ماراتن هندسه version 2

ash1374 · 1393/6/2

پاسخ : ماراتن هندسه version 2

$ABCD$

یک جهارضلعی محاطی عمود قطر است.

$F$

روی پاره خط

$BC$

قرار دارد. نقاط

$E$

و

$G$

روی

$AB$

و

$CD$

را طوری انتخاب می کنیم که

$EF\parallel AC$

و

$FG\parallel BD$

است. تصاویر نقاط

$F$

و

$E$

و

$G$

بر اضلاع

$AD$

و

$CD$

و

$AB$

را به ترتیب

$Q$

و

$P$

و

$R$

بنامید. نشان دهید

$QF$

نیمساز زاویه ی

$PQR$

است.

ash1374 · 1393/6/12

پاسخ : ماراتن هندسه version 2

راهنمایی : P,f,r روی دایره به قطر eg هستند. نشلان دهید نقطه ای روی ad مثل t وجود دارد که efgt مستطیل است. T نیز روی دایره به قطر eg است. حال نشان دهید q نیز روی این دایره است و سپس زاویه بازی کنید...

darya.f · 1393/6/12

پاسخ : ماراتن هندسه version 2

ash1374 گفت

با تالس تو اضلاع چهارضلعى مستطىل ثابت مىشه بعدش به رلحتى ثابت مىشه 5ضلعى qtefgp محاطى مىشه بعد از محاطى بودن qpgf و s تقاطع gr,qf و محاطى بودن qars,موازى بودن db,gf حکم نتىجه مىشه

ash1374 · 1393/6/12

پاسخ : ماراتن هندسه version 2

در مثلث حاده الزاویه ی

$ABC$

،

$M$

وسط

$BC$

،

$I$

مرکز دایره محاطی داخلی،

$E$

و

$F$

محل تماس این دایره با

$AC$

و

$AB$

،

$X$

وسط کمان

$BAC$

از دایره محیطی مثلث، و

$P$

و

$N$

اوساط

$AB$

و

$AC$

هستند. محل برخورد

$MP$

و

$MN$

با

$EF$

را به ترتیب

$V$

و

$U$

می نامیم. نشان دهید

$XI$

از وسط

$UV$

می گذرد.

لطفاً هر کس سوال رو حل کرد سوال بعدی را هم بگذاره و خودتون ماراتن رو به دست بگیرید.

mahmoud20ni · 1393/6/14

پاسخ : ماراتن هندسه version 2

لم 1 : Ef و mn و نیمساز راس b در نقطه ی u همرسند . لم 2: در هر چهار ضلعی محاطی abcd اگر q نقطه ی برخورد اقطار چهارضلعی باشد و k وسط ab باشد انگاه qk میانه متقارن نظیر راس q در مثلث cqd میباشد . حالا توجه کنید که i_b , i_c (مراکز محاطی خارجی نظیر راس های cو b ) و b ,c تشکیل چهار ضلعی محاطی میدهند و x وسط i_ai_b میباشد .همچنین چهار ضلعی uvbc نیز محاطی است و iq میانه متقارن ان است .

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد : در مثلث ABC نقاط D , E , F پای ارتفاع های نظیر رئوس A , B ,C مباشند (به ترتیب ) اگر

$I_1$

,

$I_2$

مراکز دایره مجاطی داخلی مثلث های AEF , BFD یاشند و

$O_1$

,

$O_2$

مراکز دوایر محیطی مثلث های

$CI_1B$

,

$CI_2A$

باشند ثابت کنید :

$I_1I_2\parallel O_1O_2$

aras2213 · 1393/6/20

پاسخ : ماراتن هندسه version 2

$FI_{1},FI_{2}$

را امتداد دهید تا BC,AC را به ترتیب در K,L قطع کنند.چهار ضلعی FKCL محاطیه.اگه تو مثلث های AFL,BFK قضیه نیمساز بنویسیم،نتیجه میشه

$I_{1}I_{2}\parallel KL$

.حالا چون CK=CL ، کافیه ثابت کنیم

$CI\perp O_{1}O_{2}$

.با یکم زاویه بازی هم نتیجه میشه

$AI_{2}I_{1}B$

هم محاطیه.اگه مرکز دایره محیطی این چهار ضلعی رو

${O}'$

بنامیم و مرکز دایره محیطی ABC رو O بنامیم،

$O{O}'\perp AB$

.حالا اگه یه کارنو بنویسیم حکم نتیجه میشه.

aras2213 · 1393/6/27

پاسخ : ماراتن هندسه version 2

در مثلثAH,AD، ABC به ترتیب نیمساز و ارتفاع نظیر راس A هستند.عمود منصف AD دایره هایی که به قطر AB,AC رسم میشوند در X,Y قطع میکنند.ثابت کنید XYHD محاطیست.

