ماراتن هندسه

TheOverlord · 1393/10/13

پاسخ : ماراتن هندسه

سلام
من شكلش رو با نرم افزار كشيدم غلطه.
من يه نگاهي انداختم اين تيكش به نظر درست نبود: چرا de^2=ae.ce ؟

AHZolfaghari · 1393/10/13

پاسخ : ماراتن هندسه

جواب سوال آقا ارس . @aras 2213

محل تماس دایره با اصلاع AB , AC رو به ترتیب F,D میگیریم .طبق قوانین همساز و ناهمساز نتیجه میگیریم که AZDK = -1

پس

$\frac{AM}{AK}=\frac{MZ}{ZK}\Rightarrow \frac{AZ}{AK}=\frac{2MZ}{MK}$

از اونجایی که FZ موازی با PK هست . نتیجه میشه که

$\frac{2FZ}{2BK}=\frac{AZ}{AK}=\frac{2MZ}{MK}\Rightarrow \frac{MZ}{MK}=\frac{FZ}{PK}$

پس P , F , M هم خط اند و به طرز مشابه بدست میاد که Q , E , M هم خط اند

اگه محل برخورد دوم دایره با BC رو S بگیریم براحتی میشه نتیجه گرفت که S, K نسبت به وسط BC قرینه اند .

و میشه نتیجه گرفت که S وسط PQ است. پس مرکز دایره PQM روی خطی عمود بر PQ و گذرنده از S قرار دارد .

مرکز دایره محیطی QPM رو O' می نامیم و مرکز دایره FDM رو هم O مینامیم .

وسط FD رو هم N میگیریم

$2NO = FD . tan \frac{\angle A}{2}$

$2O'S = PQ.tan \frac{\angle A}{2}$

پس

$\frac{ON}{O'S}=\frac{EF}{PQ}=\frac{MN}{MS}$

چون ON , O'S هر دو موازی و عمود بر BC اند پس باید O , O' , M هم خط اند .

پس چون M یکی از محل های برخورد دو دایره هست پس چون دو دایره مماس اند .

sepidfekr · 1393/11/1

پاسخ : ماراتن هندسه

سوال بعد( یه سوال آسون برای راه افتادن ماراتن):

$AD$

نیمساز مثلث

$ABC$

است و میدانیم

$AB=AD$

. نقطه

$E$

تصویر راس

$C$

بر خط

$AD$

است. اثبات کنید

$AE=\frac{AB+AC}{2}$

REZA 73 · 1393/11/1

پاسخ : ماراتن هندسه

sepidfekr گفت

ae رو به اندازه خودش ادامه بدید(از سمت نقطه e) و نقطه انتهاییش رو g فرض کنید.پس مثلث acg متساوی الاساقین میشه. پس طبق فرض مثلث dcg با مثلث abd متشابهه و این یعنی dg=gc=ac. و حالا حکم بدیهیه.

Dadgarnia · 1393/11/1

پاسخ : ماراتن هندسه

sepidfekr گفت

البته هنوز سوال آقاي پويا حل نشده است. هر كي حل كرد لطفا جوابشو بذاره. اينم سوال بعد:
فرض کنید دایره ی w به مرکز O دایره ی محیطی مثلث ABC باشد و

$\angle ABC>90$

. فرض کنید D محل برخورد خط AB با عمودی که در C بر ضلع AC وارد می شود باشد. خط l از نقطه ی D گذشته و بر AO عمود است. محل برخورد l و AC را E و محل برخورد l و دایره ی w را که بین E و D قرار دارد F می نامیم. ثابت کنید دایره های محیطی مثلث های BFE و CFD در نقطه ی F بر یکدیگر مماسند.

