ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

maspo · 1393/3/30

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

دو تا راه حل دراین لینکAoPS Forum - Find all polynomials • Art of Problem Solving هست که دومی بهتره .اما یک راه حل دیگه خودم دارم که فکر میکنم ایدش جالبتره.اول فرض کنیم درجه(p(X بزرگتر یا مساوی 2 باشد و

$deg(p(x))=n$

در این صورت اگر از طرفین مشتق بگیریم ساده کنیم به این میرسیم

${p}'(p(x)+x)={p}'(p(x))$

. حالا تعریف میکنیم :

$g(x)={p}'(x)-{p}'(0)$

.امادرجه این عبارت برابر با n-1 است پس حداکثر n-1 ریشه دارد اما دقت کنید اگر

$p(x)=0$

انگاه

$g(x)=0$

پس تعداد ریشه های

$g(x)$

حداقل n است و این تناقض است پس درجه (p(X برابر 1یا0 است واگر

$p(x)=ax+b$

را قرار دهیم تمام توابع به شکل

$p(x)=ax$

جواب است.
سوال بعد:فرض کنید m,n اعدادی طبیعی باشند و

$p(x),q(x),r(x)$

چندجمله ای هایی با ضرایب حقیقی باشند و (p(x نزولی باشد و برای هر x عضو R:

$p(q(nx+m)+h(x))=n(q(p(x))+h(x))+m$

ثابت کنید که

$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$

وجود ندارد طوری که برای هر x عضو R داشته باشیم :

$f(q(p(x))+h(x))=f(x)^{2}+1$

Dadgarnia · 1393/4/25

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

maspo گفت

AoPS Forum - hard question 3 • Art of Problem Solving
سوال بعد رو لطفا يكي از دوستان بذاره.

AHZolfaghari · 1393/6/1

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

حقیقتش من تصور نمی کردم بچه های تشنه فعالیت هستند در سایت !!! به خاطر همین در چند جا هم گفته بودم که دیگه قسمت ریاضی از رونق افتاده !
اما دیروز که یکی از رفقا دو تاپیک ماراتن جبر و اعداد گذاشتند خیلی خوب استقبال شد هرچند جناب math بستند و صدالبته به حق هم بستند !
اما ادامش اینجا باشه که به قوانین هم عمل بشه دیگه ! فقط اینکه سوال ها خیلی سنگین نباشه در حد مرحله دو یا یه خرده بیشتر باشه بهتره تا آمادگی مرحله دو رو ایجاد کنه در بچه ها !
شاید مثل قدیما نشه ، اما میشه به یه جایی خوبی رسوند ! اگه این عطش در درون همه باقی بمونه ! به امید خدا یاعلی استارت کار رو بزنیم !

ash1374 · 1393/6/2

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

تمام توابع

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

رو بیابید که برای هر دو عدد

$x$

و

$y$

طبیعی:

$f(xf(x)+f(y))=y+f(x)^{2}$

باشد که استقبال کنند...

math · 1393/6/2

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

ash1374 گفت

راه حل :

فرض کنید

$P(x,y)$

بیانگر رابطه ی بالا باشد .

با توجه به

$P(x,y-f(x)^{2})$

داریم که تابع مساله پوشاست . پس در مقداری مانند V مقدار ان صفر میشود . حال داریم :

$P(v,x)\Rightarrow f(f(x))=x$

حال داریم :

$P(x,y)-P(f(x),y): \: f(x)^{2}=x^{2}$

که چک کردن جواب های مساله کاری است بسیار مهم و آسان ! ( حواستون باشه که f تابع هستش و میتونه یه جاهایی مثبت و یه جاهایی منفی بشه . ) :3:

سوال بعدی :

فرض کنید n یک عدد طبیعی زوج است . فرض کنید

$c_{1},...,c_{n-1}\in \mathbb{R}$

هستند به طوری که :

$\sum_{i=1}^{n-1}\left | c_{i} -1\right |< 1$

ثابت کنید چند جمله ای :

$2x^n-c_{n-1}x^{n-1}+c_{n-2}x^{n-2}-\dots-c_1x^1+2$

ریشه حقیقی ندارد . :3:

AHZolfaghari · 1393/6/3

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

math گفت

راه حل :

فرض کنید

$P(x,y)$

بیانگر رابطه ی بالا باشد .