TheOverlord · 1393/7/5

پاسخ : ماراتن هندسه version 2

PQ را امتداد دهید تا BC را در Z قطع کند. ADZ=A/2+B پس چونZ روی نیمساز AD است DAZ=A/2+B=DAC+CAZ=A/2+ZAC یعنی CAZ=B پس واضحا AZ بر دایره محیطی مثلث ABC مماس است. AYH=ACH و AXH=ABH یعنی AYH-AXH=C-B=180-A-2B=180-2(A/2+B)=180-2ADZ اما Z روی عمود منصف AD است پس AZ=DZ پس AZD=180-2ADZ یعنی AYH-AXH=AZD . دقت کنید که دقیقا یک نقطه با این خاصیت وجود دارد که روی XZ است..حال Y' را طوری در نظر بگیرید که روی XY باشد و ZHY'=ZXA.
چون ZDA متساوی الساقین است پس XZ که عمود منصف است نیمساز هم هست یعنی Y'ZH=AZX پس دو مثلث AZX و Y'ZH متشابهند یعنی AZ/ZX=Y'Z/ZH پس AZ/ZY'=ZX/ZH و AZY'=XZH پس دو مثلث Y'ZA و HZX متشابهند پس Y'AZ=HXZ پس Y'AZ+Y'HZ=AXZ+HXZ=AXH یعنی AY'H=AXZ+HXZ+AZH=AZH+AXH=AZD+AXH اما Y یکتا نقطه ای بود که این خاصیت را داشت پس Y=Y' یعنیAZ/ZX=YZ/ZH یعنی AZ.ZH=ZX.YZ اما AZ=ZD پس ZD.ZH=ZX.ZY پس DHXY محاطی است که حکم مساله است.

سوال بعد: x زاویه ای ثابت است.مثلث متغیر ABC در صفحه را در نظر بگیرید.مثلث های APB و AQC را رو به داخل مثلث ABC ساخته ایم بطوری که PAB=QAC=x و PA=AB و QA=AC. محل برخورد PC و BQ را R بگیرید. فرض کنید O مرکز دایره به قطر R باشد. آنگاه AO/PQ مقداری ثابت است.

nima-1376 · 1393/7/6

پاسخ : ماراتن هندسه version 2

aras2213 گفت

اگر وسط های اضلاع ab,ac را m,n بنامیم و وسط نیمساز را k دو مثلث kmx,kpy متشابه اند بقیه سوال یک زاویه بازیست!
راه دیگر: (مخصوص ارس:90

انعکاس به مرکز a وشعاع ab.ac/2 است که نسبت به نیمساز قرینه شود!

TheOverlord · 1393/7/26

پاسخ : ماراتن هندسه version 2

دوستان سوال جديد ميذارم چون سوال قبلي تاپيك رو خوابونددنبال راه حلش نريد من گذاشتم به اين اميد كه يكي راه حل ساده تر از اون چيزي كه بلدم ارائه بده.
سوال: در چهاروجهي نامسطح abcd وسط قطر هاي ac و bd به ترتيب m و n هستند. ثابت كنيدab=cd و ac=bd و ad=bc اگر و فقط اگر mn بر هر دو قطر عمود باشد.
٢ تا راه ساده هم داره( حداقل)

TheOverlord · 1393/8/5

پاسخ : ماراتن هندسه version 2

متاسفانه به دليل استعداد زيادم در خوابوندن تاپيك سوال جديد ميذارم

قبلي با بردار يا همنهشتي حل ميشه)
همه توابع f از صفحه به اعداد حقيقي را بيابيد كه براي هر a,b,c,n در صفحه به طوري كه n مركز ارتفاعي abc باشد f(a)+f(b)+f(c)+f(n)=0

Dadgarnia · 1393/8/5

پاسخ : ماراتن هندسه version 2

TheOverlord گفت

اين سوال تركيبيات نيست؟ جوابش

$f\equiv 0$

ميشه.

