هندسه صفر تا 100

mrbayat · 1389/3/21

mahdisaj گفت

حتما منظورتون از ح ، P بوده و ارتفاع های BE , CF بودند؟

mahdisaj · 1389/3/21

mrbayat گفت

بله بله منظور از ح همون P بوده و R روی ارتفاع BE است و Q روی ارتفاع CF

mrbayat · 1389/3/22

طول اضلاع

$AQ$

و

$AR$

را با فیثاغورث حساب می کنیم:

$AQ^{2}=QF^{2}+AF^{2} , QF^{2}=BQ^{2}-BF^{2} , BQ^{2}=BP^{2}=BD.BC$

$\Rightarrow AQ^{2}=AF^{2}+BD.BC-BF^{2}=(AF^{2}-BF^{2})+BD.BC$

$=(AF+BF)(AF-BF)+BD.BC=AB(AF-BF)+BD.BC$

$\Rightarrow AQ^{2}=AB.AF-AB.BF+BD.BC$

$BF=BC.Cos B,BD=AB.Cos B$

$\Rightarrow AQ^{2}=AB.AF-AB(BC.Cos B)+BC(AB.Cos B)=AB.AF ,$

$AF=AC.Cos A \Rightarrow AQ^{2}=AB.AC.Cos A$

حالا طول

$AQ$

را به دست آورده ایم . کافیست به طور کاملا مشابه طول

$AR$

را محاسبه کنیم که

$AR$

هم همین می شود

IsaacNewton · 1389/3/22

[center:03813b0d60]

فرض کنید F ، E ، D پا های ارتفاعهای نظیر راس های C ، B ، A از مثلث ABC باشند. اگر M وسط ضلع BC باشد و دایره ای به قطر AM دایره ی محیطی مثلث ABC را در K قطع کند ، ثابت کنید BC ، EF ، AK همرسند.

[/center:03813b0d60]

mrbayat · 1389/3/23

برای حل این سوال ابتداAK , BC را امتداد می دهیم تا در نقطه ی X همدیگر را قطع کنند . حالا ثابت می کنیم E و F و X هم خط اند.
باید ثابت کنیم

منلائوس)

$\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BX}{XC}\cdot\frac{CE}{AE}=1 \Rightarrow \frac{AC\cdot Cos A}{BC\cdot Cos B}\cdot\frac{BX}{XC}\cdot\frac{BC\cdot Cos C}{AB\cdot Cos A}=1$

$\Rightarrow \frac{AC\cdot Cos C}{AB\cdot Cos B}\cdot\frac{BX}{XC}=1 \Rightarrow \frac{CD}{BD}\cdot\frac{BX}{XC}=1$

$\Rightarrow \frac{CD}{BD}=\frac{XC}{BX}$

حالا برای چهارضلعی های محاطی AKBC و AKDM قوت نقطه X رو مینویسیم

چون دایره به قطر AM است پس AKM=90 و می دانیم ADM=90 پس AKDM محاطی است)

$(AKBC)\rightarrow XK.XA=XB.XC$

$(AKDM)\rightarrow XK.XA=XD.XM$

$\Rightarrow XB.XC=XD.XM$

این رابطه رو به دوشکل می نویسیم:

$XB(XB+BC)=(XB+BD)(XB+\frac{BC}{2})$

$(XC-BC)XC=(XC-CD)(XC-\frac{BC}{2})$

اگه این دوتا رو ساده کنیم به این دوتا رابطه می رسیم:

$2.XB.DM=BD.BC$

$2.XC.DM=CD.BC$

باتقسیم این دو رابطه به هم داریم:

$\frac{CD}{BD}=\frac{XC}{BX}$

پس حکم ثابت شد.
اگه راه قشنگ تر و بهتری دارید بنویسید چون راهم قشنگ نیست.

mrbayat · 1389/3/23

با اجازه سوال بعد رو خودم میذارم:

[center:19d0f6af4e]

[/center:19d0f6af4e]فرض کنید

$ABC$

یک مثلث و

$l$

خطی گذرنده از

$C$

و موازی با

$AB$

باشد. نیمساز زاویه

$A$

،ضلع

$BC$

را در

$D$

و

$l$

را در

$E$

قطع می کند. نیمساز زاویه

$B$

،ضلع

$AC$

را در

$F$

و

$l$

را در

$G$

قطع می کند. اگر

$DE=FG$

،آنگاه نشان دهید

$CA=CB$

mrbayat · 1389/3/26

یکی بیاد جواب بده دیگه

نذارید این تاپیک بخوابه

mahdisaj · 1389/7/16

ببینم چی شد این تاپیک فراموش شد ههنوز که به 100 نرسیدیم قرار بود 0 تا 100 باشه تازه به 2 رسیده بودیم که فراموش شد .

این پستو زدم که به این تاپیک نوجه بیشتری بشه

rezashiri · 1389/9/11

[center:40b4e821f7]

$\300dpi {\color{red} 6}$

[/center:40b4e821f7]
من یه سوال راحت می ذارم (هرچند هنوز یه سوال حل نشده.)