با توجه به

$P(x,y-f(x)^{2})$

داریم که تابع مساله پوشاست . پس در مقداری مانند V مقدار ان صفر میشود . حال داریم :

$P(v,x)\Rightarrow f(f(x))=x$

حال داریم :

$P(x,y)-P(f(x),y): \: f(x)^{2}=x^{2}$

که چک کردن جواب های مساله کاری است بسیار مهم و آسان ! ( حواستون باشه که f تابع هستش و میتونه یه جاهایی مثبت و یه جاهایی منفی بشه . ) :3:

سوال بعدی :

فرض کنید n یک عدد طبیعی زوج است . فرض کنید

$c_{1},...,c_{n-1}\in \mathbb{R}$

هستند به طوری که :

$\sum_{i=1}^{n-1}\left | c_{i} -1\right |< 1$

ثابت کنید چند جمله ای :

$2x^n-c_{n-1}x^{n-1}+c_{n-2}x^{n-2}-\dots-c_1x^1+2$

ریشه حقیقی ندارد . :3:

https://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=36&t=587303&hilit=USA+TST+2014

Dadgarnia · 1393/6/5

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

سوال بعد:
تمام توابع

$f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$

را بیابید به طوری که برای هر

$x,y \in \mathbb{R}$

داشته باشیم:

$f(x^2+f(y))=y+f(x)^2$

math · 1393/6/5

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

فرض کنید :

$P(x,y)$

بیانگر رابطه ی بالا باشد .

$P(x,y-f(x)^{2}): f(....)=y$

پس تابع مساله پوشاست . پس در یک مقداری مانند v مقدارش برابر 0 میشود . به راحتی می تونید ببینید که این مقدار v همان صفر است . حال سعی کنید لم مهم زیر را حل کنید :

اگر تابع

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

و جمعی باشد و به ازای مقادیر مثبت مثبت باشد انگاه ضریبی از تابع همانی است .

حال سعی کنید ثابت کنید که f جمعی است و چون به ازای مقادیر مثبت ، مثبت میشود طبق لم بالا ضریبی از تابع همانی است .

چون این صحبت های من راهنمایی بود من سوالی نمیزارم . هرکی سوال رو به طور کامل حل کرد سوال بعد رو هم بزاره . :3:

math1998 · 1393/6/5

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

$f(0)=c\Rightarrow f(f(y))=y+c^2{\color{Red} (1)}$

$p(x,0)\Rightarrow f(x^2+c)=f(x)^2{\color{Red} (2)}\Rightarrow f(c)=c^2{\color{Red} (3)}$

${\color{Red} (2),(3)}\Rightarrow f(x^2+c)+c^2=f(x)^2+f(c)\Rightarrow f(f(x^2+c)+c^2)=f(f(x)^2+f(c))\Rightarrow c^2+c+x^2=c+(x+c)^2\Rightarrow c=0\Rightarrow f(x^2)=f(x)^2,f(f(x))=x\Rightarrow f(x+y)=f(x)+f(y)\Rightarrow f(x)=ax,f(f(x))=a^2x=x\Rightarrow a^2=1$

اما چون تابع صعودی است نمیتواند x- باشد پس

$f(x)=x$

ثابت کنید چندجمله ای

$p(x)=1+\sum_{i=1}^{n}\frac{x^i}{i!}$

ریشه ی تکراری ندارد .

math · 1393/6/5

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

math1998 گفت

از قضیه زیر استفاده کنید .

اگر p ریشه مکرر داشته باشد ریشه ای مشترک با مشتقش دارد !

لم بالا مساله رو پودر میکنه !

Dadgarnia · 1393/6/5

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

math1998 گفت

با راهنمایی جناب math به راحتی حل می شود. اگر

$\alpha$

ریشه ای مکرر از p باشد با توجه به اینکه

$p(x)=p'(x)+\frac{x^n}{n!}$

باید داشته باشیم

$\alpha =0$

اما

$p(0)=1$

سوال بعد:
اگر برای

$1\leq i\leq n$

،

$x_iy_i-z_i^2> 0$

و

$x_i,y_i> 0$

ثابت کنید:

$\frac{n^3}{(\sum_{i=1}^{n}x_i)(\sum_{i=1}^{n}y_i)-(\sum_{i=1}^{n}z_i)^2}\leq \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_iy_i-z_i^2}$

Dadgarnia · 1393/7/20

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

دوستان كمك كنيد تا دوباره ماراتن رو راه بندازيم. سوال بعد:
براي اعداد حقيقي و مثبت

$a,b,c$

به طوري كه

$a^2+b^2+c^2+abc=4$

نشان دهيد:

$a+b+c\leq 3$

aras2213 · 1393/7/20

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

مطمنن راه بهتر از این برای این سوال وجود داره،ولی من پیدا نکردم.پس ببخشید به خاطر این حل زشت:29::

از شرط مساله نتیجه میگیریم که:

$a^2+b^2+c^2+abc=4\Rightarrow a=\frac{-bc+\sqrt{b^2c^2-4(b^2+c^2)}}{2}$

پس با جایگذاری و ساده کردن باید نشون بدیم:

$a+b+c\leqslant 3\Leftrightarrow 4(b+c)^2+4bc+20\geqslant 24(b+c)+4bc(b+c)$

حالا اگه b+c از 1 کمتر باشه به راحتی با کنار گذاشتن اون دو جمله ای که bc دارن حکم ثابت میشه.اما اگه b+c از 1 بزرگتر باشه،
اگر تعریف کنیم:

$f(b,c)=8(b+c)^2-24(b+c)-4bc(b+c-1)+20$

اون وقت با یکم بررسی نتیجه میشه:

$f(b,c)\geqslant f(\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2})$

پس کافیه که نامساوی رو برای دو متغیر برابر ثابت کنیم که اون هم زیاد سخت نیست.(دقت کنید که این فرض رو هم داریم

$b^2+c^2\leqslant 4$

که نتیجه میده برای حالتی که دو متغیر برابرن هر دو تاشون از

$\sqrt{2}$

کمترن.)

سوال بعد:همه توابع

را بیابید که برای هر x, y حقیقی داشته باشیم:

.

Dadgarnia · 1393/7/20

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

aras2213 گفت

اگر عبارت بالا را

$P(x,y)$

بناميم داريم:

$P(1,x)\rightarrow f(f(x)+x)=2x$

پس f پوشاست. پس a اي وجود داره كه

$f(a)=1$

داريم:

$P(x,a)\rightarrow f((a+1)x)=2ax\Rightarrow f(x)=\frac{2ax}{a+1}$

اگر در رابطه ي بالا x را برابر با a قرار دهيم بدست مي آوريم a برابر با يك يا

$-\frac{1}{2}$

است. پس دو جواب

$f(x)=x$

و

$f(x)=-2x$

بدست مي آيد.
سوال بعد:
تمام چند جمله اي هاي p را بيابيد كه به ازاي تابع اكيدا صعودي

$f:\mathbb{R}^+\cup \left \{ 0 \right \} \mapsto \mathbb{R}^+\cup \left \{ 0 \right \}$

داشته باشيم:

$\left\{\begin{matrix} 2p(f(x))=f(p(x))+f(x)\\ p(0)=0 \end{matrix}\right.$

aras2213 · 1393/7/21

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

اگر عبارت بالا را

$P(x,y)$

بناميم داريم:

$P(1,x)\rightarrow f(f(x)+x)=2x$

پس f پوشاست. پس a اي وجود داره كه

$f(a)=1$

داريم:

$P(x,a)\rightarrow f((a+1)x)=2ax\Rightarrow f(x)=\frac{2ax}{a+1}$

اگر در رابطه ي بالا x را برابر با a قرار دهيم بدست مي آوريم a برابر با يك يا

$-\frac{1}{2}$

است. پس دو جواب

$f(x)=x$

و

$f(x)=-2x$

بدست مي آيد.
سوال بعد:
تمام چند جمله اي هاي p را بيابيد كه به ازاي تابع اكيدا صعودي

$f:\mathbb{R}^+\cup \left \{ 0 \right \} \mapsto \mathbb{R}^+\cup \left \{ 0 \right \}$

داشته باشيم:

$\left\{\begin{matrix} 2p(f(x))=f(p(x))+f(x)\\ p(0)=0 \end{matrix}\right.$

مطمنید که تابع f اینجوری نیست:

$f:\mathbb{R}^+\cup\begin{Bmatrix} 0 \end{Bmatrix}\rightarrow \mathbb{R}^+$

Dadgarnia · 1393/7/21

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

aras2213 گفت

بله شما درست مي فرماييد بايد اينجوري باشه.

aras2213 · 1393/7/21

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

دنباله

$a_{n}=\underset{n-martabe}{\underbrace{f(f(...(0)))}}$

رو در نظر بگیرید.با یکم بررسی متوجه میشیم برای هر n ،

$p(a_{n})=a_{n}$

و این دنباله اکیدا صعودیه.پس P(x)=x جواب است.

Dadgarnia · 1393/7/21

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

aras2213 گفت

طبق قوانين تصويب شده (!) شما بايد سوال بعدي رو بذاريد.

aras2213 · 1393/7/21

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

سوال بعد:

$a,b,c\in \mathbb{R}^+,a+b+c=3\Rightarrow \frac{1}{1+2b^2c}+\frac{1}{1+2c^2a}+\frac{1}{1+2a^2b}\geq 1$

AHZolfaghari · 1393/7/21

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

aras2213 گفت

من یه کاری کردم ! جواب داد اما حتما راه قشنگ تری هم داره.
با هم مخرج کردن و طرفین وسطین بدست میاد که باید اثبات کنیم

$1+\sum a^2b \geq 4 (abc)^3$

طرف چپ از 3abc + 1 بزرگ تر مساویه .
ثانیا میدونیم که abc از 1 کمتره .
حالا کافیه اثبات کنیم

$1 + 3(k)\geq 4(k)^3$

که k = abc
که این عبارت هم تجریه میشه و اثبات میشه !

ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member