REZA 73 · 1393/11/1

پاسخ : ماراتن هندسه

TheOverlord گفت

مثلث رو ببرید تو دستگاه مختصات دکارتی. بدون این که خللی به مساله وارد بشه فرض کنید:

$A=(0,a) , B=(-1,0),C=(1,0),D=(0,0)$

حالا به محاسبه نقطه

$E$

میپردازیم که میشه:

$E=(\frac{a^2}{1+a^2},\frac{a}{1+a^2})$

پس نقطه وسط

$DE$

که

$F$

هست میشه:

$F=(\frac{a^2}{2(1+a^2)},\frac{a}{2(1+a^2)})$

حالا برای بررسی حکم مساله کافیه داشته باشیم:

$\frac{a-\frac{a}{2(1+a^2)}}{0-\frac{a^2}{2(1+a^2)}}$

و

$\frac{\frac{a}{1+a^2}-0}{\frac{a^2}{1+a^2}+1}$

حاصل ضربشون بشه 1-که میشه!
هر کدوم شیب خط هایی هستن که قراره بر هم عمود بشن.
در نتیجه مساله اثبات شده است.

aras2213 · 1393/11/2

پاسخ : ماراتن هندسه

Dadgarnia گفت

محل برخورد CD و AO رو T بگیرید.به وضوح T رو w میفته.حالا E مرکز ارتفاعی مثلث ATD هست و TBA هم 90 است،پس T,E,B هم خطن.پس

$\widehat{DCF}=\widehat{TAF}=\widehat{TBF}$

که این
نتیجه میده دو دایره بر هم مماسند.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:در مثلث

که

نقطه

روی ضلع

طوری قرار دارد که

بر

عمود است.دایره ای که از

میگذرد و بر

در

مماس است،ضلع

را برای دومین بار در

قطع میکند.

روی

طوری قرار دارد که

،اگر چهار نقطه

روی یک دایره باشند،نشان دهید

بر

عمود است.

sepidfekr · 1393/11/2

پاسخ : ماراتن هندسه

aras2213 گفت

محل برخورد CD و AO رو T بگیرید.به وضوح T رو w میفته.حالا E مرکز ارتفاعی مثلث ATD هست و TBA هم 90 است،پس T,E,B هم خطن.پس

$\widehat{DCF}=\widehat{TAF}=\widehat{TBF}$

که این
نتیجه میده دو دایره بر هم مماسند.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:در مثلث

که

نقطه

روی ضلع

طوری قرار دارد که

بر

عمود است.دایره ای که از

میگذرد و بر

در

مماس است،ضلع

را برای دومین بار در

قطع میکند.

روی

طوری قرار دارد که

،اگر چهار نقطه

روی یک دایره باشند،نشان دهید

بر

عمود است.

سوال بعد رو لطف میکنید؟

m-saghaei · 1393/11/2

پاسخ : ماراتن هندسه

sepidfekr گفت

لطف کردن دیگه!!

aras2213 · 1393/11/2

پاسخ : ماراتن هندسه

sepidfekr گفت

:39::7:
منظورتون این هست که سوال جدید بزارم؟یا یه چیز دیگست منظورتون؟
ادیت_1:این پستم فقط برا من این جوری شده،یا برا شما هم این جوری افتاده؟
ادیت_2:هیچی اشتباه شد d:

sepidfekr · 1393/11/2

پاسخ : ماراتن هندسه

aras2213 گفت

برای من پستتون رو سفید نشون میده!!!
تلاشمو میکنم برای دیدن پستتون فقط چند خط اولش معلومه!!!

Dadgarnia · 1393/11/7

پاسخ : ماراتن هندسه

aras2213 گفت

محل برخورد cd و ao رو t بگیرید.به وضوح t رو w میفته.حالا e مرکز ارتفاعی مثلث atd هست و tba هم 90 است،پس t,e,b هم خطن.پس

$\widehat{dcf}=\widehat{taf}=\widehat{tbf}$

که این
نتیجه میده دو دایره بر هم مماسند.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:در مثلث

که

نقطه

روی ضلع

طوری قرار دارد که

بر

عمود است.دایره ای که از

میگذرد و بر

در

مماس است،ضلع

را برای دومین بار در

قطع میکند.

