ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

AHZolfaghari · 1393/7/24

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

math1998 گفت

سوال جایی نیست !!! سوالی هست که طرح یک دانش آموز هستش !! حلشو بلد نیستم خودم .تو مث لینکس هم گذاشتم تقریبا 400-500 view داشته اما کسی جوابشو نذاشته . هرچند چندبار اونجا گفتم که بیاید جواب بدید و من نیاز به جواب این سوال دارم و ... اما کسی بلد نبوده !!

darya.f · 1393/7/25

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

AHZolfaghari گفت

ىکم فرصت بدىن...فک کردم..ىه چزاى خوبى درومده..اىشالا که حل شه؛)

Dadgarnia · 1393/7/29

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

همونطور که آقای ذوالفقاری فرموده بودند سوالشون تاپیک رو خوابوند. حالا من سوال بعد رو میذارم هر کی سوال ایشون رو حل کرد جوابش رو همین جا بنویسه:
تمام چند جمله ای های

$P(x)$

را بیابید به طوریکه برای هر

$x\in \mathbb{Z}$

داشته باشیم:

$(x-2010)P(x+67)=xP(x)$

AHZolfaghari · 1393/8/1

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

اون سوالی که من گذاشتم صورت درست طرف چپش اینه :
f(x^3) + f(y^3) = s
در واقع منظورم این بود .
هرچند ظاهرا این سوالی هم که من به اشتباه گذاشتم هم میتونه سوال خوبی برای تفکر باشه !!

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

اون سوالی که من گذاشتم صورت درست طرف چپش اینه :
f(x^3) + f(y^3) = s
در واقع منظورم این بود .
هرچند ظاهرا این سوالی هم که من به اشتباه گذاشتم هم میتونه سوال خوبی برای تفکر باشه !!

aras2213 · 1393/8/6

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

اول اگه 2010 رو تو معادله قرار بدیم نتیجه میشه که

$P(2010)= 0$

،از طرفی اگه 67-2010 رو قرار بدیم نتییجه میشه

$P(2010-67)= 0$

.همجین جور ادامه میدیم چون

$2010=67\times 30$

پس

$P(x)=(x-67)(x-2\times 67)...(x-30\times 67)Q(x)$

.با جایگذاری

$Q(x)=Q(x+67)\Rightarrow Q(x)=c$

.پس

$P(x)=c(x-67)...(x-30\times 67)$

.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:

و

دو چندجمله ای تکین با ضرایب حقیقی هستند و

.نشان دهید اگر معادله ی

هیچ جوابی در اعداد حقیقی نداشته باشد آن گاه معادله

حداقل یک جواب حقیقی دارد.

Dadgarnia · 1393/8/6

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

aras2213 گفت

فرض مي كنيم

$P(x)=x^{10}+\sum_{i=0}^{9}a_ix^i,Q(x)=x^{10}+\sum_{i=0}^{9}b_ix^i,R(x)=\sum_{i=0}^{9}(a_i-b_i)x^i$

با توجه به فرض سوال مي دونيم كه

$R(x)$

هيچ ريشه ي حقيقي نداره پس درجه اش بايد زوج باشه و داريم

$a_9=b_9$

. حالا اگه تعريف كنيم

$S(x)=P(x+1)-Q(x-1)=\sum_{i=0}^{9}c_ix^i$

به راحتي مي توانيم بدست بياريم

$c_9=20$

پس

$S(x)$

يه چند جمله اي از درجه ي فرده و با توجه به قضيه ي مقدار مياني حداقل يه ريشه ي حقيقي داره و چيزي كه مي خواستيم ثابت شد.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
تمام چند جمله اي هاي با ضرايب حقيقي را بيابيد كه داشته باشيم

$(x^2-6x+8)P(x)=(x^2+2x)P(x-2)$

math1998 · 1393/8/6

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

$(x-4)(x-2)p(x)=x(x+2)p(x-2)\overset{x=0}{\rightarrow}p(0)=0$

$x=4\Rightarrow p(2)=0,x=-2\Rightarrow p(-2)=0\Rightarrow p(x)=x(x-2)(x+2)Q(x)$

$\Rightarrow (x-4)(x-2)^2(x+2)(x)Q(x)=x^2(x+2)(x-2)(x-4)Q(x-2)\Rightarrow (x-2)Q(x)=xQ(x-2)\Rightarrow Q(x)=xt(x)\Rightarrow t(x)=t(x-2)=c$

$p(x)=cx^2(x-2)(x+2)$

سوال بعد : اگر

$a,b,c\in \mathbb{R}^{+}$

ثابت کنید :

$\frac{1}{a\left(b+1\right)}+\frac{1}{b\left(c+1\right)}+\frac{1}{c\left(a+1\right)}\geq\frac{3}{1+abc}$

Dadgarnia · 1393/8/6

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

math1998 گفت

داريم:

$\sum \frac{a+1+ab(c+1)}{ab+a}=\sum (\frac{a+1}{ab+a}+\frac{a(b+1)}{a+1})\geq 6$

Dadgarnia · 1393/8/7

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

سوال بعد:
تمام توابع

$f,g:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$

را بيابيد به طوريكه براي هر

$x,y\in \mathbb{R}$

داشته باشيم:

$f(x)f(y)=g(x)g(y)+g(x)+g(y)$

math1998 · 1393/8/7

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

$g(0)=a,f(0)=c$

$p(x,x)\Rightarrow f(x)^2=g(x)^2+2g(x)\Rightarrow c^2=a^2+2a$

$p(x,0)\Rightarrow (cf(x))^2=(ag(x)+g(x)+a)^2=((a^2+2a)(g(x)^2+2g(x))^2$

پس از ساده سازی و تشکیل معادله درجه 2

$g(x)^2+(2a^2-4a)g(x)+a^2=0\Rightarrow g(x)=s\Rightarrow f(x)=s^2+2s$

Dadgarnia · 1393/8/7

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

math1998 گفت

توي خط سوم يه اشتباهي كردين درستش اينه

$(ag(x)+g(x)+a)^2=(a^2+2a)(g(x)^2+g(x))$

و جواب آخرتون هم اشتباهه.

math1998 · 1393/8/7

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

بله اینجا حواسم نبود اما در کل من دوبار جوابو حساب کردم

$g(x)$

بر حسب

$g(0)$

بدست میاد!!!!

Dadgarnia · 1393/8/7

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

math1998 گفت

بله درسته و بقيه اش ديگه آسونه ولي جوابش ميشه

$f(x)=c$

و براي g هم دو تا جواب بدست مياد

$g(x)=-1\pm \sqrt{c^2+1}$

math1998 · 1393/8/7

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

اره خوب درسته منم منظورم همین بود فقط دیگه معادله درجه 2 رو حساب نکردم اما در کل منظورم تابع ثابت بود!!!!

Dadgarnia · 1393/8/7

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

سوال بعد:
ثابت كنيد

$(x^2+x)^{2^n}+1$

تجزيه ناپذيره براي هر n بزرگتر يا مساوي صفر.

aras2213 · 1393/8/8

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

فرض کنید که

$f(x)=h(x)g(x)$

.حالا این معادله رو به پیمانه 2 نگاه کنید.چون که

$(x^2+x)^{2^n}+1\equiv (x^2+x+1)^{2^n}(mod 2)$

پس بدست میاد که

$(x^2+x+1)^{2^n}=\overline{h}(x).\overline{g}(x)$

.حالا چون عبارت داخل پرانتز تحویل ناپذیره،

$\overline{h}(x)=(x^2+x+1)^{2^n-\alpha },\overline{g}(x)=(x^2+x+1)^{\alpha }$

.

در نتیجه

$h(x)=(x^2+x+1)^{2^n-\alpha }+2P(x),g(x)=(x^2+x+1)^{\alpha }+2Q(x)$

.

پس

$f(x)=((x^2+x+1)^{2^n-\alpha }+2P(x))((x^2+x+1)^{\alpha }+2Q(x))$

.حالا اگه

$w ^2+w +1=0$

،

$f(w)=4P(w)Q(w)\Rightarrow P(w)Q(w)=\frac{1}{2}$

.اما P,Q

دارای ضرایبی صحیح هستند پس

$P(w)Q(w)$

به شکل

$a+bw$

هست ولی 1/2 این جوری نیست.

Dadgarnia · 1393/8/9

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

aras2213 گفت

فرض کنید که

$f(x)=h(x)g(x)$

.حالا این معادله رو به پیمانه 2 نگاه کنید.چون که

$(x^2+x)^{2^n}+1\equiv (x^2+x+1)^{2^n}(mod 2)$

پس بدست میاد که

$(x^2+x+1)^{2^n}=\overline{h}(x).\overline{g}(x)$

.حالا چون عبارت داخل پرانتز تحویل ناپذیره،

$\overline{h}(x)=(x^2+x+1)^{2^n-\alpha },\overline{g}(x)=(x^2+x+1)^{\alpha }$

.

در نتیجه

$h(x)=(x^2+x+1)^{2^n-\alpha }+2P(x),g(x)=(x^2+x+1)^{\alpha }+2Q(x)$

.

پس

$f(x)=((x^2+x+1)^{2^n-\alpha }+2P(x))((x^2+x+1)^{\alpha }+2Q(x))$

.حالا اگه

$w ^2+w +1=0$

،

$f(w)=4P(w)Q(w)\Rightarrow P(w)Q(w)=\frac{1}{2}$

.اما P,Q

دارای ضرایبی صحیح هستند پس

$P(w)Q(w)$

به شکل

$a+bw$

هست ولی 1/2 این جوری نیست.

$\overline{g}(x)$

يعني چي و چه خواصي داره؟

aras2213 · 1393/8/9

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

سوال خوبیه:4

من هم اولین بار که دیدم اینا رو نفهمیدم، بعد از استاد شاولی پرسیدم توضیح دادند برام)
همون

$g(x)$

که ضرایبش به پیمانه 2 حساب میشن.مثلا اگر

$g(x)= 10x^3+5x+1$

، اون وقت

$\overline{g}(x)$

برابر با

$x+1$

میشه.حالا خاصیت مهم این کاری که ما انجام میدیم اینه که اگه معادله

$f(x)=h(x)g(x)$

برقرار باشه اون وقت اگر دو طرف معادله رو به پیمانه p اول نگاه کنیم باز هم معادله برقراره.
برای مثال لم آیزنشتاین رو میتونید این جوری ثابت کنید.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:نشان دهید چندجمله ایه

$f(x)=x^m(x-a)^n+p$

که p عددی اول است و

$p< a-1$

تحویل ناپذیر است.

