ماراتن نامساوي

Dadgarnia · 1393/9/24

پاسخ : ماراتن نامساوي

سوال بعد:
اگر

$a,b,c$

اعدادي مثبت با شرط

$abc=1$

باشند نشان دهيد:

$\frac{a}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)(c+1)}+\frac{c}{(c+1)(a+1)}\geq \frac{3}{4}$

aras2213 · 1393/9/24

پاسخ : ماراتن نامساوي

Dadgarnia گفت

هی میخوام فیزیک بخونم نمیشه:33::4:
ابتدا دقت کنید که:

$\sum \frac{a}{(a+1)(b+1)}=\sum \frac{b}{(a+1)(b+1)}$

.پس کافی است ثابت کنیم که:

$\sum \frac{a+b}{(a+1)(b+1)}\geq \frac{3}{2},a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}\Leftrightarrow \sum \frac{y^2+xz}{(y+z)(y+x)}\geq \frac{3}{2}$

حالا طبق کوشی داریم:

$\sum \frac{y^2}{(x+y)(z+y)}\geq \frac{(\sum y)^2 }{\sum (x+y)(y+z)}\geq \frac{3}{4}$

و

$\sum \frac{xz}{(x+y)(z+y)}\geq \frac{(\sum xz)^2 }{\sum xz(x+y)(y+z)}\geq \frac{3}{4}$

.از جمع این دو نامساوی حکم نتیجه میشه.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:

$a,b,c\in \mathbb{R}^+,a+b+c=1\rightarrow \sum \frac{1}{bc+a+\frac{1}{a}}\leq \frac{27}{31}$

math1998 · 1393/9/24

پاسخ : ماراتن نامساوي

aras2213 گفت

$\sum \frac{1}{bc+a+\frac{1}{a}}\leq \sum \frac{1}{bc+2}\leq \frac{27}{31}$

حالا میتونیم نامساوی رو خطی کنیم و با شرط مجموع یک همگنش کنیم چرا که تو هر مرحله میتونیم با استفاده از این درجه های دو طرف رو برابر کنیم و بعد هم مورهد میزنیم!!!!

aras2213 · 1393/9/24

پاسخ : ماراتن نامساوي

math1998 گفت

ببخشید که من نمیفهمم یعنی شما میگید که

$\sum \frac{1}{bc+2}\leq \frac{27}{31}$

؟ اگه این طوریه این نامساوی برای a=b=c=1/3 نادرسته.

math1998 · 1393/9/24

پاسخ : ماراتن نامساوي

aras2213 گفت

حق با شماست اخه کامل حل نکردم نامساوی رو یکم ضعیف کردم با اون نامساوی حسابی-هندسی اولی اما مهم نیست با همون خطی کردن و همگن کردن سوال اصلی و سپس مورهد زدن هم حله!!!

Dadgarnia · 1393/9/24

پاسخ : ماراتن نامساوي

math1998 گفت

ببخشيد ميشه راهتون رو كامل بنويسين؟ آخه من الان اينو خطيش كردم ولي نتونستم با مورهد كار خاصي انجام بدم.

aras2213 · 1393/9/24

پاسخ : ماراتن نامساوي

Dadgarnia گفت

به نظر من دقیقا نکته همین جاست!به یه چیز قوی تر از مورهد نیاز داریم!(البته من با مورهد امتحان نکردم ولی حلی که ازش میدونم با یه چیز(که نمیگم چیه تا فکر کنید:205

قوی تر از مورهده)

Dadgarnia · 1393/9/29

پاسخ : ماراتن نامساوي

aras2213 گفت

چون كسي راه حلي نذاشت من راه حل زشت خودمو مي ذارم.
قرار مي ديم

$1=\sum_{cyc}a=p,\sum_{cyc}ab=q,abc=r$

حالا با خطي كردن نامساوي داريم:

$27(r+1)q^2-(54r^2+170r+85)q+(27r^3+143r^2+112r+23)\geq 0$

اين يه چند جمله اي درجه دو بر حسب q هست پس براي نا منفي بودن كافيه كه q كوچكتر از ريشه هاي اون باشه. از طرف ديگه مي دونيم:

$r\geq \frac{4pq-p^3}{9}=\frac{4q-1}{9}\Leftrightarrow q\leq \frac{9r+1}{4}$

پس كافيه ثابت كنيم:

$\frac{54r^2+170r+85-\sqrt{10540r^2+14320r+4741}}{54r+54}\geq \frac{9r+1}{4}$

$\Leftrightarrow -135r^2+70r+143\geq 2\sqrt{10540r^2+14320r+4741}$

با استفاده از شرط سوال مي دونيم كه

$r\leq \frac{1}{27}$

هست پس طرف چپ مثبته و مي تونيم دو طرف رو به توان دو برسونيم حالا با ساده كردن عبارت بدست اومده داريم:

$3645r^4-3780x^3-15174r^2-7452r+297\geq 0$

$\Leftrightarrow (1-27r)(-135r^3+135r^2+567r+297)\geq 0$

با توجه به شرط سوال واضحه كه هر دو عبارت بدست اومده نامنفي هستند پس نامساوي ثابت ميشه.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
براي اعداد مثبت

$a,b,c$

با شرط

$\sum_{cyc}a=1$

ثابت كنيد:

$\sum_{cyc}\sqrt{a+bc}\leq 2$

aras2213 · 1393/10/1

پاسخ : ماراتن نامساوي

با توجه به شرط سوال و نامساوی حسابی-هندسی،داریم:

$\sum \sqrt{a+bc}=\sum \sqrt{(a+b)(b+c)}\leq \sum \frac{(a+b)+(b+c)}{2}= 2(a+b+c)$

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

با فرض

$a+b+c=1$

،بیشترین مقدار

$\sum \frac{1}{a^2-4a+9}$

را بدست آورید.

a,b,c نامنفی ان.

m-saghaei · 1393/10/1

پاسخ : ماراتن نامساوي

aras2213 گفت

داریم

$a^3+a\geq 2a^2$

حالا میایم اینو یه جوری به حکم سوال نزدیک میکنیم! اینجوری:

$a^3-2a^2+a\geq 0\rightarrow a^3+2a^2-4a^2-8a+9a\geq 0$

به طرفین 18 اضافه میکنیم.پس میشه:

$a^3+2a^2-4a^2-8a+9a+18\geq 18\rightarrow (a^2-4a+9)(a+2)\geq 18$

پس

$\frac{1}{a^2-4a+9}\geq \frac{a+2}{18}$

که اگه سه تاشو با هم جمع کنیم مینیمم که

$\frac{7}{18}$

ه به دست میاد!

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:

$x,y,z$

اعداد حقیقی تو بازه ی

$(0,\sqrt{5})$

هستن به طوریکه

$xyz=1$

. ثابت کنید:

$\sum \frac{x}{5-y^2}\geq \frac{3}{4}$

REZA 73 · 1393/10/1

پاسخ : ماراتن نامساوي

m-saghaei گفت

اگه سمت چپ نامساوی را A بنامیم با یه کوشی داریم:

$A(x(5-y^2)+y(5-z^2)+z(5-x^2))\geq (x+y+z)^2$

پس کافیست ثابت کنیم:

$3(xy^2+yz^2+zx^2)+4(x+y+z)^2\geq 15(x+y+z)$

پس از کمی ساده کردن باید ثابت کنیم:

$3(xy^2+yz^2+zx^2)+4(x^2+y^2+z^2)+8xy+8xz+8yz\geq 15(x+y+z)$

که با استفاده از نامساوی های زیر این رابطه بدیهی است:

$3(zx^2+xy)\geq 6x$

$2(x^2+xy+xz)\geq 6x$

$2x^2+yz=x^2+x^2+yz\geq 3x$

Dadgarnia · 1393/10/1

پاسخ : ماراتن نامساوي

سوال بعد:
اگر

$a,b,c$

طول اضلاع يك مثلث باشند، ثابت كنيد:

$2<\sum_{cyc}\frac{b+c}{a}-\frac{\sum_{cyc}a^3}{abc}\leq 3$

m-saghaei · 1393/10/2

پاسخ : ماراتن نامساوي

Dadgarnia گفت

برای بزرگتر از دو اش:

میدونیم پای (a+b-c) مثبته

حالا اگه بازش کنیم و به

$abc$

تقسیمش کنیم میشه:

پس اگه بگیم نامساوی

$\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{2b}{a}+\frac{c}{a}-\frac{\sum a^3}{abc}-\frac{b^2}{a}<\sum \frac{b+c}{a}-\frac{\sum a^3}{abc}$

برقراره مسئله حله.