روی

طوری قرار دارد که

،اگر چهار نقطه

روی یک دایره باشند،نشان دهید

بر

عمود است.

ببخشید y رو که تعریف نکردین!

aras2213 · 1393/11/10

پاسخ : ماراتن هندسه

Dadgarnia گفت

ببخشید،

$Y=CP\cap AQ$

.

TheOverlord · 1393/11/12

پاسخ : ماراتن هندسه

$C_{APX} \cap BE=\{P\} \Rightarrow BQ^2=BP^2=BX.BA \Rightarrow \hat{PQX}=\hat{BQX}=\hat{BAQ}=\hat{BAY}=\hat{XCY}=\hat{XCP}$

پس

$XPCQ$

محاطي است. همچنين اگر

$A'$

قرينه

$A$

نسبت به

$B$

باشد بديهي است كه روي اين دايره قرار دارد. پس فرض كنيد

$B$

مبدا مختصات و

$O$

مركز اين دايره است، پس فروض مان به اينها تبديل مي شود

$\overset{\rightarrow}P.\overset{\rightarrow}O=0, \overset{\rightarrow}P=-\overset{\rightarrow}Q,\overset{\rightarrow}A=-\overset{\rightarrow}{A'},\overset{\rightarrow}{OC}^2=\overset{\rightarrow}{OP^2}=(\overset{\rightarrow}A+\overset{\rightarrow}O)^2$

و حكم به اين تبديل مي شود كه

$(\overset{\rightarrow}P+\overset{\rightarrow}A)(\overset{\rightarrow}{PC})=0$

چرا كه اين معادل است با اين كه

$CA'$

قطري از دايره باشد كه نتيجه مي دهد

$\hat{CXA'}=90^{o}$

كه همان حكم مساله است.

$\overset{\rightarrow}P.\overset{\rightarrow}{AC}=0 \Rightarrow (\overset{\rightarrow}A+\overset{\rightarrow}P)\overset{\rightarrow}{PC}=\overset{\rightarrow}P^2-\overset{\rightarrow}A.\overset{\rightarrow}C$

پس كافيست بگوييم

$\overset{\rightarrow}P^2=\overset{\rightarrow}A.\overset{\rightarrow}C$

$\overset{\rightarrow}P.\overset{\rightarrow}O=0\Rightarrow \overset{\rightarrow}P^2+\overset{\rightarrow}O^2=\overset{\rightarrow}{OP}^2\Rightarrow\overset{\rightarrow}P^2=\overset{\rightarrow}C^2-2\overset{\rightarrow}O.\overset{\rightarrow}C=\overset{\rightarrow}A^2+2\overset{\rightarrow}O.\overset{\rightarrow}A$

حال فرض كنيد

$\overset{\rightarrow}K=2\overset{\rightarrow}O$

بنابرين كافيست بگوييم داريم

$\overset{\rightarrow}C^2-\overset{\rightarrow}K.\overset{\rightarrow}C=\overset{\rightarrow}A^2+\overset{\rightarrow}A.\overset{\rightarrow}K\Rightarrow \overset{\rightarrow}C^2-\overset{\rightarrow}K.\overset{\rightarrow}C=\overset{\rightarrow}A.\overset{\rightarrow}C$

$\overset{\rightarrow}C^2-\overset{\rightarrow}K.\overset{\rightarrow}C=\overset{\rightarrow}A^2+\overset{\rightarrow}A.\overset{\rightarrow}K\Leftrightarrow (\overset{\rightarrow}C+\overset{\rightarrow}A)(\overset{\rightarrow}K+\overset{\rightarrow}A-\overset{\rightarrow}C)=0$

البته دقت كنيد

$\overset{\rightarrow}K.\overset{\rightarrow}P=2\overset{\rightarrow}O.\overset{\rightarrow}P=0\Rightarrow BK||AC\Rightarrow \overset{\rightarrow}K=\lambda \overset{\rightarrow}{AC}$

