ماراتن نامساوي

REZA 73 · 1393/9/22

پاسخ : ماراتن نامساوي

اصلا راه حل خودتون چیه؟سوال کجا بوده ؟

Dadgarnia · 1393/9/22

پاسخ : ماراتن نامساوي

سوال كره بوده: AoPS Forum - Maximum with condition a^2 + b^2 + c^2 = 2abc + 1 • Art of Problem Solving راه حل منم خيلي شبيه به يكي از راه حل هايي كه اونجا نوشته هست ولي اگه بخواين مي تونم اينجا بنويسم. اگه شما موفق به كامل كردن راه حلتون شدين (بدون استفاده از لاگرانژ لطفا) همينجا بنويسين.
سوال بعد:
براي اعداد مثبت

$a,b,c,d$

رابطه ي

$2(a+b+c+d)\geq abcd$

برقرار است. ثابت كنيد:

$a^2+b^2+c^2+d^2\geq abcd$

REZA 73 · 1393/9/22

پاسخ : ماراتن نامساوي

Dadgarnia گفت

با استفاده از لاگرانٰژ و تبدیل شرط به :

$a+b+c+d=\frac{k}{2}abcd.......k\geq 1$

$1-\frac{k}{2}bcd=\lambda (2a-bcd)$

$1-\frac{k}{2}acd=\lambda (2b-acd)$

$1-\frac{k}{2}abd=\lambda (2c-abd)$

$1-\frac{k}{2}abc=\lambda (2d-abc)$

حالا اگه پرانتز ها رو از هم کم کنیم به راحتی نتیجه میشه a=b=c=dیعنی هر کدوم میشه:

$\frac{2}{\sqrt[3]{k}}$

با جایگذاری در معادله به راحتی حالت مینیمم به دست می آید و البته از

$k\geq 1$

هم استفاده میشه که خیلی سادست.

Dadgarnia · 1393/9/22

پاسخ : ماراتن نامساوي

REZA 73 گفت

من خيلي در مورد لاگرانژ نمي دونم ولي فكر كنم درستش اينجوري باشه:

$2a-bcd=\lambda\left ( 1-\frac{k}{2}bcd \right )$

REZA 73 · 1393/9/22

پاسخ : ماراتن نامساوي

Dadgarnia گفت

فرقی نمیکنه اون یه ضریبه، در کل در روش لاگرانژ گرادیان ها موازی فرض میشن.:3:

Dadgarnia · 1393/9/22

پاسخ : ماراتن نامساوي

سوال بعد:
برای اعداد مثبت

$a,b,c$

با شرط

$ab+bc+ca=abc$

ثابت کنید:

$\sqrt{ab+c}+\sqrt{bc+a}+\sqrt{ca+b}\geq \sqrt{abc}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

منتظرالمهدی · 1393/9/22

پاسخ : ماراتن نامساوي

Dadgarnia گفت

$x=\frac{1}{a},y = \frac{1}{b},z=\frac{1}{c}\Rightarrow x+y+z=1$

نامساوی هم ارز است با:

$\sum{\sqrt{xy+z(x+y+z)}}\ge 1+\sum\sqrt{xy}$

روی هر ترم سمت چپ کوشی می زنیم:

$\sqrt{(z+x)(z+y)}\ge z + \sqrt{xy}$

و مساله حل می شود

Dadgarnia · 1393/9/22

پاسخ : ماراتن نامساوي

منتظرالمهدی گفت

لطفا سوال بعد رو هم بذارين.

منتظرالمهدی · 1393/9/22

پاسخ : ماراتن نامساوي

فرض کنید

$x_1,x_2,\dots,x_n$

اعدادی حقیقی و مثبت هستند. نشان دهید اعداد

$a_1,a_2,\dots,a_n\in\{-1,1\}$

وجود دارند که

$a_1x_1^2+a_2x_2^2+\dots+a_nx_n^2\ge (a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n)^2$

Dadgarnia · 1393/9/23

پاسخ : ماراتن نامساوي

منتظرالمهدی گفت

فرض مي كنيم

$x_1\geq x_2\geq \cdots \geq x_n$

باشه ضرايب رو قرار ميديم:

$a_i=(-1)^{i+1}$

ابتدا فرض مي كنيم

$n$

فرد باشه. نامساوي هم ارزه با:

$(x_1-x_2)((x_2-x_3)+(x_4-x_5)+\cdots +(x_{n-3}-x_{n-2}))+$

$(x_{n-1}-x_n)((x_{n-2}-x_{n-3})+(x_{n-4}-x_{n-5})+\cdots +(x_3-x_4))+$

$(x_1-x_2)(x_{n-1}-x_n)\geq 0$

كه درستي اين نامساوي با توجه به فرضي كه كرديم بديهيه. حالا اگه

$n$

زوج باشه با توجه به درستي نامساوي در حالت قبل داريم:

$\sum_{i=1}^{n-1}a_ix_i^2-x_n^2\geq \left ( \sum_{i=1}^{n-1}a_ix_i \right )^2-2x_n\sum_{i=1}^{n-1}a_ix_i+x_n^2\Leftrightarrow \sum_{i=1}^{\frac{n}{2}}(x_{2i-1}-x_{2i})\geq 0$