سادش کنیم درمیاد

$\frac{c+2b-b^2}{a}< \frac{b+c}{a}$

که اینم به وضوح برقراره!

واسه کوچکتر مساوی 3 هم فکر کنم باید اینکارو بکنیم:

$\sum \frac{b+c}{a}-\frac{\sum a^3-3abc+3abc}{abc}\leq 3$

که تو صورت اویلر بشه و به اون سه تا کسر قبلیش هم یه یک اضافه کنیم.بعدش

$\sum a$

رو فاکتور بگیریم و ...

ولی یه جاییش گیر کردم!

REZA 73 · 1393/10/2

پاسخ : ماراتن نامساوي

دوستمون نامساوی سمت چپ رو ثابت کرد حالا برای سمت راست:

$a=x+y$

$b=x+z$

$c=y+z$

حالا با جایگذاری باید ثابت کنیم که :

$2(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y})\leq \frac{(x+y)^3+(x+z)^3+(y+z)^3)}{(x+y)(y+z)(z+x)}$

پس از ساده سازی به این میرسیم که:

$\sum 2x^3+2x^2y+2x^2z+2xyz\geq \sum x^3+3x^2y+3yx^2+y^3$

دوباره پس از ساده کردن داریم:

$yz^2+zy^2+xy^2+yx^2+xz^2+zx^2\geq 6xyz$

که این هم بدیهیه.

aras2213 · 1393/10/2

پاسخ : ماراتن نامساوي

بدون شرح: :4:

$\sum \frac{b+c}{a}-\frac{\sum a^3}{abc}\leq 3\Leftrightarrow \sum (a-b)^2(\frac{a+b-c}{2abc})\geq 0$

Dadgarnia · 1393/10/2

پاسخ : ماراتن نامساوي

m-saghaei گفت

چرا اين نامساوي هميشه برقراره؟ من فكر مي كنم اين نامساوي فقط براي

$b>1$

درسته.

m-saghaei · 1393/10/2

پاسخ : ماراتن نامساوي

Dadgarnia گفت

بله !
شما درست میگین!

Dadgarnia · 1393/10/2

پاسخ : ماراتن نامساوي

پس دوستان لطفا به فكر كردن روي طرف چپ نامساوي ادامه بدين (البته فكر كنم بشه راه آقاي سقايي رو كامل كرد.)!

REZA 73 · 1393/10/2

پاسخ : ماراتن نامساوي

با همون تغییر متغیر ها اون سمت هم ثابت میشه:
در حقیقت باید ثابت بشه:

$\frac{(x+y)^3+(y+z)^3+(x+z)^3}{(x+y)(x+z)(y+z)}\leq 1+2(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y})$

با ساده سازی داریم:

$\sum x^3+3xy^2+3yx^2+y^3\leq (x+y)(y+z)(x+z)+\sum 2x^3+2x^2y+2x^2z+2xyz$

که باز هم با ساده کردن به رابطه بدیهی زیر میرسیم:

$0\leq 8xyz$

Dadgarnia · 1393/10/2

پاسخ : ماراتن نامساوي

REZA 73 گفت

بله درسته. براي ديدن راه حل هاي بيشتر مي تونين به اين لينك مراجعه كنيد: AoPS Forum - Nice (triangle inequality) • Art of Problem Solving
سوال بعد:
حداقل مقدار

$x>0$

را بيابيد به طوريكه براي هر چهار عدد مثبت

$a,b,c,d$

و با شرط

$abcd=1$

نامساوي زير برقرار باشد:

$\sum_{cyc}a^x\geq \sum_{cyc}\frac{1}{a}$

ماراتن نامساوي

آيا شما مايل به راه افتادن تاپيك ماراتن نامساوي مي باشي

بله

خير

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Active Member

New Member

New Member

Active Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Active Member

New Member