ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Dadgarnia · 1393/6/5

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

mohamadreza salehi گفت

فرض کنید

$\gcd (x,y)=d$

و داشته باشیم

$x=x_1d,y=y_1d$

با قرار دادن این رابطه در صورت سوال داریم:

$x_1^2+y_1^2=1997x_1y_1$

پس می توانیم از همان اول فرض کنیم

$\gcd (x,y)=1$

و داریم:

$(x+y)^2=1999xy\Rightarrow x+y|1999xy$

می دانیم که

$\gcd (x+y,xy)=1$

پس بنابر لم اقلیدس داریم:

$x+y|1999$

با توجه به اینکه 1999 اول است به راحتی می توان چک کرد که معادله جواب طبیعی ندارد.
سوال بعد:

$n$

عددی طبیعی است. ثابت کنید اگر

$2+2\sqrt{28n^2+1}$

عددی طبیعی باشد آنگاه مربع کامل است.

darya.f · 1393/6/6

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

http://latex.numberempire.com/render?28{n}^{2}+1={m}^{2}\Rightarrow%20%2028{n}^{2}=(m+1)(m-1)%20(M+1,m-1)=1\Rightarrow%20{n}^{2}=(m+1)(m-1)/28%20
مىدونىم که اگر دو عدد که نسبت بهم اول هستند ضربشون مربع کامل شه ,خودشون هم مربع کاملن پس با توزىع 28به مخرج دو پرانتز ىکسرى حالت به وجود مىاد که با چک کردن حکم نتىجه مىشه مثلا ىکى از حالات له اىن شکله:
m+1=2{x}^{2}%20,m-1=14{y}^{2}\Rightarrow%207{y}^{2}={x}^{2}-1%20%20%20%20%20%20%202+2m=2(2{x}^{2}+1-1)=4{x}^{2}\Rightarrow&sig=c5e92f507f2cf07f824fd7bfdea54d46

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

$P^{2}-p+1$

مکعب کامل شود ,تمام p ها را بىابىد

AHZolfaghari · 1393/6/6

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

darya.f گفت

$p^2-p=(x-1)(x^2+x+1)$

$p(p-1)=(x-1)(x^2+x+1)$

پس دو حالت داره یا p مضرب

$(x^2+x+1)$

هستش یا مضرب

$x-1$

$i ) p\vert x-1 \Rightarrow x^2+x+1 \vert p-1 \Rightarrow p<p-1$

که تناقض است پس :

$ii) p \vert x^2 + x + 1$

$p-1 = (x-1)k \Rightarrow p = (x-1)k + 1$

$x^2 + x + 1 = pt = ((x-1)k + 1)t$

$t \equiv 3 (mod x-1)$

پس t یا برابر 3 هستش یا از x+2 بزرگ تر هستش
حالتی که از x+2 بزرگتر باشه خیلی راحت به تناقض برمیخوره
پس t=3

$x^2 + x + 1 = 3 + 3k(x-1)$

$x^2 + x -2 = 3k(x-1)\Rightarrow k = \frac{x+2}{3}$

$p = (x-1)k + 1 = \frac{x^2 +x + 1}{t}$

$p = (x-1)\frac{x+2}{3} + 1 = \frac{x^2 +x + 1}{3}$

$x + 2 = 9\Rightarrow x=7 \Rightarrow p=19$

اگه اشتباه نکنم سوال بالکان یا جونیور بالکان بوده

سوال بعدی :
کلیه اعداد اول p,q را بیابید که

$p \vert 30q -1 , q \vert 30p -1$

هروقت سوال حل شد میگم سوال کجا بوده و چه سالی

darya.f · 1393/6/6

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

$\[P\mid30P, p\mid30q-1\Rightarrow P\mid30(P+q)-1 q\mid30q, q\mid30P-1\Rightarrow q\mid30(P+q)-1 (p,q)=1\Rightarrow pq\mid30(P+q)-1 P\prec q\Rightarrow 60P>q \Rightarrow P\leq59 P=7,q=11$

$p^2-p=(x-1)(x^2+x+1)$

$p(p-1)=(x-1)(x^2+x+1)$

پس دو حالت داره یا p مضرب

$(x^2+x+1)$

هستش یا مضرب

$x-1$

$i ) p\vert x-1 \Rightarrow x^2+x+1 \vert p-1 \Rightarrow p<p-1$

که تناقض است پس :

$ii) p \vert x^2 + x + 1$

$p-1 = (x-1)k \Rightarrow p = (x-1)k + 1$

$x^2 + x + 1 = pt = ((x-1)k + 1)t$

$t \equiv 3 (mod x-1)$

پس t یا برابر 3 هستش یا از x+2 بزرگ تر هستش
حالتی که از x+2 بزرگتر باشه خیلی راحت به تناقض برمیخوره
پس t=3

