ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

ash1374 · 1393/1/7

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

nima-1376 گفت

یه راه طولانی تر هم تغییر متغیر x+y=2a[SUP]2[/SUP] و ایده های هندسیه که یکم طولانیه ولی بامزه ست.

همه ی توابع

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

رو پیدا کنید که برای هر x,y حقیقی :

$f(x^{2}+y+f(y))=2y+f(x)^{2}$

math · 1393/1/7

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

ash1374 گفت

من یه راه حل براش این جا گذاشتم :

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=3391948#p3391948

نکته جالب اینه که این سوال انتخاب تیم ایران سال 2007 بوده و در سال 2005 در ml بیان شده بوده !!!!

http://www.artofproblemsolving.com/...ear=2007&sid=26cbd228531402be110acf1093d3babb

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=38&t=38603

nima-1376 · 1393/1/7

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

ash1374 گفت

راهنمایی

$f(a)=0\rightarrow f(0)^{2}=-2a,x\rightarrow -x\Rightarrow f(x)=\pm f(-x)\rightarrow f(-a)=0,f(0)^{2}=2a\rightarrow a=0,x,y> 0 y\rightarrow f(y)/2\rightarrow f(x+y)=f(x)+f(y)$

ash1374 · 1393/1/8

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

سوال بعدی:

$f,g$

چند جمله ای هایی با ضرایب صحیح هستند که

$f(g(x))=x^{1393}+2x+1$

. ثابت کنید درجه ی یکی از این دو چندجمله ای 1 است.

mahdi math · 1393/1/8

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

ash1374 گفت

خب جواب من اینه :
اولا اگه دو چند جمله ای معرفی شده در سوال رو به شکل زیر بنویسیم

آنگاه میدانیم اگر مقدار تابع g را در بزرکترین توان x در تابع f قرار ذهیم رگترین توان تابع fog بدست می آید که در ساده ترین شکل حضور دارد(توانی که حتما وجود دارد
حال بزرگترین توان تابع fog یا در واقع درجه ی آن برابر mn است )
در عبارت تابع ترکیبی فوق بزرگترین توان 1393 هست پس
mn=1393
یعنی 4 حالت وجود دارد
m=7 n=199
n=7 m=199
n=1 m=1393
n=1393 m=1
به ازای دو حالت دوم حکم اثبات میشود پس دو حالت اول را رد میکنیم
برای x با توان 1 در fog باید جمله درجه 1 در g در مکان جمله درجه 1 در f قرار گیرد
از طرفی چون در تابع fog جمله ای با توان 199 نداریم و تنها شکل آن جمله درجه 1 در g در مکان جمله درجه 199 در f است پس باید ضریب آن صفر شود اگر چنین حالتی پیش آید جمله ای با درجه 1 در fog نخواهیم داشت پس این حالت غیر قابل قبول است
به همین ترتیب حالت دیگر را رد میکنیم (این بار جمله درجه 199 با ضریب صفر بدست میاید که غ غ ق است و ردمیشود)
و بدین ترتیب حکم ثابت میشود
ببخشید در تعریف g و f جملات درجه صفرو لحاظ نکردم خودتون دقت کنید:15::224:

ash1374 · 1393/1/8

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

mahdisamimi گفت

خب جواب من اینه :
اولا اگه دو چند جمله ای معرفی شده در سوال رو به شکل زیر بنویسیم

آنگاه میدانیم اگر مقدار تابع g را در بزرکترین توان x در تابع f قرار ذهیم رگترین توان تابع fog بدست می آید که در ساده ترین شکل حضور دارد(توانی که حتما وجود دارد
حال بزرگترین توان تابع fog یا در واقع درجه ی آن برابر mn است )
در عبارت تابع ترکیبی فوق بزرگترین توان 1393 هست پس
mn=1393
یعنی 4 حالت وجود دارد
m=7 n=199
n=7 m=199
n=1 m=1393
n=1393 m=1
به ازای دو حالت دوم حکم اثبات میشود پس دو حالت اول را رد میکنیم
برای x با توان 1 در fog باید جمله درجه 1 در g در مکان جمله درجه 1 در f قرار گیرد
از طرفی چون در تابع fog جمله ای با توان 199 نداریم و تنها شکل آن جمله درجه 1 در g در مکان جمله درجه 199 در f است پس باید ضریب آن صفر شود اگر چنین حالتی پیش آید جمله ای با درجه 1 در fog نخواهیم داشت پس این حالت غیر قابل قبول است
به همین ترتیب حالت دیگر را رد میکنیم (این بار جمله درجه 199 با ضریب صفر بدست میاید که غ غ ق است و ردمیشود)
و بدین ترتیب حکم ثابت میشود
ببخشید در تعریف g و f جملات درجه صفرو لحاظ نکردم خودتون دقت کنید:15::224:

من که نفهمیدم منظورتون از "جمله درجه 1 در g در مکان جمله درجه 1 در f قرار گیرد" چیه؟؟؟

مثلا اگر f درجه 7 باشه اونوقت fog یه چیزی میشه مثل :

$a_{7}g(x)^{7}+a_{6}g(x)^{6}+...+a_{1}g(x)+a_{0}$

که همه ی جمله هاش میتونن جمله ی درجه 1 تولید کنن و مهم اینه که برایند این جملات چی بشه...

