ماراتن نامساوي

REZA 73 · 1393/10/2

پاسخ : ماراتن نامساوي

حقیقتا درس ها زیاده فرصت نکردم خوب فکر کنم ولی به ازای 3 نامساوی درسته مثلا با مورهد بدیهیه،به ازای 1و 2 هم مثال نقض داره وقتی هم که بین 0 تا 1 هست به راحتی میشه مثال نقض زد.

Dadgarnia · 1393/10/2

پاسخ : ماراتن نامساوي

REZA 73 گفت

سوال زياد سختي نيست اگه فرض كنيد

$x<3$

باشه به راحتي مثال نقضشو مي تونين بسازين.

REZA 73 · 1393/10/3

پاسخ : ماراتن نامساوي

Dadgarnia گفت

مثلا فرض کنیم :

$a=10^n , b=10^n,c=10^n,d=\frac{1}{10^{3n}}$

اون وقت باید داشته باشیم:

$3\times 10^{nx}+\frac{1}{10^{3nx}}\geq \frac{3}{10^n}+10^{3n}$

حالا چون x از سه کوچکتره حتما یه n ای وجود داره که نامساوی غلطه.
برای اثبات نامساوی در حالت x برابر 3:

$\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\geq abc=\frac{1}{d}$

که با یه جمع دوری نامساوی به دست می آید یا طبق مورهد:

$\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}\geq \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Dadgarnia · 1393/10/3

پاسخ : ماراتن نامساوي

سوال بعد:
اگر

$a,b,c$

اعداد حقيقي مثبت با شرط

$\sum_{cyc}a^2+\left ( \sum_{cyc}a \right )^2\leq 4$

باشند نشان دهيد:

$\sum_{cyc}\frac{ab+1}{(a+b)^2}\geq 3$

m-saghaei · 1393/10/3

پاسخ : ماراتن نامساوي

Dadgarnia گفت

اول اینکه طبق فرض داریم:

$\sum a^2+\sum ab\leq 2$

بعد حکمو اینجوری مینویسیم:

$\sum \frac{2ab+2}{2(a+b)^2}$

حالا به جای 2 تو صورت از فرض استفاده میکنیم.یعنی به جای 2 اون فرضه که بدست اومد رو میزاریم.

$\sum \frac{2ab+2}{2(a+b)^2}\geq \sum \frac{2ab+\sum a^2+\sum ab}{2(a+b)^2}= \sum \frac{(a+b)^2+(a+c)(b+c)}{2(a+b)^2}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2} \sum \frac{(a+c)(b+c)}{(a+b)^2}$

از طرفی هم میدونیم که:

$\sum \frac{(a+c)(b+c)}{(a+b)^2}\geq 3$

(بنابر حسابی هندسی)

پس درمیاد:

$\sum \frac{ab+1}{2(a+b)^2}\geq \frac{3}{2}+\frac{3}{2}= 3$

Dadgarnia · 1393/10/3

پاسخ : ماراتن نامساوي

سوال بعد:
اگر

$a,b,c$

اعدادی مثبت باشند، نشان دهید:

$\prod_{cyc} (a^5-a^2+3)\geq \left ( \sum_{cyc}a \right )^3$

m-saghaei · 1393/10/3

پاسخ : ماراتن نامساوي

Dadgarnia گفت

میخوام ثابت کنم

$a^5-a^2+3\geq a^3+2$

پس:

$a^5-a^3-(a^2-1)\geq 0\rightarrow (a^2-1)(a^3-1)\geq 0\rightarrow (a-1)^2(a^2+a+1)(a+1)\geq 0$

که اینم واضحه درسته.

پس باید ثابت کنیم:

$\prod (a^3+2)\geq (\sum a)^3$

که :

$(a^3+1+1)(1+b^3+1)(1+1+c^3)\geq (a+b+c)^3$

Dadgarnia · 1393/10/3

پاسخ : ماراتن نامساوي

سوال بعد:
اگر

$a,b,c$

اعدادی حقیقی و نه لزوما مثبت با شرط

$\sum_{cyc}a^2=1$

باشند، ثابت کنید:

$\sum_{cyc}\frac{a^2}{1+2bc}\geq \frac{3}{5}$

aras2213 · 1393/10/3

پاسخ : ماراتن نامساوي

:4:

$\sum \frac{a^2}{a^2+b^2+c^2+2bc}\geq \frac{3}{5}\Leftrightarrow \sum (a-b)^2(\frac{a^2+b^2+c^2+4ac+4bc+2c^2}{5(a^2+b^2+c^2+2bc)(a^2+b^2+c^2+2ac)})\geq0$

الان اگه من این رو همین جوری از خودم نوشته باشم شما چجوری میخواید نادرستی اون رو نشون بدید؟:90:

m-saghaei · 1393/10/3

پاسخ : ماراتن نامساوي

aras2213 گفت

چه وحشتناک !!!
این یه راه دیگه:میایم این تغییر متغیرها رو انجام میدیم:

$x=a^2,y=b^2,z=c^2$

پس :

$x+y+z=1\rightarrow xyz\leq \frac{1}{27}$

حالا:

$\sum \frac{a^2}{1+2bc}\geq \sum \frac{a^2}{3b^2c^2+\frac{4}{3}}$

(بنابر نامساوی

$3b^2c^2+\frac{1}{3}\geq 2bc$

)

پس:

$\sum \frac{a^2}{3b^2c^2+\frac{4}{3}}= \sum \frac{x}{3yz+\frac{4}{3}}= \sum \frac{x^2}{3xyz+\frac{4}{3}x}\geq\frac{(x+y+z)^2}{9xyz+\frac{4}{3}(x+y+z)}\geq \frac{1}{\frac{1}{3}+\frac{4}{3}}= \frac{3}{5}$

Dadgarnia · 1393/10/3

پاسخ : ماراتن نامساوي

سوال بعد (امیدوارم زیاد تابلو نباشه :4

:
برای

$n\geq 3$

و اعداد حقیقی و مثبت

$a_2,a_3,\cdots a_n$

با شرط

$a_2a_3\cdots a_n=1$

ثابت کنید:

$\prod_{i=2}^{n}(1+a_i)^i>n^n$

sepidfekr · 1393/10/3

پاسخ : ماراتن نامساوي

Dadgarnia گفت

سوال

$A_{3}$

شرت لیست!!!
میایم با حسابی هندسی:

$(1+a_{2})(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+a_{3})...(\frac{1}{n-1}+...+a_{n})\geq n^{n}a_{1}...a_{n}$

برای رد حالت تساوی هم:

$n^{n}\frac{1}{(n-1)!}\geq n^{n}$

ولی طبق فرض

$a_{1}a_{2}...a_{n}=1$

که تناقضه

Dadgarnia · 1393/10/3

پاسخ : ماراتن نامساوي

sepidfekr گفت

اگه فقط سوال شرت لیست بود که زیاد مشکلی نداشت سوال دو IMO 2012 بوده!!!!
سوال بعد (به علت سرعت زیاد در پیشبردن ماراتن امکان گذاشتن سوال تکراری توسط من وجود داره اگه سوالی تکراری بود بگید تا عوضش کنم!):
اگر

$a,b,c$

اعدادی حقیقی و مثبت و با شرط

$\sum_{cyc}a=3$

باشند، نشان دهید:

$\frac{a^2}{a+b^2}+\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2}\geq \frac{3}{2}$

REZA 73 · 1393/10/3

پاسخ : ماراتن نامساوي

Dadgarnia گفت

$1+a_{i}\geq i\sqrt[i]{\frac{1}{(i-1)^{i-1}}}\sqrt[i]{a_{i}}\Rightarrow (1+a_{i})^{i}\geq \frac{i^i}{(i-1)^{i-1}}a_{i}$

$\rightarrow \prod (1+a_{i})^{i}\geq n^n$

البته معلومه که حالت تساوی رخ نمیده

**** زمانی که داشتم راه حلمو آپلود میکردم متوجه نشدم دوستان راه حلو گذاشتن. شرمنده!!!!
ولی ماراتن با چه سرعتی پیش رفت! واقعا جالبه.

sepidfekr · 1393/10/3

پاسخ : ماراتن نامساوي

Dadgarnia گفت

یه کوشی میزنیم:

$(\frac{a^2}{a+b^2}+\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2})\geq \frac{(\sum a)^{2}}{(\sum a^{2}+\sum a )}$

از طرفی هم میدونیم:

${(\sum a^{2}+\sum a )}\geq2\sum a$

${(\sum a)^{2}}\geq 3\sum a$

m-saghaei · 1393/10/3

پاسخ : ماراتن نامساوي

Dadgarnia گفت

داریم:

$S\geq (2\sqrt{a_{2}})^2(3\sqrt[3]{\frac{a_{3}}{4}})^3(4\sqrt[4]{\frac{a_{4}}{27}})^4...(n\sqrt[n]{\frac{a_{n}}{(n-1)^n^-^1}})^n$

(نحوه تقسیم بندیش خیلی مهمه!)

پس:

$(2\sqrt{a_{2}})^2(3\sqrt[3]{\frac{a_{3}}{4}})^3(4\sqrt[4]{\frac{a_{4}}{27}})^4...(n\sqrt[n]{\frac{a_{n}}{(n-1)^n^-^1}})^n= n^na_1{a_2...{a_{n}}}= n^n$

حالت تساویش هم به راحتی رد میشه!

Dadgarnia · 1393/10/3

پاسخ : ماراتن نامساوي

سوال بعد:
اگر

$a,b,c\in [-2,2]$

باشند، حداکثر مقدار عبارت زیر را بیابید:

$\sum_{cyc}|a^2-bc+1|$

sepidfekr · 1393/10/3

پاسخ : ماراتن نامساوي

Dadgarnia گفت

من فقط اینو میدونم:

یعنی

$\sum_{cyc}|a^2-bc+1|\geq \left | \sum a^{2}+3-\sum ab \right |$

اگه میشه دوستان یه راهنمایی کنن!

Dadgarnia · 1393/10/3

پاسخ : ماراتن نامساوي

sepidfekr گفت

اون رابطه اولی فقط وقتی درسته که متغیر ها همه نامنفی باشند که الان اینجوری نیست. تنها راهنمایی که فعلا می تونم بکنم اینه که ثابت کنید ماکسیمم 19 هست.

sepidfekr · 1393/10/3

پاسخ : ماراتن نامساوي

Dadgarnia گفت

اصلاح شد!!!

ماراتن نامساوي

آيا شما مايل به راه افتادن تاپيك ماراتن نامساوي مي باشي

بله

خير

Active Member

New Member

Active Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Active Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member