$x^2 + x + 1 = 3 + 3k(x-1)$

$x^2 + x -2 = 3k(x-1)\Rightarrow k = \frac{x+2}{3}$

$p = (x-1)k + 1 = \frac{x^2 +x + 1}{t}$

$p = (x-1)\frac{x+2}{3} + 1 = \frac{x^2 +x + 1}{3}$

$x + 2 = 9\Rightarrow x=7 \Rightarrow p=19$

اگه اشتباه نکنم سوال بالکان یا جونیور بالکان بوده

سوال بعدی :
کلیه اعداد اول p,q را بیابید که

$p \vert 30q -1 , q \vert 30p -1$

هروقت سوال حل شد میگم سوال کجا بوده و چه سالی

[/QUOTE]

AHZolfaghari · 1393/6/6

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

darya.f گفت

[/QUOTE]
راه حل شما درسته . حالتی که p,q اول نباشند هم میشه بررسی کرد . درواقع تو این مساله زیاد اینکه p,q اولند مهم نیست .
سوال TST سال 2013 بوسنی و هرزگوین بوده.
حالا این سوال :
دنباله

${a_i}$

رو اینطوری معین می کنیم بطوریکه k یک عدد طبیعی است

${a_1}= k+1 , {a_{n+1}}=a_n^2-ka_n+k$

برای m,n نابرابر اثبات کنید

$({a_m},{a_n})=1$

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

darya.f گفت

[/QUOTE]
ببخشید جواب هاتون ناقصه
(61و59) و (31و929) رو ننوشتید البته دیگه حواستون به تقارن باشه دیگه که برعکس شون هم جواب هست یعنی 6 تا جواب داره

darya.f · 1393/6/6

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

راه حل شما درسته . حالتی که p,q اول نباشند هم میشه بررسی کرد . درواقع تو این مساله زیاد اینکه p,q اولند مهم نیست .
سوال TST سال 2013 بوسنی و هرزگوین بوده.
حالا این سوال :
دنباله

${a_i}$

رو اینطوری معین می کنیم بطوریکه k یک عدد طبیعی است

${a_1}= k+1 , {a_{n+1}}=a_n^2-ka_n+k$

برای m,n نابرابر اثبات کنید

$({a_m},{a_n})=1$

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

[/QUOTE]
ببخشید جواب هاتون ناقصه
(61و59) و (31و929) رو ننوشتید البته دیگه حواستون به تقارن باشه دیگه که برعکس شون هم جواب هست یعنی 6 تا جواب داره[/QUOTE]
بله بله...حواسم نبود به اونا...:3:

math1998 · 1393/6/7

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

راه حل شما درسته . حالتی که p,q اول نباشند هم میشه بررسی کرد . درواقع تو این مساله زیاد اینکه p,q اولند مهم نیست .
سوال TST سال 2013 بوسنی و هرزگوین بوده.
حالا این سوال :
دنباله

${a_i}$

رو اینطوری معین می کنیم بطوریکه k یک عدد طبیعی است

${a_1}= k+1 , {a_{n+1}}=a_n^2-ka_n+k$

برای m,n نابرابر اثبات کنید

$({a_m},{a_n})=1$

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

[/QUOTE]
ببخشید جواب هاتون ناقصه
(61و59) و (31و929) رو ننوشتید البته دیگه حواستون به تقارن باشه دیگه که برعکس شون هم جواب هست یعنی 6 تا جواب داره[/QUOTE]

ابتدا با استقرا ثابت کنید به ازای هر

$n< m,d_{(a_{n},a_{m})}\mid k$

سپس ثابت کنید به ازای هر

$t\geqslant n$

داریم

$d_{(a_{n},a_{m})}\mid a_{t}$

و سپس ثابت کنید

$d_{(a_{n},a_{m})}\mid k+1$

mohamadreza salehi · 1393/6/7

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

خوبه که ماراتن گرم شد اگه راضی باشین سوال بعد من میذارم چون یه یه روزی اصن فعالیت نداشتم
تمام اعداد طبیعی را بیابید که

$x^{2}+y^{2}=1997(x-y)$

AHZolfaghari · 1393/6/7

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

math1998 گفت

ببخشید جواب هاتون ناقصه
(61و59) و (31و929) رو ننوشتید البته دیگه حواستون به تقارن باشه دیگه که برعکس شون هم جواب هست یعنی 6 تا جواب داره[/QUOTE]

ابتدا با استقرا ثابت کنید به ازای هر

$n< m,d_{(a_{n},a_{m})}\mid k$

سپس ثابت کنید به ازای هر

$t\geqslant n$

داریم

$d_{(a_{n},a_{m})}\mid a_{t}$

و سپس ثابت کنید

$d_{(a_{n},a_{m})}\mid k+1$

[/QUOTE]
میشه با یه کم بازی با رابطه اصلی اثبات کرد جمله n ام میشه حاصلجمع k با حاصلضرب جملات قبل از آن تا جمله اول بیان ریاضیش اینه :

$a_{n+1}=a_{n}a_{n-1}...a_{1}+k$

پس ب م م هردوتایی k رو میشماره .و خیلی راحت می فهمیم که تمامی جملات دنباله به پیمانه k یک هستند پس ب م م هردوتایی میشه یک !