$(\overset{\rightarrow}C+\overset{\rightarrow}A)(\overset{\rightarrow}K+\overset{\rightarrow}A-\overset{\rightarrow}C)=(\overset{\rightarrow}C+\overset{\rightarrow}A)(\lambda \overset{\rightarrow}{AC}-\overset{\rightarrow}{AC})=(\lambda-1)(\overset{\rightarrow}C+\overset{\rightarrow}A)(\overset{\rightarrow}C-\overset{\rightarrow}A)=(\lambda-1)(\overset{\rightarrow}C^2-\overset{\rightarrow}A^2)=(\lambda-1)(BC^2-BA^2)$

اما طبق فروض مساله

$(BC^2-BA^2)\not =0$

پس

$\lambda=1$

پس

$\overset{\rightarrow}C^2-\overset{\rightarrow}K.\overset{\rightarrow}C=\overset{\rightarrow}C^2-(\overset{\rightarrow}C-\overset{\rightarrow}A)\overset{\rightarrow}C=\overset{\rightarrow}A.\overset{\rightarrow}C$

كه حكم را نتيجه مي دهد.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد : مماس در

$A$

بر دايره محيطي مثلث

$ABC$

خط

$BC$

را در

$P$

قطع ميكند و پاي ارتفاع هاي راس هاي

$B,C$

به ترتيب

$E,F$

هستند. فرض كنيد

$H$

مركز ارتفاعي باشد و

$EF\cap BC=\{Q\}$

و

$M$

وسط

$AH$

باشد.
ثابت كنيد

$MP||QH$

است.

aras2213 · 1393/11/12

پاسخ : ماراتن هندسه

theoverlord گفت

اگر n وسط bc باشه،h مركز ارتفاعيه aqn هم هست.پس كافيه ثابت كنيم كه pm بر an عموده يا m مركز ارتفاعيه apn است.همچنين amno متوازى الاضلاعه پس ao , mn موازين.پس mn بر ap عموده.كه نتيجه ميده m مركز ارتفاعيه apn هه.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد(زياد قشنگ نيست)
سه نقطه روى اضلاع مثلثى قرار دارن به طورى كه مثلثى تشكيل ميدن كه مركز دايره محاطى داخلى آن بر مركز دايره محاطيه مثلث اصلى منطبق است.همچنين شعاع دايره محاطى داخلى آن نصف شعاع دايره محاطى داخلى مثلث اصليست.نشان دهيد هر دو مثلث متساوى الاضلاع هستند.

Seyed Amir Hosseini · 1394/1/2

پاسخ : ماراتن هندسه

ابتدا راس های مثلث اصلی را a و b و c می نامیم نقاط روی ab و ac و bc را به ترتیب d و e و f می نامیم همیچنین محل برخورد خط be با df را y و برخورد de با af را x و برخورد ef با cd را z و مراکز دوایر محاطی را i می نامیم. حال بریم سراغ اثبات سوال!! :
می دانیم طول مماس های مرسوم از یک نقطه بر دایره با هم برابر است. پس ad با ae برابر است . پس مثلث ade متساوی الساقین است از طرفی چون مثلث متساوی الساقین است نیمساز و عمود منصف منطبق اند پس ai عمود منصف de است. همچنین می دانیم فاصله ی هر نقطه روی عمود منصف از دو سر پاره خط به یک فاصله است پس df با fe برابر است و چون مثلث def متساوی اساقین است پس نیمساز و ارتفاع آن بر هم منطبق اند و چون ai و fi ارتفاع های مثلث های ade و def هم هستند هستند هم خط اند و در چهارضلعی adfe قطر af بر de عمود است. پس می دانیم id و ix به ترتیب شعاع های دوایر محاطی مثلث های abc و def هستند. پس id دو برابر ix است.حال در مثلث قایم الزاویه dix سینوس زاویه idx برابر 1/2 است پس این زاویه 30 درجه است. به طریق مشابه می توان ثابت کرد زاویه ی idy برابر 30 درجه است پس داریم:
Idx+idy=edf=30+30=60
به طریق مشابه می توان ثابت کرد dfe و fed برابر 60 درجه است . پس مثلث def متساوی الاضلاع است . بریم سراغ abc !!!
به کمان fd و fe برابر 120 درجه است پس جمعشون میشه 240. همچنین کمان de نیز 120 درجه است پس زاویه bac به راحتی به دست می آید که برابر 60 درجه است به همین طریق می توان ثابت کرد abc و acb نیز 60 درجه هستند پس abc نیز متساوی الاضلاع است. تموم شد!!! ببخشید نمی دونم چرا لاتکسم خرابه. سوال بعد را لطف کنید اگه پیدا کردم خودم میذارم