TheOverlord · 1393/8/5

پاسخ : ماراتن هندسه version 2

Dadgarnia گفت

تركيبيات تابعي هندسه نميدونم واقعا در چه دسته اي هستش
جواب همونه

Dadgarnia · 1393/11/10

پاسخ : ماراتن هندسه version 2

سوال بعد:
نقطه ی E روی ارتفاع BD از مثلث ABC چنان قرار دارد که

$\angle AEC=90^{\circ}$

. نقاط

$O_1,O_2$

به ترتیب مراکز دایره های محیطی مثلث های AEB و CEB هستند. F وسط ضلع AC و L وسط پاره خط

$O_1O_2$

می باشد. نشان دهید نقاط F,E,L هم خط اند.

aras2213 · 1393/11/10

پاسخ : ماراتن هندسه version 2

E روی دایره ای به مرکز F و شعاع AC/2 قرار داره،پس عمود منصف های EC,EA از F میگذرند.مثلث های BEC,BEA منفرجه هستن،پس:

$\frac{\widehat{BO_1C}}{2}+\widehat{BEC}=180\rightarrow \widehat{O_1CB}=90-\frac{\widehat{BO_1C}}{2}=\widehat{ECD}$

.به طور مشابه

$\widehat{O_2AB}=\widehat{EAC}$

.که این هم نتیجه میده:

$\widehat{EFO_1}=\widehat{EAC},\widehat{EFO_1}=\widehat{ECA},\widehat{O_1FO_2}=90$

.همچنین

$\widehat{O_2O_1F}=180-\widehat{O_1FA}=\widehat{EFO_1}$

که حکم رو نتیجه میده.

aras2213 · 1393/11/11

پاسخ : ماراتن هندسه version 2

سوال بعد:

Dadgarnia · 1393/11/11

پاسخ : ماراتن هندسه version 2

aras2213 گفت

فرض كنيد

$l$

خطي باشه كه در

$A$

بر دو دايره مماس باشه و

$X$

نقطه اي روي اين خط باشه. مي دونيم كه

$\frac{AK}{2}=\angle XAK=\angle XAB=\frac{AB}{2}$

پس داريم:

$\angle ALT=\angle ACT$

كه اين هم نتيجه ميده كه چهارضلعي

$ALCT$

محاطيه پس داريم:

$\angle ATB=\frac{AL}{2}=\angle TKB\Rightarrow \Delta TKB\sim \Delta ATB\Rightarrow TB^2=AB\cdot BK$

كه حكم رو نتيجه ميده.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

در مثلث حاده الزاويه

$ABC$

با اضلاع دو به دو نامساوي

$H$

مركز ارتفاعي،

$O$

مركز دايره ي محيطي و

$E,F$

به ترتيب پاي عمود هاي وارد از

$B,C$

بر اضلاع روبرو مي باشند. خط

$AO$

دايره ي محيطي را دوباره در

$G$

و پاره خط هاي

$EF,BC$

را را به ترتيب در نقاط

$X,Y$

قطع مي كند. اگر

$Z$

محل برخورد

$HA$

با مماسي كه در

$G$

بر دايره ي محيطي رسم مي شود باشد، ثابت كنيد

$HX\parallel YZ$

.

aras2213 · 1393/11/11

پاسخ : ماراتن هندسه version 2

Dadgarnia گفت

M وسط ضلع BC و T محل برخورد AH ,EF است.
لم:

$H,M,G$

هم خطن و

$HG\parallel TY$

.
اثبات:هم خطیشون که زیاد سخت نیست.برای اثبات موازی بودن هم:

$\overset{\bigtriangleup }{AFH}\sim \overset{\bigtriangleup }{AGC},\angle GCY=\angle TFH\rightarrow \frac{AT}{TH}=\frac{AY}{AG}$

.

حالا داریم

$HG\parallel TY,EF\parallel ZG\rightarrow \frac{AY}{AG}=\frac{AT}{TH},\frac{AX}{AG}=\frac{AT}{AZ}$

که با تقسیم سمت چپ ها بر هم و سمت راست ها بر هم:

$\frac{AX}{AY}=\frac{AH}{AZ}\rightarrow HX\parallel ZY$

.

aras2213 · 1393/11/14

پاسخ : ماراتن هندسه version 2

در مثلث

ارتفاع های

و

را رسم میکنیم.فرض کنید

پای عمود وارد از

بر

باشد.

روی

طوری قرار دارد که:

.

نشان دهید:

.

Dadgarnia · 1393/11/23

پاسخ : ماراتن هندسه version 2

aras2213 گفت

وسط

$AB$

رو

$M$

و محل برخورد

$AB,A'B'$

رو

$T$

مي ناميم. حالا واضحه كه

$MC'PQ$

محاطيه و مي دونيم كه

$MC'A'B'$

هم محاطيه پس داريم:

$TM\cdot TC'=TP\cdot TQ,TM\cdot TC'=TB'\cdot TA'\Rightarrow TB'\cdot TA'=TP\cdot TQ$

پس چهارضلعي

$ABPQ$

محاطيه كه نتيجه ميده

$\angle PBQ=\angle PAQ$

. براي اثبات قسمت ديگه ي حكم داريم:

$\angle PBQ=\angle ABP-\angle ABQ=\angle AQB'+\angle AQM-90=\angle CC'P$

ماراتن هندسه version 2

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member