Mostafa_ · 1393/1/8

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

math گفت

یه سوال ml کجاست؟

AHZolfaghari · 1393/1/8

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Mostafa_ گفت

همون mathlinks منظورشون هست .
یه نمونه دیگه :
سوال یک TST 2005 فرانسه همون سوال یک مرحله دو سال 1376 ایرانه !!

mahdi math · 1393/1/9

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

ash1374 گفت

منظور جمله ایه که در f یا g توان x در اون یکه

ash1374 · 1393/1/9

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

mahdisamimi گفت

منظور از جمله درجه یک رو میدونم. اون جا که گفتین در مکان جمله ی درجه 1 f رو نمی فهمم. به بخش دوم پستم دقت کنین شاید مشکل حل بشه. دوباره اینجا می نویسمش:

"مثلا اگر f درجه 7 باشه اونوقت fog یه چیزی میشه مثل :

$a_{7}g(x)^{7}+a_{6}g(x)^{6}+...+a_{1}g(x)+a_{0}$

که همه ی جمله هاش میتونن جمله ی درجه 1 تولید کنن و مهم اینه که برایند این جملات چی بشه... "

math · 1393/1/9

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

ash1374 گفت

راهنمایی :

از خواص چند جمله ایه مینیمال استفاده کنید .

Mostafa_ · 1393/1/9

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

math گفت

اینی که گفتید یعنی چی؟

ash1374 · 1393/1/9

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

math گفت

تا حالا با مینیمال حلی برای این سوال ندیدم. میشه حل کامل بگذارید؟

به علاوه کلاً توی ماراتن ها بهتره حل کامل بگذارید و از لینک دادن و راهنمایی بپرهیزید(بجز کسی که سوال رو گذاشته که میتونه بعد از یک مدتی راهنمایی یا لینک بده).

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

Mostafa_ گفت

اگر a یک عدد حقیقی باشه f(x) با ضرایب گویا رو چند جمله ای مینیمال a میگن وقتی که بین همه ی چند جمله ای هایی که a ریشه ی اون هاست، f کمترین درجه را داشته باشد. این چند جمله ای خیلی خواص خوبی داره...

mohy1376 · 1393/1/10

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

یه سوال؟
با استفاده از چه نامساوی اینجوری شد؟

$\leq \sum \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1$

AHZolfaghari · 1393/1/10

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

mohy1376 گفت

باید مخرجو کوچک کنیم دیگه . رو هر کدوم از پرانتزهای زیر رادیکال مخرج حسابی هندسی بزن بعد رادیکال x رد از صورت و مخرج ساده کن. فکر کنم این جوریه

mohy1376 · 1393/1/10

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

AHZolfaghari گفت

[FONT=Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif]آره جواب داد.دیگه فک نکن ،مطمئن باش.[/FONT]:95:

ash1374 · 1393/1/12

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

ash1374 گفت

راهنمایی: مشتق بگیرید و از لم آیزنشتاین استفاده کنید.

mohy1376 · 1393/1/12

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

ash1374 گفت

خوب اگه مشتق بگیریم میشه:

$g'(x).f'(g(x))=1393x^{1392}+2$

طبق لم آیزنشتاین :

$p=2\rightarrow p|a_k,k\in[0,n-1],p\not{|}a_n,p^2\not{|}a_0$

پس چند جمله ای

$1393x^{1392}+2$

به حاصلضرب دو چند جمله ای با ضرایب صحیح تجزیه نمی شود از طرفی چون f,g صحیح الضرایب هستند و مشتق آنها هم ضرایب صحیح دارد پس یکی از 'f یا 'g باید عدد باشد پس یکی از f یا g درجه یک هستند.

ash1374 · 1393/1/20

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

سوال بعدی(کمی ساده تر از قبلی):

اگر

$\alpha$

ریشه حقیقی چندجمله ای

$x^{5}-x^{3}+x-2$

باشد ثابت کنید :

$\left \lfloor \alpha ^{6} \right \rfloor=3$

AHZolfaghari · 1393/1/21

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

ash1374 گفت

در واقع باید اثبات کنیم

$\alpha ^6$

از سه بزرگتر است و از چهار کوچکتراست.
برای قسمت دوم: داریم :

$\alpha ^5 - \alpha ^ 3+ \alpha= 2$

و همچنین :

$\alpha ^ 5 - \alpha ^ 3 + \alpha > \alpha ^ 3$

پس

$\alpha ^3 < 2$

پس

$4 > \alpha ^ 6$

$\alpha ^5 - \alpha ^ 3+ \alpha= 2$

$\alpha (\alpha^4 - \alpha^2 + 1)=2$

$\alpha (\alpha^6+ 1)=2(\alpha ^2 + 1)$

$(\alpha^6+ 1)=2\frac{(\alpha ^2 + 1)}{\alpha } \geq 2(\alpha +\frac{1}{\alpha })$

که اینم بزرگ تر مساوی چهار هستش پس آلفا به توان شش از سه بزرگتر است پس براکت آلفا به توان شش میشه سه

ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

Well-Known Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member