كه درستي اين نامساوي هم بديهيه.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
اگر

$x,y,z> 0,k> 2$

و

$a=x+ky+kz,b=kx+y+kz,c=kx+ky+z$

ثابت كنيد:

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{c}{z}\geq \frac{3}{2k+1}$

REZA 73 · 1393/9/23

پاسخ : ماراتن نامساوي

Dadgarnia گفت

کلا چیزی که واضحه نامساوی همگنه پس فرض میکنیم :x+y+z=1
حالا اگه تابع f رو برابر((x/(x+k(1-x تعریف کنیم به راحتی با دوبار مشتق گرفتن و استفاده از این که k بزرگتر از دو هست و x هم بین صفر و یکه نتیجه میشه تابع محدبه ، پس مقدار مینیمم اون به ازای3/( x+y+z )به دست میاد(قضیه ی ینسن) که برابر یک سومه و مساله به راحتی حل میشه

Dadgarnia · 1393/9/23

پاسخ : ماراتن نامساوي

REZA 73 گفت

راهتون درسته ولي اين سوال خيلي ساده تر از اينه كه بخواد با ينسن حل بشه لطفا سعي كنين از نامساوي هاي ساده تر استفاده كنين (اينو تا چند وقت پيش همه به خودم مي گفتن :4

براي مثال توي اين سوال با يه كوشي سوال حل ميشه البته استفاده از نامساوي هايي مثل ينسن هم مهارت بالايي مي خواد.
لطفا سوال بعد رو هم بذارين.

REZA 73 · 1393/9/23

پاسخ : ماراتن نامساوي

Dadgarnia گفت

بله حق با شماست!!! دیگه وقت المپیاد از من گذشته واسه همین خیلی به سوالات جدید دسترسی ندارم پس بهتر خودتون سوال بذارید

Dadgarnia · 1393/9/23

پاسخ : ماراتن نامساوي

سوال بعد:
براي اعداد مثبت

$a,b,c$

با شرط

$\sum_{cyc}ab=1$

ثابت كنيد:

$\sum_{cyc}\sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}\leq \frac{1}{abc}$

aras2213 · 1393/9/23

پاسخ : ماراتن نامساوي

Dadgarnia گفت

AoPS Forum - ab+bc+ca = 1 • Art of Problem Solving

M_Sharifi · 1393/9/23

پاسخ : ماراتن نامساوي

REZA 73 گفت

اون نابرابری در حالت a<1 لزوما درست نیست. مثلا

$(a,b,c)=(0.988\ldots,0.8,0.7)$

aras2213 · 1393/9/23

پاسخ : ماراتن نامساوي

سوال بعد

206

برای اعداد حقیقی و مثبت a,b,c نشان دهید که:

$(a^2+b^2+c^2)^2\geq 3(a^3b+b^3c+c^3a)$

.

AHZolfaghari · 1393/9/23

پاسخ : ماراتن نامساوي

aras2213 گفت

نابرابری که به واسک معروفه !!!!

$\frac{1}{2}[(a^2 - 2ab + bc - c^2 + ac) + (b^2 - 2bc + ac + - a^2 + ab)^2 +(c^2-2ac+ab-b^2+bc)^2]$

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد :
a,b,c اعداد مثبت اند بطوریکه

$a^3 + b^3 = c^3$

ثابت کنید

$a^2 + b^2 - c^2 \geq 6 (c-a)(c-b)$

REZA 73 · 1393/9/23

پاسخ : ماراتن نامساوي

M_Sharifi گفت

بله! چیزی که مشهوده اینه که حق با شماست برای حالتی که اون نامساوی برقرار نیست باید راه حلمو کامل کنم. :39:

aras2213 · 1393/9/24

پاسخ : ماراتن نامساوي

AHZolfaghari گفت

$x=\frac{a}{c},y=\frac{b}{c}\rightarrow x^3+y^3=1$

.با جایگذاری در صورت سوال کافی است ثابت کنیم که :

$x^2+y^2-1\geq 6(1-x)(1-y)\Leftrightarrow x^2+y^2-1\geq 6-6(x+y)+6xy$

پس اگر

$s=x+y,p=xy$

، کافیست ثابت کنیم:

$s^2-2p-1\geq 6p-6s+6\Leftrightarrow s^2+6s\geq 8p+7\Leftrightarrow s^3+6s^2\geq 8ps+7s$

از طرفی

$x^3+y^3= 1\rightarrow ps=\frac{s^3-1}{3}$

.پس با جایگذاری کافیه که ثابت کنیم:

$-5s^3+18s^2-21s+8\geq 0\Leftrightarrow (s-1)^2(\frac{16}{10}-s)\geq 0$

.

پس کافیه که ثابت کنیم :

$x^3+y^3=1\rightarrow x+y\leq \frac{16}{10}$

که این هم سخت نیست.

انشا... که جوب نداره:4:

ماراتن نامساوي

آيا شما مايل به راه افتادن تاپيك ماراتن نامساوي مي باشي

بله

خير

Active Member

New Member

Active Member

New Member

Active Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Active Member

New Member

Active Member

New Member

New Member

راهبر ریاضی

New Member

Well-Known Member

Active Member

New Member