ماراتن مسائل ممتاز ریاضی
پاسخ : ماراتن مسائل ممتاز
با توجه به اينكه سوال 9 براي مدت زيادي حل نشده باقي موند فكر كنم بتونم لينك بدم (البته يادمه قديما يكم با راه مشكل داشتم ولي بازم از هيچي بهتره)
http://www.artofproblemsolving.com/...&hilit=subsets+that+contains+triangle#p301096
با توجه به اينكه سوال 9 براي مدت زيادي حل نشده باقي موند فكر كنم بتونم لينك بدم (البته يادمه قديما يكم با راه مشكل داشتم ولي بازم از هيچي بهتره)
http://www.artofproblemsolving.com/...&hilit=subsets+that+contains+triangle#p301096
پاسخ : ماراتن مسائل ممتاز
\Rightarrow%20f(x)\mid%20x^k)
پس
\mid%201^k\Rightarrow%20f(1)=1)
پس
\mid%202^{ik}\Rightarrow%20f(2^i)=2^{a_i})
ادعا می کنیم
=1\Rightarrow%20f(m)\neq%20f(n))
فرض کنید این طور نباشد.
:=f(x)+f(m))
\mid%20x^k+m^k%20\\t(x)\mid%20x^k+n^k%20\end{matrix}\right\}\Rightarrow%20t(x)\mid%20m^k-n^k)
قرار می دهیم
\mid%20m^k-n^k\mid%20x\mid%20x^k)
به دست می آید
\mid%20x^k+m^k\Rightarrow%20t(x)\mid%20m^k,n^k\Rightarrow%20t(x)\mid%20(m^k,n^k)\Rightarrow%20t(x)\mid%201)
که تناقض است.
اکنون ادعا می کنیم
ها متمایزند. فرض کنید این طور نباشد و
=f(2^j))
در نتیجه
+f(2^i)\mid%202^i-2^j)
و بنابراین برد
lمتناهی است که در تناقض با ادعای قبلی است.
\Rightarrow%202^{a_{p+1}}+2^{a_1}\mid%202^{(p+1)k}}-2^k\Rightarrow%202^{|a_{p+1}-a_1|}+1\mid%202^{pk}+1)
پس
.
متمایز بودن
ها نتیجه می دهد که برای بی نهایت عدد اول
داریم:
و به وضوح k/d نیز بایستی فرد باشد.
k تعداد متناهی مقسوم علیه دارد پس یکی از آن مقسوم علیه ها بی نهایت بار ظاهر می شود. فرض کنید d بی نهایت بار ظاهر شود.
\Rightarrow%202^{pd+a_1}+1\mid%202^{(p+1)k}+1\Rightarrow%20pd+a_1\mid%20pk+k)
این یعنی
+2^{pd+d}\mid%20x^k+2^{pk+k}%20\\f(x)+2^{pd+d}\mid%20f(x)^{\frac{k}{d}}+2^{pk+k}%20\end{matrix}\right\}\Rightarrow%20f(x)+2^{pd+d}\mid%20x^k-f(x)^{\frac{k}{d}})
p رو بزرگ می کنیم تا به دست بیاریم سمت چپ از سمت راست بزرگتره و در نتیجه سمت راست باید صفر باشه. پس
=x^d;d\mid%20k;\frac{k}{d}\equiv%201\pmod%202)
سوال 10.
K عدد طبیعی مفروضی است.تمام توابعی
رو بیابید که:
+f(y)|&space;x^{k}+y^{k})
K عدد طبیعی مفروضی است.تمام توابعی
پس
پس
ادعا می کنیم
فرض کنید این طور نباشد.
قرار می دهیم
به دست می آید
که تناقض است.
اکنون ادعا می کنیم
پس
متمایز بودن
و به وضوح k/d نیز بایستی فرد باشد.
k تعداد متناهی مقسوم علیه دارد پس یکی از آن مقسوم علیه ها بی نهایت بار ظاهر می شود. فرض کنید d بی نهایت بار ظاهر شود.
این یعنی
p رو بزرگ می کنیم تا به دست بیاریم سمت چپ از سمت راست بزرگتره و در نتیجه سمت راست باید صفر باشه. پس