سوالي از نامساوي

J.Karimi · 1394/4/7

سلام به همه ي دوستان

براي هر عددطبيعيnتعدادnتايي هاي مرتب

$(a_{1}.a_{2}....a_{n})$

از اعداد صحيح را بيابيد كه:

$\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\leq n^{3}+1$

$\sum_{i=1}^{n}a_{i}\geq n^{2}$

فقط خواهشا اگه ميشه مفصل توضيح بديد.
باتشكر

Dadgarnia · 1394/4/7

پاسخ : سوالي از نامساوي

J.Karimi گفت

براي n=1,2 به راحتي مي تونيم جوابا رو بدست بياريم پس فرض مي كنيم

$n\geq 3$

. داريم:

$\sum_{i=1}^{n}a_i^2\leq (n+1)(n^2-n+1)\leq (n+1)\sum_{i=1}^{n}a_i-n^2+1$

از نامساوي حسابي مربعي مي دونيم كه

$\sum_{i=1}^{n}a_i^2\geq \frac{1}{n}\left (\sum_{i=1}^{n}a_i \right )^2$

پس بدست مياد:

$\frac{1}{n}\left (\sum_{i=1}^{n}a_i \right )^2\leq (n+1)\sum_{i=1}^{n}a_i-n^2+1$

$\Rightarrow \left ( \sum_{i=1}^{n}a_i \right )^2-n(n+1)\sum_{i=1}^{n}a_i+n^3-n\leq 0$

$\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}a_i\leq \frac{n^2+n+\sqrt{n^4-2n^3+n^2+4n}}{2}$

با فرض

$n\geq 3$

مي دونيم كه

$(n^2-n)^2< n^4-2n^3+n^2+4n<(n^2-n+1)^2$

چون متغير هاي ما اعداد طبيعي هستند بدست مياد:

$\sum_{i=1}^{n}a_i\leq \frac{n^2+n+n^2-n}{2}=n^2\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}a_i=n^2$

باز هم از نامساوي حسابي مربعي بدست مياد

$\sum_{i=1}^{n}a_i^2\geq n^3$

. اگه

$\sum_{i=1}^{n}a_i^2= n^3+1$

بدست مياد:

$2\sum_{1\leq i< j\leq n}a_ia_j=n^4-n^3-1\Rightarrow 0\equiv n^4-n^3-1\equiv 1\pmod 2$

كه تناقضه پس

$\sum_{i=1}^{n}a_i^2=n^3$

و اين يعني توي نامساوي حسابي مربعي حالت تساوي اتفاق افتاده پس همه ي متغير ها با هم بايد مساوي باشن كه بدست مياد

$a_1=a_2=\cdots=a_n=n$

.

J.Karimi · 1394/4/7

پاسخ : سوالي از نامساوي

Dadgarnia گفت

ببخشيد فقط من يه چند قسمت رو متوجه نشدم اول اينكه:

$\sum_{i=1}^{n}a_i^2\leq (n+1)(n^2-n+1)\leq (n+1)\sum_{i=1}^{n}a_i-n^2+1$

عبارت سمت راست چه جور به وجود اومد؟

و در عبارت

$\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}a_i\leq \frac{n^2+n+\sqrt{n^4-2n^3+n^2+4n}}{2}$

چگونه به اين نتيجه رسيديد؟

$\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}a_i\leq \frac{n^2+n+\sqrt{n^4-2n^3+n^2+4n}}{2}$

Dadgarnia · 1394/4/7

پاسخ : سوالي از نامساوي

J.Karimi گفت

به جاي

$n^2$

،

$\sum_{i=1}^na_i$

رو گذاشتم.
اين دو تا عبارت كه مثل همند!

J.Karimi · 1394/4/7

پاسخ : سوالي از نامساوي

ببخشيد:90::90::90:

چگونه از عبارت

$\Rightarrow \left ( \sum_{i=1}^{n}a_i \right )^2-n(n+1)\sum_{i=1}^{n}a_i+n^3-n\leq 0$

به اين نتيجه رسيديد:

$\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}a_i\leq \frac{n^2+n+\sqrt{n^4-2n^3+n^2+4n}}{2}$

Dadgarnia · 1394/4/7

پاسخ : سوالي از نامساوي

J.Karimi گفت

داريم:

$0\geq \left ( \sum_{i=1}^{n}a_i \right )^2-n(n+1)\sum_{i=1}^{n}a_i+n^3-n$

$=\left (\sum_{i=1}^{n}a_i-\frac{n^2+n+\sqrt{n^4-2n^3+n^2+4n}}{2} \right )\left (\sum_{i=1}^{n}a_i-\frac{n^2+n-\sqrt{n^4-2n^3+n^2+4n}}{2} \right )$

$\Rightarrow \frac{n^2+n-\sqrt{n^4-2n^3+n^2+4n}}{2} \leq \sum_{i=1}^{n}a_i\leq \frac{n^2+n+\sqrt{n^4-2n^3+n^2+4n}}{2}$

J.Karimi · 1394/4/8

پاسخ : سوالي از نامساوي

با تشكر از همگي اگه ميشه لطف كنيد اين سوال رو هم توضيح بديد.

آيا دنباله ي

$a_{1}.a_{2}....$

از اعداد حقيقي مثبت وجود دارند كه به طوري كه براي هرn طبيعي داشته باشيم:

$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}}\leq 2008$

$a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\leq n^{2}$

حمید آنالیز · 1394/4/9

پاسخ : سوالي از نامساوي

بله وجود دارد چرا که:

$\frac{1}{a_{i}}\geq 1\rightarrow n\leq 2008$

پس دنباله هایی وجود دارند که تعداد عضو های متناهی دارند و کمتر از 2008 است یا مساوی آن که مجموع عضو های دنباله از n^2تجاوز نکندو حال اگر

${a_{i}}_{(0\leq i\leq n-1)}\gg 1\rightarrow\sum {a_{i}}_{(0\leq i\leq n-1)}= \varepsilon \rightarrow 2008^2-1\leq a_{n}< 2008^2\rightarrow \left \lceil a_{n} \right \rceil=2008^2\Rightarrow a_{n}< 2008^2$

پ.ن:باید مجموع اعضا در شرط مسئله صدق کندو من فق در بالا کرانی را پیدا کردم
درسته؟@Dadgarnia

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

Dadgarnia
نوشته کوتاه نیست

Dadgarnia · 1394/4/9

پاسخ : سوالي از نامساوي

حمید آنالیز گفت

حلتون غلطه چون n يه عدد ثابت نيست و دنباله ما هم نامتناهيه. حتي اگه n رو ثابت فرض كنيم براي هر n چنين دنباله اي وجود داره ولي شما براي

$n> 2008$

گفتين كه چنين دنباله اي وجود نداره.

Dadgarnia · 1394/4/11

پاسخ : سوالي از نامساوي

J.Karimi گفت

ببخشيد من يادم رفت بيام جواب اين سوالو بذارم!!! با استفاده از كوشي داريم:

$\frac{1}{\sum_{i=n+1}^{2n}\frac{1}{a_i}}\leq \frac{1}{n^2}\sum_{i=n+1}^{2n}a_i<4\Rightarrow \sum_{i=n+1}^{2n}\frac{1}{a_i}>\frac{1}{4}$

$\Rightarrow \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\left ( \frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4} \right )+\cdots+\left ( \frac{1}{a_{2^{4\times 2008-1}+1}}+\cdots+\frac{1}{a_{2^{4\times 2008}}} \right )>2008$

كه تناقضه پس چنين دنباله اي وجود نداره.

J.Karimi · 1394/5/8

پاسخ : سوالي از نامساوي

اگر a,b,c اضلاع مثلثي با محيط 3 باشند ثابت كنيد:

$\frac{1}{\sqrt{a+b-c}}+\frac{1}{\sqrt{b+c-1}}+\frac{1}{\sqrt{c+a-b}}\geq \frac{9}{ab+bc+ca}$

J.Karimi · 1394/5/13

پاسخ : سوالي از نامساوي

J.Karimi گفت

دوستان سوال بالا بي جواب موند؟؟؟؟

حمید آنالیز · 1394/5/13

پاسخ : سوالي از نامساوي

J.Karimi گفت

خیلی ببخشین کسر دوم مخرجش یکه واقعا درست نوشتین؟البته که فک نکنم فرقی داشته باشه یه واسطه هم اثبات کنیم به کارمون میاد بازم ممنون.

J.Karimi · 1394/5/14

پاسخ : سوالي از نامساوي

حمید آنالیز گفت

بله سوال همينه ولي منظورتون كدوم مخرجه؟؟؟

هيچ مخرجي كه يك نيست!!!!!!!!!!!

صورت ها يك اند!!!

