'$

پس

$AP\parallel BC'$

. حالا اگه

$AP$

رو امتداد بدیم تا

$BC$

رو توی

$N$

قطع کنه چون

$PN\parallel BC'$

و

$P$

وسط

$CC'$

هست نتیجه می گیریم

$N$

هم وسط

$BC$

هست.
سوال بعد:
در مثلث

$ABC$

نقاط

$E,F$

به ترتیب روی

$AC,AB$

قرار دارند به طوریکه

$BF=CE$

. اگر

$M,N$

اوساط

$EF,BC$

باشند ثابت کنید

$MN$

موازی با نیمساز راس

$A$

است.

Arian Etemadi · 1394/9/25

پاسخ : ماراتن هندسه

B رو نسبت به m قرینه می کنیم تا p به دست آید. Pc با mn موازی میشه و pe با bf موازی میشه.همچنین pe=ec .
Aep=a. پس cpe=a/2 پس pc با نیمساز زاویه a موازیه. پس mn هم با نیمساز زاویه a موازیه.

سوال بعد(خیلی قشنگه)
مثلث abc مفروض است.نقاط دلخواه x,y,z را به ترتیب روی اضلاع bc,ca,ab انتخاب می کنیم. ثابت کنید ممکن نیست مساحت مثلث xyz از مساحت هم ayz هم bxz و هم cxy کمتر شود.

Dadgarnia · 1394/10/3

پاسخ : ماراتن هندسه

وسط اضلاع

$BC,CA,AB$

رو به ترتیب

$M,N,P$

و مرکز دایره محیطی مثلث رو

$O$

می نامیم. اول ثابت می کنیم اگه نقاط

$X,Y,Z$

و

$M,N,P$

به صورت یه در میون روی اضلاع مثلث قرار نگرفته باشند حکم برقراره. بنابر تقارن می تونیم فرض کنیم

$AP\geq AZ,AN\geq AY$

و فاصله ی

$Y$

تا

$BC$

کوچکتر یا مساوی فاصله

$Z$

تا

$BC$

باشه. اگه

$Y,Z$

رو ثابت فرض کنیم واضحه که حداقل مساحت مثلث

$XYZ$

وقتی اتفاق می افته که

$X$

روی

$C$

قرار بگیره حالا داریم که مساخت مثلث AYZ بیشتر از مساحت مثلث CYZ هست پس AY بیشتر از CY هست که تناقضه. حالا فرض می کنیم نقاط

$X,Y,Z$

و

$M,N,P$

به صورت یه در میون روی اضلاع مثلث قرار گرفته باشند. بنابر تقارن فرض می کنیم

$\angle ZOP\geq \angle YON$

. حالا نقطه ی

$K$

رو روی

$ZP$

طوری انتخاب می کنیم که

$\angle KOP=\angle YON$

در اینصورت بدست میاد که دو مثلث

$KOP,YON$

متشابه اند در نتیجه دو مثلث

$KOY,PON$

هم متشابه اند حالا داریم:

$\frac{KY}{PN}=\frac{KO}{PO}\geq 1\Rightarrow KY \geq PN$

حالا واضحه که

$\angle ZKY\geq 90$

پس

$YZ\geq KY\geq NP$

. اگه همینو برای بقیه اضلاع هم بنویسیم بدست میاد

$S_{XYZ}\geq S_{MNP}=\frac{1}{4}S_{ABC}$

که تناقضه.
درسته؟ :7:

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

اگه درسته اینم سوال بعد:
دو دایره

$\omega,\Omega$

در دو نقطه

$A,B$

با هم برخورد می کنند. وسط کمان

$AB$

از دایره

$\omega$

(کمانی که داخل دایره

$\Omega$

هست) را

$M$

می نامیم.

$P$

نقطه ای دلخواه روی

$\omega$

است.