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

mohamadreza salehi گفت

$x-y \vert x^2 + y^2 , x-y \vert x^2 - y^2\Rightarrow x-y \vert 2x^2 , x-y \vert 2y^2$

$x-y \vert 2(x,y)^2$

$(x,y)= d \Rightarrow x=ad , y=bd$

$d(a-b)\vert 2d^2 \Rightarrow a-b \vert 2d$

$d^2\vert x^2 + y^2 = 1997d(a-b)\Rightarrow d\vert 1997(a-b)$

اگر d و 1997 نسبت به هم اول باشند پس می توان نتیجه گرفت

$d\vert a-b$

هم چنین داشتیک

$a-b \vert 2d$

پس دو حالت دارید یا

$a-b =d$

یا

$a-b =2d$

حالا تو معادله اصلی جایگذاری می کنیم تو حالت اول این بدست میاد

$a^2 + b^2 = 1997$

که

$a=34 , b=29$

پس d برابر 5 میشه پس x=170 , y=145
حالت دوم به این معادله تبدیل میشه :

$a^2 + b^2 = 1997 \times 2$

که این هم فکر میکنم فقط این جواب رو داره

$a=63 , b =5$

پس ب م م میشه29 پس

$x=1827 , y=145$

اما حالتی که d , 1997 ب م م شون 1 نشه پس 1997 هستش پس 1997 x رو میشماره اما میشه اثبات کرد که x از 1997 کم تره پس تناقض پس دوجواب مذکور جواب مساله اند

math1998 · 1393/6/7

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

سوال بعد. همه ی اعداد طبیعی

$x,y,n$

را پیدا کنید که

$(x-y)^n=xy$

Dadgarnia · 1393/6/7

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

math1998 گفت

فرض مي كنيم

$\gcd (x,y)=d$

و

$x>y$

و داشته باشيم

$x=x_1d,y=y_1d$

پس داريم:

$d^{n-2}(x_1-y_1)^n=x_1y_1\Rightarrow x_1-y_1|x_1y_1\Rightarrow x_1-y_1|\gcd (x_1^2,y_1^2)=1\Rightarrow x_1=y_1+1$

$d^{n-2}=(y_1+1)y_1\Rightarrow y_1=a^{n-2},y_1+1=b^{n-2}\Rightarrow n=3\Rightarrow d=y_1(y_1+1)\Rightarrow x=y_1(y_1+1)^2,y=y_1^2(y_1+1)$

حالت ديگر هم به همين ترتيب بدست مي آيد.
سوال بعد:
اگر

$a,b,k$

اعدادي طبيعي باشند كه

$\frac{a^2+ab+b^2}{ab+1}=k$

ثابت كنيد k مربع كامل است.

math1998 · 1393/6/7

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Dadgarnia گفت

AHZolfaghari · 1393/6/10

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Dadgarnia گفت

راه حلش فکر میکنم با نزول نامتناهی باشه

Dadgarnia · 1393/6/10

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

AHZolfaghari گفت

تقريبا. سؤال ساده ايه فقط كافيه حالت

$a=b$

رو رد كنيد و فرض كنيد a,b اي موجود باشه كه k مربع كامل نباشه و

$\max (a,b)$

كوچكترين مقدار ممكن باشه و به تناقض برسيد.

AHZolfaghari · 1393/6/10

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

تمام n های طبیعی را بیابید بطوریکه

$3^n + 6^n + 2^n$

مربع کامل شود .

Dadgarnia · 1393/6/10

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

AHZolfaghari گفت

فرض مي كنيم

$3^n+6^n+2^n=m^2$

دو طرف رو به پيمانه ي 3 در نظر مي گيريم:

$(-1)^n \equiv m^2\equiv 1(\mod 3)\Rightarrow n=2k$

با قرار دادن اين رابطه در رابطه ي بالا داريم:

$3^{2k}(2^{2k}+1)=(m-2^k)(m+2^k)$

حالا چهار حالت رو در نظر مي گيريم:
١-

$m \equiv 1(\mod 3),k\equiv 1(\mod 2)$

داريم:

$\left.\begin{matrix} m-2^k|2^{2k}+1 & \\ 3^{2k}|m+2^k & \end{matrix}\right\} \Rightarrow 3^{2k}-2^k\leq m\leq 2^{2k}+2^k+1\Rightarrow 3^{2k}\leq 2^{2k}+2^{k+1}+1$