خودم دو تا راه حل براش پیدا کردم ببینم شما چند تا دیگه پیدا می کنید؟

در مثلث متساوی الاضلاع ABC نقطه M را روی ضلع AC به طور دلخواه انتخاب می کنیم اگر BC را از طرف C به اندازه ای امتداد دهیم که BM=MN ثابت کنید CN=AM

mahdisaj · 1389/9/11

6 -

AC را به اندازه ی AM از طرف C ادامه می دهیم تا T بدست آید
چون MN=MB پس

$\widehat{MBC}=\widehat{MNB}\rightarrow \widehat{ABM}=\widehat{NMC}$

پس داریم :

$AB=MT,BM=MN,\widehat{ABM}=\widehat{TMN}\rightarrow \Delta ABM=\Delta MTN$

$\rightarrow AM=TN, \widehat{MTN}=60 , \widehat{TCN}=60\rightarrow CN=TN=AM$

mahdisaj · 1389/9/11

اینم از 5

چون AD نیمساز است پس :

$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$

چون l موازی AB است پس :

$\frac{BD}{CD}=\frac{AD}{DE}$

پس در نتیجه داریم :

$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{DE}$

(1)

به طریق مشابه می توان ثابت کرد :

$\frac{AB}{BC}=\frac{BF}{FG}$

(2)

از 1 و 2 داریم :

$\frac{AC}{BC}=\frac{BF}{AD}$

از طرفی به راحتی می توان ثابت کرد اگر در مثلثی یک ضلع از ضلع دیگری بزرگنر باشد آنگاه نیمساز وارد بر ضلع بزرگتر از کوچکتر از نیمساز وارد بر ضلع کوچکتر است . پس اگر AC>BC آنگاه BF<AD که تناقض است اگر AC<BC نیز چنین است پس باید [HIGHLIGHT=#ffffff]BC=AC[/HIGHLIGHT]

Olympiad · 1389/9/11

[center:f15caf139b]

$\300dpi {\color{red} 6}$

[/center:f15caf139b]
راه دوم :

نقطه ی T را به گونه ای انتخاب میکنیم که

$BT=BM\;,\;\widehat{CBT}=\widehat{MBA}$

... حالا از همنهشتی دو مثلث

$ABM,CBT$

و محاطی بودن

$MBTC$

و متساوی الساقین بودن

مثلث

$NBM$

استفاده میکنیم ...........

اگه متوجه نشدید بگید راه حل کامل رو بنویسم ......

m_math2010 · 1389/9/11

راه حال دیگر برای سوال ۶

به اندازهٔ MC روی BC جدا میکنیم تا K بدست بیاد
مثلث MKC متساوی الا اضلاع است
کافیست ثابت کنیم که BK=AM
که به وضوح دو مثلث BMK وMCN بنا بر دو ضلع و زاویه بین با هم برابرند
نتیجه میگیری که AM=BK=NC

mahdisaj · 1389/9/12

Olympiad گفت

[center:ffb61b72f9]

$\300dpi {\color{red} 6}$

[/center:ffb61b72f9]
راه دوم :

نقطه ی T را به گونه ای انتخاب میکنیم که

$BT=BM\;,\;\widehat{CBT}=\widehat{MBA}$

... حالا از همنهشتی دو مثلث

$ABM,CBT$

و محاطی بودن

$MBTC$

و متساوی الساقین بودن

مثلث

$ABN$

استفاده میکنیم ...........

اگه متوجه نشدید بگید راه حل کامل رو بنویسم ......

چرا مثلث ABN متساوی الساقین است ؟

Olympiad · 1389/9/12

mahdisaj گفت

ببخشید اشتباه تایپی بود !!!! منظورم مثلث

$NBM$

بود .....

rezashiri · 1389/9/12

اینم دو تا راه حل دیگه:

1- از M عمودی بر BC رسم می کنیم و از این که زاویه CMH ، برابر 30 است می شه جکم رو نتیجه گرفت

2- از M خطی موازی BC رسم می کنیم تا خط AB رو در K قطع کنه حالا نتیجه می گیریم مثلث MKB با مثلث MCN همنهشت و از اون برای اثبات حکم استفاده می کنیم.

چقدر راه حل پیدا شد

mahdisaj · 1389/9/12

خوب حالا سوال

در چهار ضلعی ABCD ،

$\widehat{BCD}=\widehat{CDA}$

و نیمساز زاویه ی

$\widehat{ABC}$

در نقطه ی E با ضلع CD برخورد می کند . ثابت کنید اگر

$AB=AD+BC$

آنگاه

$\widehat{AEB}=90$

mrbayat · 1389/9/12

7)
نقطه ی F را روی AB در نظر می گیریم به طوری که AF=AD در نتیجه BF=BC حالا چون زاویه های EFA و EDA مساویند و داشتیم EDA=ECB در نتیجه ECB=EFA یعنی چهارضلعی BCEF محاطی است .حالا داریم:

$\begin{Bmatrix}\hat{BEF}=\hat{BCF}=90-\frac{\hat{B}}{2} \\ \hat{FEA}=180-\hat{EAF}-\hat{EFA}=180-\frac{\hat{A}}{2}-\hat{D} \end{Bmatrix}$

$\Rightarrow \hat{BEA}=90-\frac{\hat{B}}{2}+180-\frac{\hat{A}}{2}-\hat{D}=90+(180-\frac{1}{2}(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}))=90$

mrbayat · 1389/9/12

[center:410a207016]

$\300dpi 8$

در مثلث

$\overset{\bigtriangleup }{ABC}$

داریم

$\hat{B}=2\hat{C}$

و نقطه ی

$D$

طوری درون مثلث قرار دارد که

$AB=AD$

و

$DB=DC$

. ثابت کنید:

$\hat{DCA}=30^{^{\circ}}$

[/center:410a207016]

fereidoon · 1389/9/13

بهتر نیست سطح سوالات رو مرحله 2یا3 ببریم(جدا زاویه بازی بسه!!!!)

هندسه صفر تا 100

New Member

New Member

New Member

پیوست ها

New Member

New Member

پیوست ها

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

Active Member