$PM$

دایره

$\Omega$

را در

$Q$

قطع می کند به طوریکه

$Q$

داخل دایره

$\omega$

باشد. اگر خط مماس در نقطه

$P$

بر دایره

$\omega$

را

$\ell_P$

و خط مماس در نقطه

$Q$

بر دایره

$\Omega$

را

$\ell_Q$

بنامیم ثابت کنید دایره محیطی مثلثی که با خطوط

$AB,\ell_P,\ell_Q$

ساخته می شود بر دایره

$\Omega$

مماس است.

Arian Etemadi · 1394/10/3

پاسخ : ماراتن هندسه

ببخشید آخرش رو نفهمیدم. چرا zky بیشتر از نوده. و اینکه چجوری از این که هر ضلع مثلث xyz از یه ضلع مثلث pmn بیشتره نتیجه میگیریم مساحتش هم بیشتره؟

Dadgarnia · 1394/10/12

پاسخ : ماراتن هندسه

حق با شماست. با این روش فقط میشه ثابت کرد یکی از اضلاع مثلث

$XYZ$

بیشتر از یکی از اضلاع مثلث

$MNP$

هست. این دیگه فکر کنم درست باشه:
حالت اول که مشابه قبل ثابت میشه. فرض می کنیم اگه از

$A$

شروع کنیم و در جهت عقربه های ساعت روی اضلاع مثلث حر کت کنیم به ترتیب به نقاط

$A,Y,N,C,X,M,B,Z,P$

برسیم. هدف اینه که مینیمم مقدار مساحت مثلث

$XYZ$

رو حساب کنیم (با شرایطی که گذاشتیم). چون

$Z$

نسبت به

$Y$

به

$BC$

نزدیک تره هر چی

$X$

به

$M$

نزدیک تر باشه مساحت مثلث

$XYZ$

کمتر میشه و اگه همینو برای

$Y$

هم بگیم بدست میاد

$S_{XYZ}\geq S_{MNZ}=\frac{1}{4}S_{ABC}$

پس حکم ثابت میشه.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد رو دوباره میذارم:
دو دایره

$\omega,\Omega$

در دو نقطه

$A,B$

با هم برخورد می کنند. وسط کمان

$AB$

از دایره

$\omega$

(کمانی که داخل دایره

$\Omega$

هست) را

$M$

می نامیم.

$P$

نقطه ای دلخواه روی

$\omega$

است.

$PM$

دایره

$\Omega$

را در

$Q$

قطع می کند به طوریکه

$Q$

داخل دایره

$\omega$

باشد. اگر خط مماس در نقطه

$P$

بر دایره

$\omega$

را

$\ell_P$

و خط مماس در نقطه

$Q$

بر دایره

$\Omega$

را

$\ell_Q$

بنامیم ثابت کنید دایره محیطی مثلثی که با خطوط

$AB,\ell_P,\ell_Q$

ساخته می شود بر دایره

$\Omega$

مماس است.

Dadgarnia · 1394/10/22

پاسخ : ماراتن هندسه

راهنمایی برای سوال قبل:
محل برخورد

$\ell_P,AB$

را

$X$

و

$PQ,\Omega$

را

$R$

بنامید. محل برخورد

$RX$

و

$\Omega$

همان نقطه مماس است.

nsg2000gh · 1394/10/23

پاسخ : ماراتن هندسه

من به این نتیجه رسیده بودم ولی هنوز به جواب آخر نرسیدم

Dadgarnia · 1394/10/23

پاسخ : ماراتن هندسه

راه حل سوال قبل:
راه خودم با تعمیم بطلمیوس بود که اینجوریه:
محل تقاطع

$AB,PQ$

رو

$R$

و

$\ell_P,AB$

رو

$X$

و

$\ell_{Q},AB$

رو

$Y$

و

$\ell_{P},\ell_Q$

رو

$Z$

می نامیم. باید ثابت کنیم:

$XP\cdot YZ=YQ\cdot ZX+ZQ \cdot XY$

$\Leftrightarrow XP(ZQ-YQ)=YQ(ZP-XP)+ZQ(XA-YA)$

$YQ\cdot ZP=ZQ(XP+AY-XA)$

حالا دقت کنید که

$\angle XRP=\frac{\widehat{AP}+\widehat{BM}}{2}=\frac{\widehat{AP}+\widehat{AM}}{2}=\angle XPR\Rightarrow XP-XA=AR$