به ازاي k=1 رابطه ي بالا برقرار مي باشد كه جواب n=2 بدست مي آيد. براي k بزگتر از يك داريم:

$3^{2k}\leq 2^{2k}+2^{k+1}+1\leq 2^{2k+1}\Rightarrow (2+\frac{1}{4})^k\leq 2$

كه به وضوح تناقض است.
٢-

$m\equiv 1(\mod 3),k\equiv 0(\mod 2)$

داريم:

$\left.\begin{matrix} m+2^k|2^{2k}+1 & \\ 3^{2k} |m-2^k& \end{matrix}\right\} \Rightarrow 3^{2k}+2^k\leq m\leq 2^{2k}-2^k+1\Rightarrow 3^{2k}-2^{2k}+2^{k+1}-1\leq 0$

كه تناقض است. دو حالت ديگر هم به همين ترتيب بررسي مي شود كه تنها جواب n=2 است.

AHZolfaghari · 1393/6/10

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Dadgarnia گفت

بله درست است کاملا . خالی از لطف نیست اگه راه حلی که باهاش حل کردم این سوال رو هم بذارم:

$2^n + 3^n + 6^n + 1 = x^2 +1$

$(2^n +1)(3^n+1) = x^2 +1$

اگه n یه عامل p فرد داشته باشه در اون صورت

$3 \vert 2^p +1 \vert 2^n +1 \vert x^2 + 1$

که تناقض داره چون عدد مربع به پیمانه 3 دو حالت داره یک یا صفر که در هرصورت

$x^2 +1$

بر سه

بخش پذیر نمیشه . پس n عامل فرد نداره پس n توانی از دو هستش اگه بزرگتر مساوی چهار باشه در اون صورت رقم یکان

$2^ n + 3^n + 6^n$

برابر سه میشه که امکان نداره چون رقم

یکان مربع کامل همواره 0 یا 1 یا 4 یا 5 یا 6 یا 9 هستش پس n باید دو باشه که اگه چک کنیم نتیجه می شه که برقرار پس تنها جواب n=2 هستش .

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد :

همه x , y های طبیعی را بیابید که

$x(x+1)=y(y+2)$

. البته زیاد سخت نیست

Dadgarnia · 1393/6/10

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

واضحه كه

$x>y$

از طرفي داريم:

$(x-y)(x+y+1)=y\Rightarrow x+y+1\leq y\Rightarrow x\leq -1$

كه تناقض است پس جوابي وجود نداره.

AHZolfaghari · 1393/6/10

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

Dadgarnia گفت

درسته

اثبات کنید به ازای هر m,n طبیعی که m<n داریم :

$\frac{(m,n)}{n}\binom{n}{m}$

طبیعی است.

Dadgarnia · 1393/6/11

پاسخ : ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

AHZolfaghari گفت

فرض مي كنيم:

$n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{\alpha_i},m=\prod_{i=1}^{k}p_i^{\beta_i}$

ثابت مي كنيم توان هر عدد اولي كه مخرج رو ميشماره از توان همون عدد توي صورت كمتره. داريم:

$\gcd (n,m)=\prod_{i=1}^{k}p_i^{\min \left \{\alpha_i,\beta_i \right \}}\! , \frac{\gcd(n,m)}{n}\binom{n}{m}=\frac{\gcd(n,m)(n-1)!}{m!(n-m)!}$

پس كافي است براي هر

$1\leq k\leq m$

ثابت كنيم:

$\left \lfloor \frac{k}{p_i} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{n-k}{p_i} \right \rfloor\leq \left \lfloor \frac{n}{p_i} \right \rfloor-\alpha_i+\min\left \{ \alpha_i,\beta_i \right \}$

اگر

$\min \left \{ \alpha_i,\beta_i \right \}=\alpha_i$

در اين صورت حكم ثابت شده است پس فرض كنيد i اي موجود باشه كه اين رابطه بر قرار نباشه در اين صورت مي دانيم كه توان

$p_i$

در كسر

$\frac{n}{m}$

برابر با

$\alpha_i-\beta_i$

و در كسر

$\frac{\gcd(n,m)}{n}$

برابر با

$\beta_i-\alpha_i$

است كه حاصل ضرب اين دو توان صفر را به ما مي دهد حالا كافي است توان

$p_i$

در عبارت

$\frac{(n-1)!}{(m-1)!(n-m)!}=\binom{n-1}{m-1}$

را مورد بررسي قرار بدهيم كه در اين عبارت هم حكم بر قرار مي بأشد پس در كل حكم ثابت مي شود.

ماراتن نظریه اعداد (سطح مقدماتی)

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member