Dadgarnia · 1393/9/23

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

aras2213 گفت

نمي دونم راهم درسته يا نه همچنين از يكي از فرض هاي سوال هم استفاده نكردم ولي مي نويسم تا تاپيك بالا بياد.
فرض مي كنيم چند جمله اي هاي صحيح الضرايب

$g,h$

موجود باشند كه

$f(x)=g(x)h(x)$

پس داريم (اين نمادي كه در ادامه مشاهده خواهيد كرد ابداعي خودمه :4: فكر مي كنم معنا و مفهومش با توجه به پست آقا ارس مشخص باشه ولي اگه نفهميدن مي تونم همينجا بنويسم):

$\overset{\underline{p}}{g}(x)\overset{\underline{p}}{h}(x)=x^m(x-a)^n$

پس اعداد صحيح نامنفي

$\alpha,\beta$

و چند جمله اي هاي صحيح الضرايب

$P,Q$

وجود دارند كه:

$g(x)=x^\alpha(x-a)^\beta+pP(x),h(x)=x^{m-\alpha}(x-a)^{n-\beta}+pQ(x)$

مي دونيم كه

$g(a)\neq 0$

پس

$P(a)\neq 0$

. اگر

$\alpha,\beta> 0$

باشند با جايگذاري اين روابط در صورت سوال داريم:

$p^2P(a)Q(a)=p\Rightarrow P(a)Q(a)=\frac{1}{p}$

حالا بنابر تقارن فرض مي كنيم

$\beta$

صفر باشه و

$\alpha<m$

در اين حالت داريم:

$P(0)Q(0)=\frac{1}{p}$

پس

$\alpha=m$

هست. با جايگذاري توي صورت سوال داريم:

$a^mP(a)=-pP(a)Q(a)\Rightarrow a^m=-pQ(a)\Rightarrow p|a$

حالا با بررسي شرايط لم آيزنشتاين مي تونيم ببينيم كه اين چند جمله اي تحويل نا پذيره.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

اگه درسته اينم سوال بعد:
تمام توابع

$f:\Bbb{R}\rightarrow \Bbb{R}$

را بيابيد به طوريكه براي هر

$x,y\in \Bbb{R}$

داشته باشيم:

$f(xf(y)+f(x))=2f(x)+xy$

aras2213 · 1393/9/24

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

ابتدا f پوشا و یک به یک است.پس u وجود دارد که f(u)=0 .در این صورت:

$P(u,y)\rightarrow f(uf(y))=uy\overset{if u\neq 0,y=0}{\rightarrow}f(uf(0))=0\overset{1-1}{\rightarrow}uf(0)=u\rightarrow f(0)=1$

حالا

$P(-1,-1)\rightarrow f(0)=2f(-1)+1\rightarrow f(-1)=0$

.از طرفی

$P(-1,y)\rightarrow f(-f(y))=-y,P(x,-1)\rightarrow f(f(x))=2f(x)-x$

که از مقایسه

این دو داریم:

$f(x)=2x+f(-x)$

.همچنین از مقایسه این دو

$\left\{\begin{matrix} P(x,0)\rightarrow f(x+f(x))=2f(x)\\ P(-1,-2f(x))\rightarrow f(-f(-2f(x)))=2f(x) \end{matrix}\right.$

و با توجه به 1-1 بودن نتیجه میشود که

$-f(-2f(x))=x+f(x)\rightarrow f(2f(x))=3f(x)-x\overset{x \mapsto -f(x)}{\rightarrow}f(-2x)=-3x+f(x)\overset{x \mapsto -x }{\rightarrow}f(2x)=3x+f(-x)$

حالا داریم

$f(2x)=4x+f(-2x)$

.از مقایسه این با قبلی نتیجه میشه که

$x+f(x)=f(2x)$

.

$P(x,-2)\rightarrow f(f(x)-x)=2(f(x)-x)$

.حالا برای

عدد حقیقی و دلخواه x_0 با توجه به پوشا بودن f ، عددی مثل y وجود دارد که

$f(2y)=f(x_0)-x_0$

.در این صورت

$f(f(2y))=2f(2y)$

. از طرفی

$P(x,0)\rightarrow f(x+f(x))=2f(x)\rightarrow f(f(2x))=2f(x)$

.با مقایسه این با قبلی نتیجه میشه که

$f(2y)=f(y)\rightarrow y=0\rightarrow f(x_0)-x_0=1\rightarrow f(x)=x+1$

.
اگر هم

$u=0$

باشد در این صورت نتیجه میشود

$f(x)=2x$

که جواب نیست.پس تنها جواب

$f(x)=x+1$

است.

آیا جوب داره؟:223:

ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Well-Known Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member