$\Leftrightarrow YQ\cdot ZP=ZQ(AY+AR)=ZQ\cdot YR\Leftrightarrow \frac{YQ}{YR}=\frac{ZQ}{ZP}$

رابطه آخر هم بنابر قضیه سینوس ها توی مثلث های

$YQR,ZQP$

برقراره پس حکم ثابت شد.
راه های دیگه رو هم می تونید از اینجا ببینید: Community - Art of Problem Solving
سوال بعد:
در مثلث

$ABC$

مرکز ارتفاعی را

$H$

و پای ارتفاع راس

$A$

را

$D$

می نامیم. فرض کنید دایره به قطر

$AH$

دایره محیطی مثلث را برای بار دوم در

$E$

و

$DE$

نیز دایره محیطی

$ABC$

را در

$F$

قطع کند. ثابت کنید

$AF$

و مماس هایی که از

$B,C$

بر دایره محیطی

$ABC$

رسم می شوند همرسند.

Sharifi_M · 1394/10/24

پاسخ : ماراتن هندسه

Dadgarnia گفت

فرض کنید

$AA'$

قطر دایره محیطی مثلث و

$O$

مرکز این دایره باشه و

$M$

وسط ضلع

$AB$

.
ابتدا ثابت میکنیم که نقاط

$E,H,M,A'$

هم خطند.

$AEH=90^{\circ}$

و از طرفی

$AEA'=90^{\circ}$

پس

$E,H,A'$

همخطند.
برای اثبات اینکه M روی این خطه محل برخورد AO و HM رو A" در نظر بگیرید.

$OM ||AH\Rightarrow \frac{A''O}{A''A}=\frac{OM}{AH}=\frac{1}{2}$

پس A'' روی دایره محیطیه و پس بر A' منطبقه.

$MEA=90^{\circ}=MDA$

پس

$MDEA$

محاطیه.

$MAD=MED=A'EF=A'AF\Rightarrow MAD=A'AF$

$DAB=90^{\circ}-B=90^{\circ}-AA'C=CAA'\Rightarrow DAB=CAA'$

از این دوتا خواهیم داشت:

$MAD+DAB=FAA'+A'AC\Rightarrow MAB=FAC$

پس AF میانه متقارنه
پس طبق لمی

-") که اثباتش با قضیه سینوسا سخت نیست با مماس های وارد بر دایره محیطی از نقطه های B و C همرسه.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
مثلث ABC مفروض است. نقاط
M روی AB
N روی BC
P روی AC
قرار دارند به طوری که

$2\frac{CN}{BC}=\frac{AM}{AB}$

و MN بر NP عموده
ثابت کنید که PN نیمساز زاویه MPC است.

Dadgarnia · 1394/10/24

پاسخ : ماراتن هندسه

Sharifi_M گفت

$MN$

رو امتداد میدیم تا

$AC$

رو توی

$K$

قطع کنه و قرینه ی

$C$

نسبت به

$N$

رو

$L$

می نامیم. حالا چون

$\frac{CL}{BC}=\frac{AM}{AB}$

خط

$ML$

با

$AC$

موازیه و چون

$N$

هم وسط

$CL$

هست چهارضلعی

$MCKL$

متوازی الاضلاع هست در نتیجه

$N$

وسط

$MK$

هم هست که حکمو نتیجه میده :4:

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
مربع های

$CAKL,CBMN$

روی اضلاع مثلث حاده الزاویه

$ABC$

و خارج از آن ساخته شده اند.

$CN$

با

$AK$

در

$X$

و

$CL$

با

$BM$

در

$Y$

برخورد می کنند.

$P$

نقطه ای است داخل مثلث و روی دوایر محیطی مثلث های

$KXN,LYM$

. اگر

$S$

وسط

$AB$

باشد ثابت کنید

$\angle ACS=\angle BCP$

.

ماراتن هندسه

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member