Sharifi_M · 1394/5/14

پاسخ : سوالي از نامساوي

J.Karimi گفت

فک کنم منظورش این بود که اگر کسر ها رو ببینید قرینگی واینا اصولا دیده میشود
ولی وسطی نه

J.Karimi · 1394/5/14

پاسخ : سوالي از نامساوي

ooooooooooooh my god!!!!!!!

خداوكيلي به اين ميگن سوتي بعد از يكي دو هفته تازه فهميديم اشتباه تايپ كزدم!!!

از همين جا يه معذرت خواهي صميمانه از دوستان دارم!!!!!!!!!!:150::150::150::122::122::188:

سوال اينجوري ميشه:

$\frac{1}{\sqrt{a+b-c}}+\frac{1}{\sqrt{b+c-a}}+\frac{1}{\sqrt{c+a-b}}\geq \frac{9}{ab+bc+ca}$

حمید آنالیز · 1394/5/14

پاسخ : سوالي از نامساوي

من یه حل دارم ولی اخرش موندم چی کار کنم؟
میدانیم

$\sum 3-2b=\sum (a+c-b)$

و میدانیم بابزرگ کردن کسر کوچک میشود و میدانیم

$\sqrt{(3-2a).1}\leq \frac{3-2a+1}{2}=2-a$

و پس نامسوای جدید میشود:

$\sum \frac{1}{2-a}\geq \frac{9}{\sum ab}$

و با کوشی داریم:

$(\sum 2-a)(\sum \frac{1}{2-a})\geq3^2=9\overset{\sum 2-a=3}{\rightarrow}\sum \frac{1}{2-a}\geq 3$

پس باید اثبات کنیم

$3\geq \frac{9}{\sum ab}$

پس باید ثابت کنیم

$\sum ab\geq 3$

از اینجا به بعدو نمیدونم چکار کنم!:4:

Dadgarnia · 1394/5/14

پاسخ : سوالي از نامساوي

حمید آنالیز گفت

اين نامساوي آخر غلطه. ميشه ثابت كرد

$\sum_{cyc}ab\leq 3$

.

حمید آنالیز · 1394/5/14

پاسخ : سوالي از نامساوي

Dadgarnia گفت

آیا

$\sum ab\geq \sum a$

?
شما خودت نمیدونی مشکلم کوجاست؟!:4:

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

و اینه نمیشه ز مثلث بودن کمک گرفت و این نامساوی را اثبات کرد؟ میشه یه مثال نقض بیارین؟لزفا جواب بدین

REZA 73 · 1394/5/14

پاسخ : سوالي از نامساوي

این حل منه:
قرار دهید:

$a=\frac{x+y}{2}$

$b=\frac{x+z}{2}$

$c=\frac{y+z}{2}$

اون وقت کافیه ثابت کنیم:

$(9+xy+yz+zx)(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}})\geq 36$

چون که:

$x+y+z=3$

(محاسبات و ساده کردن ها بر عهده خودتون! چیز خاصی نداره!)
حالا عبارت سمت چپو باز میکنیم:

+

$\frac{9}{\sqrt{x}}+y\sqrt{x}+z\sqrt{x}+\frac{yz}{\sqrt{x}}$

+

$\frac{9}{\sqrt{y}}+x\sqrt{y}+z\sqrt{y}+\frac{xz}{\sqrt{y}}$

$\frac{9}{\sqrt{z}}+x\sqrt{z}+y\sqrt{z}+\frac{xy}{\sqrt{z}}\geq 36$

و با استفاده از یه حسابی هندسی ساده:

$\frac{9}{\sqrt{x}}+\frac{9}{\sqrt{y}}+\frac{9}{\sqrt{z}}+3x\sqrt{y}+3y\sqrt{z}+3z\sqrt{x} \geq 36$

و این هم سادس چون:

$3x\sqrt{y}+\frac{3}{\sqrt{y}}\geq 6\sqrt{x}$

و در ادامه :

$6\sqrt{x} +\frac{6}{\sqrt{x}}\geq 12$

خیلی خلاصه نوشتم فکر کنم!!
** اون تغییر متغیری که نوشتم خیلی کاربردی هست و خیلی هم به درد بخوره**:1:

سوالي از نامساوي

Active Member

New Member

Active Member

New Member

Active Member

New Member

Active Member

Well-Known Member

New Member

New Member

Active Member

Active Member

Well-Known Member

Active Member

New Member

Active Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

Active Member