ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

darya.f · 1393/7/21

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

$abc\leq 1 , 1+2b ^{2}c\leq\frac{a+2b}{a}\rightarrow \sum \frac{1}{1+2b^{2}c}\geq \sum \frac{a}{a+2b}, \rightarrow soorato makhraj zarb dar a= \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2ab}\rightarrow kooshi karbordi :\geq\frac{(a+b+c)^{2}}{\sum a^{2}+2\sum ab}= 1$

darya.f · 1393/7/22

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

$f(m+22)=f(m), f(m^{2}n)=f(m)^{2}f(n)$

تابع رو از Nبه R بىابىد

Dadgarnia · 1393/7/22

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

darya.f گفت

ابتدا واضح است که

$f(1)=1,f(m)=f(m+22k) \ \forall k\in \mathbb{N}$

حالا اگر ما ثابت کنیم برای هر n به طوریکه

$1\leq n\leq 21$

، k ای طبیعی وجود دارد که

$22k+n\equiv 0(mod \ n^2)$

می توانیم بدست بیاوریم

$f(n)=1$

برای هر n طبیعی. برای n=11,2 که حکم مورد نظر بدیهتا برقرار است پس می توانیم فرض کنیم

$\gcd(n,22)=1$

. اگر رابطه ی مورد نظر برقرار باشه باید L ای طبیعی وجود داشته باشه به طوریکه:

$n^2l-n\equiv 0(mod \22)\Rightarrow nl\equiv 1(mod \ 22)$

پس کافیه L وارون ضربی n به پیمانه 22 باشه که با توجه به این که داریم

$\gcd(n,22)=1$

چنین L ای وجود داره پس

$f(n)=1$

تنها جواب این سواله.

math1998 · 1393/7/22

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

ابتدا واضح است که

$f(1)=1,f(m)=f(m+22k) \ \forall k\in \mathbb{N}$

حالا اگر ما ثابت کنیم برای هر n به طوریکه

$1\leq n\leq 21$

، k ای طبیعی وجود دارد که

$22k+n\equiv 0(mod \ n^2)$

می توانیم بدست بیاوریم

$f(n)=1$

برای هر n طبیعی. برای n=11,2 که حکم مورد نظر بدیهتا برقرار است پس می توانیم فرض کنیم

$\gcd(n,22)=1$

. اگر رابطه ی مورد نظر برقرار باشه باید L ای طبیعی وجود داشته باشه به طوریکه:

$n^2l-n\equiv 0(mod \22)\Rightarrow nl\equiv 1(mod \ 22)$

پس کافیه L وارون ضربی n به پیمانه 22 باشه که با توجه به این که داریم

$\gcd(n,22)=1$

چنین L ای وجود داره پس

$f(n)=1$

تنها جواب این سواله.

این بیشتر نظریه بود

اگر

$a,b,c\in \mathbb{R}^{+}$

و

$abc=2$

ثابت کنید :

$a^3+b^3+c^3\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}$

Dadgarnia · 1393/7/22

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

math1998 گفت

داريم:

$(\frac{\sum a\sqrt{b+c}}{3})^2\leq \frac{\sum (a^2b+ab^2)}{3}$

پس براي اثبات حكم بايد نشان دهيم:

$\frac{\sum (a^2b+ab^2)}{3}\leq (\frac{\sum a^3}{3})^2\Leftrightarrow 3\sum (a^2b+ab^2)\leq (\sum a^3)^2$

از طرف ديگر مي دانيم:

$3\sum (a^2b+ab^2)+6abc\leq 8\sum a^3$

پس بايد ثابت كنيم:

$8\sum a^3-12\leq (\sum a^3)^2\Leftrightarrow (\sum a^3-6)(\sum a^3-2)\geq 0$

كه صحيح است.

darya.f · 1393/7/22

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

نامساوى اولتون چرا درسته؟

Dadgarnia · 1393/7/22

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

darya.f گفت

نامساوي حسابي - توافقيه.

darya.f · 1393/7/22

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

ااها بله...من کوشى زدم شد اىن

$(\sum a\sqrt{b+c})^{2}\leqslant 3\sum( a^{2}b+a^{2}c)$

...ىه لحظه فک کردم شمام کوشى زدىن ..بعدن سمت راستش اون نمىشد دىگه..اما خب در کل همونى مىشه که شما نوشتىن؛)

AHZolfaghari · 1393/7/22

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

حالا من یه سوال میذارم ! البته پیش بینی میکنم که این سوال تاپیک رو بخوابونه !!! اما زیاد روش نمونید !! حل نشد هم نشد !! سوال سختی هستش . بدجور<br>اما اگه خواستید میتونید فکر کنید !!!<br>تمام توابع f از اعداد حقیقی به خودش را بیابید که برای هر دو عدد حقیقی ناصفر x,y داشته باشیم

$f(x^3 + y^3 ) = f(x+y)(\frac{f(x^2y)}{f(y)}+\frac{f(xy^2)}{f(x)})-f(xy(x+y))$

math1998 · 1393/7/23

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

AHZolfaghari گفت

اشتباه نکرده باشم جواب باید تابع ثابت باشه

$f(0)=c$

:

$p(x,0)\Rightarrow f(x^3)=f(x)[\frac{c}{c}+\frac{c}{f(x)}]-c=f(x)$

$p(x,x)\Rightarrow f(2x^3)=f(2x)[\frac{f(x^3)}{f(x)}+\frac{f(x^3)}{f(x)}]-f(2x^3)=2f(2x)-f(2x^3)\Rightarrow f(2x)=f(2x^3)$