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

ببخشید حروفم کوچیک نوشت شما بزرگ در نظر بگیرید!!! :3:

Dadgarnia · 1394/1/4

پاسخ : ماراتن هندسه

seyedamirhosseini گفت

ببخشید من اثبات شما رو متوجه نشدم! الان نقاط روی اضلاع که مرکز دایره ی محاطی مثلثشون بر مرکز دایره ی محاطی مثلث

$ABC$

منطبقه

$D,E,F$

هستند؟ اگه اینجوریه چرا

$AD=AE$

هست؟ این اتفاق فقط برای نقطه هایی که دایره ی محاطی بر اضلاع

$AB,AC$

در اون نقاط مماسه رخ میده!

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

من سوال بعدو میذارم تا بتونیم ماراتن رو سریع تر پیش ببریم:

$ABCD$

یک متوازی الاضلاع است. دایره ی با قطر

$AC$

،

$BD$

را در

$P,Q$

قطع می کند. عمودی که از

$C$

بر

$AC$

رسم می شود

$AB,AD$

را به ترتیب در

$X,Y$

قطع می کند. ثابت کنید نقاط

$P,Q,X,Y$

روی یک دایره قرار دارند.

Sharifi_M · 1394/1/4

پاسخ : ماراتن هندسه

dadgarnia گفت

من سوال بعدو میذارم تا بتونیم ماراتن رو سریع تر پیش ببریم:

$abcd$

یک متوازی الاضلاع است. دایره ی با قطر

$ac$

،

$bd$

را در

$p,q$

قطع می کند. عمودی که از

$c$
بر

$ac$
رسم می شود

$ab,ad$

را به ترتیب در

$x,y$

قطع می کند. ثابت کنید نقاط

$p,q,x,y$

روی یک دایره قرار دارند.

عمودی از c بر ac رسم میشه یعنی چی؟ :4:

Dadgarnia · 1394/1/4

پاسخ : ماراتن هندسه

Moshk گفت

بهتر بود که می گفتم خارج میشه! یعنی خطی که بر

$AC$

عموده و از

$C$

میگذره.

Seyed Amir Hosseini · 1394/1/5

پاسخ : ماراتن هندسه

فك كنم براي سوال قبل كم توضيح دادم آقا عليرضا
چهارضلعي adfe را درنظر بگيريد. قطر af هم نيمساز a است هم نيمساز f . پس چهارضلعي adef چهارضلعي كايت است. پس با توجه به خصوصيات چهارضلعي كايت ad=ae و از همين مي توان استفاده كرد و بيان كرد كه دايره ي محاطي abc از سه راس مثلث داخلي مي گذرد. اگه خواستيد درباره ي چهارضلعي كايت بيشتر توضيح ميدم. مثلا لوزي يك نوع خاص از چهارضلعي كايت است. :37:

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

واي اعصابم داره خرد ميشه نمي دونم چرا با حروف كوچيك مي نويسه شما بازم بزرگ در نظر بگيريد

ماراتن هندسه

New Member

Well-Known Member

New Member

Active Member

New Member

Active Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Active Member

New Member

New Member

New Member

Active Member