$p(2x)\Rightarrow f(2x)=f(8x^3)=f(2x^3)\Rightarrow p(\sqrt[3]{x})\Rightarrow f(2x)=f(8x)\Rightarrow f(x)=f(\frac{x}{4})$

$f(x)=f(\frac{x}{4^n})$

$\lim_{n \to \infty }f(x)=f(0)=c$

Dadgarnia · 1393/7/23

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

math1998 گفت

شما اگه دقت كنيد مي بينيد كه سوال گفته براي هر دو عدد حقيقي ناصفر x,y در ضمن تابع هماني توي صورت سوال صدق مي كنه و تابع كه پيوسته نيست پس نمي تونيم حد بگيريم.

math1998 · 1393/7/23

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

نمیدونم این یکی درست باشه یا نه اما یه دفع به ذهنم رسید اگه اشتباه با دلیل بگید :

$p(x,x)\Rightarrow f(2x^3)=f(2x)[\frac{f(x^3)}{f(x)}]$

حالا تعریف میکنیم

$f(x)=xf_{1}(x)$

$p(x,x)\Rightarrow f_{1}(2x^3)=f_{1}(2x)[\frac{f_{1}(x^3)}{f_{1}(x)}]$

میبینیم دو ضابطه یکسانن پس دارای یک جوابن با استقرا میتونیم بگیم

$p(x,x)\Rightarrow f_{n}(2x^3)=f_{n}(2x)[\frac{f_{n}(x^3)}{f_{n}(x)}]$

$f_{n}(x)=x^nf(x)$

پس با توجه به اینکه

$n$

میتواند تا بی نهایت میل کنه پس میتونیم یه چندجمله ای

$p(x)=f_{n}(x)-f_{n-1}(x)$

با توجه به اینکه بی نهایت ریشه داره پس متحد با صفره پس

$f(x)=c$

. تنها اشکال فک مینن این باشه که من یه متغیرو در نظر گرفتم اما خوب به هرحال واس خودم جالب بود .

Dadgarnia · 1393/7/23

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

math1998 گفت

نمیدونم این یکی درست باشه یا نه اما یه دفع به ذهنم رسید اگه اشتباه با دلیل بگید :

$p(x,x)\Rightarrow f(2x^3)=f(2x)[\frac{f(x^3)}{f(x)}]$

حالا تعریف میکنیم

$f(x)=xf_{1}(x)$

$p(x,x)\Rightarrow f_{1}(2x^3)=f_{1}(2x)[\frac{f_{1}(x^3)}{f_{1}(x)}]$

میبینیم دو ضابطه یکسانن پس دارای یک جوابن با استقرا میتونیم بگیم

$p(x,x)\Rightarrow f_{n}(2x^3)=f_{n}(2x)[\frac{f_{n}(x^3)}{f_{n}(x)}]$

$f_{n}(x)=x^nf(x)$

پس با توجه به اینکه

$n$

میتواند تا بی نهایت میل کنه پس میتونیم یه چندجمله ای

$p(x)=f_{n}(x)-f_{n-1}(x)$

با توجه به اینکه بی نهایت ریشه داره پس متحد با صفره پس

$f(x)=c$

. تنها اشکال فک مینن این باشه که من یه متغیرو در نظر گرفتم اما خوب به هرحال واس خودم جالب بود .

چرا

$f_n(x)-f_{n-1}(x)$

يه چند جمله ايه؟

math1998 · 1393/7/23

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

حالا اصلا بی خیال اون چندجمله ای هم نباشه معلومه که تابع ثابته فقط میخوام بدونم راه حل درسته یا نه ؟؟!!

Dadgarnia · 1393/7/23

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

math1998 گفت

نه دیگه تابع

$f(x)=x$

هم صدق می کنه ولی ایدتون قشنگ بود.

math1998 · 1393/7/23

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

حق با شماست اما حالا میدونیم به هر طریقی بریم نمیتونیم تابع ثابتش رو بدست بیاریم حالا با راه من میدونیم که تابع ثابتش 0 حالا سوال اینه که هر تابع ثابتی صدق میکنه یا فقط همون صفره البته به قول شما همانی هم صدق میکنه که البته به دست اوردن اون یکم یا بیشتر سخته !!!

Dadgarnia · 1393/7/23

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

math1998 گفت

واضحه که هر تابع ثابتی غیر از صفر صدق می کنه به نظر منم باید اثباتش خیلی سخت باشه.

AHZolfaghari · 1393/7/23

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

تابع f(x) = cx صدق میکنه .

math1998 · 1393/7/23

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

AHZolfaghari گفت

فک نکنم با جایگذاری به راحتی حل بشه احتمالا ایده ی دیگه ای داره!!!!!!!!!1

math1998 · 1393/7/24

پاسخ : ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

ببین ا.ذ. هم گفت تابع

$cx$

هم صدق میکنه خب ایده ی قبلیمو میتونیم تعمیم بدیم و بگیم تابع

$cx^n,n\in \mathbb{N}$

هم صدق میکنه اما میدونیم فقط به ازای

$n=1$

صحیحه خب پس حل من ناقصه و خودمم میدونم فقط میخوام اشکالشو پیدا کنم !!! ببخشید این سوال اخر حل نشد بگید مال کجاست البته راحت ازش نگذریم سوال خوبیه اقای ا.ذ. خودتون اگه راه حل دارید بذار !!!

ماراتن جبر (سطح پیشرفته)

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member