ماراتن نامساوي

Dadgarnia · 1393/10/3

پاسخ : ماراتن نامساوي

sepidfekr گفت

بازم مشکل داره چون سوال ماکسیمم رو خواسته نه مینیمم رو.

m-saghaei · 1393/10/3

پاسخ : ماراتن نامساوي

sepidfekr گفت

ما میخوایم حداکثر رو بیابیم نه حداقل رو !
بهتره اینی که میگید رو اینطوری بگیم مثلا:

REZA 73 · 1393/10/3

پاسخ : ماراتن نامساوي

اولا واضحه که ماکزیمم وقتی به دست نمیاد که هر سه تا مثبت باشند.

$\mid c\mid \geq \mid b\mid \geq \mid a\mid$

یعنی حداقل یکیشون باید منفی باشه(وقتی هر سه تا هم منفی باشن مثه اینه که هر سه تا مثبت هستند)
وقتی c منفی باشه اونوقت ماکزیمم به دست میاد دلیلش هم واضحه چون قدر مطلق 2ac و 2bc به عبارت افزوده میشه:
حالا فرض میکیم m قرینه c هست:

$\mid a^2+bm+1\mid +\mid m^2-ab+1\mid +\mid b^2+cm+1\mid$

که کوچکتر هست از:

$a^2+m^2+c^2-ab+ma+mb+3=a^2+b^2+2m^2-(m-a)(m-b)+3$

که به وضوح از 19 کوچکتره.
در ضمن:

$m\geq a,b$

وقتی هم دو تا منفی باشند مثله حالتیه که یکی منفی باشه. امیدوارم واضح نوشته باشم.

Dadgarnia · 1393/10/3

پاسخ : ماراتن نامساوي

REZA 73 گفت

اولا واضحه که ماکزیمم وقتی به دست نمیاد که هر سه تا مثبت باشند.

$\mid c\mid \geq \mid b\mid \geq \mid a\mid$

یعنی حداقل یکیشون باید منفی باشه(وقتی هر سه تا هم منفی باشن مثه اینه که هر سه تا مثبت هستند)
وقتی c منفی باشه اونوقت ماکزیمم به دست میاد دلیلش هم واضحه چون قدر مطلق 2ac و 2bc به عبارت افزوده میشه:
حالا فرض میکیم m قرینه c هست:

$\mid a^2+bm+1\mid +\mid m^2-ab+1\mid +\mid b^2+cm+1\mid$

که کوچکتر هست از:

$a^2+m^2+c^2-ab+ma+mb+3=a^2+b^2+2m^2-(m-a)(m-b)+3$

که به وضوح از 19 کوچکتره.
در ضمن:

$m\geq a,b$

وقتی هم دو تا منفی باشند مثله حالتیه که یکی منفی باشه. امیدوارم واضح نوشته باشم.

نمی دونم این استدلال تا چه حد درسته ولی اگه بیشتر توضیح بدین ممنون میشم.

REZA 73 · 1393/10/3

پاسخ : ماراتن نامساوي

Dadgarnia گفت

$\mid a^2-bc+1\mid +\mid b^2-ac+1\mid +\mid c^2-ab+1\mid \leq \mid a^2+b\mid c\mid+1\mid +\mid b^2+a\mid c\mid +1\mid +\mid c^2-ab+1\mid$

که a و b مثبتن.بقیه هم دیگه سادس ازین استفاده شده که عبارت داخل قدر مطلق همه عبارت های سمت راست مثبت هستند.

sepidfekr · 1393/10/3

پاسخ : ماراتن نامساوي

سوال بعد(امیدوارم تکراری نباشه):

$\sum \sqrt{a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}}\geq \sum a\sqrt{2a^{2}+bc}$

m-saghaei · 1393/10/4

پاسخ : ماراتن نامساوي

sepidfekr گفت

میدونیم که:

$4a^4+4a^2b^2+4b^4\geq 3a^4+6a^2b^2+3b^4$

پس:

$\sqrt{a^2+a^2b^2+b^4}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(a^2+b^2)$

که اگه سه تاشو باهم بگیریم درمیاد:

$(\sum \sqrt{ a^2+a^2b^2+b^4})^2\geq3(\sum a^2)^2$

پس الان میخوایم بگیم:

$3(\sum a^2)^2\geq (\sum a\sqrt{2a^2+bc})^2$

که اگه کوشی بزنیم نتیجه میشه:

$(\sum a\sqrt{2a^2+bc})^2\leq (\sum a^2)(\sum 2a^2+bc)\leq 3(\sum a^2)^2$

من سوال ندارم لطفا یکی لطف کنه بزاره!

sepidfekr · 1393/10/4

پاسخ : ماراتن نامساوي

سوال بعد:

$a,b,c\in (0,\frac{\pi }{2})$

$\sum \frac{sina.sin(a-b).sin(a-c)}{sin(b+c)}\geq 0$

Dadgarnia · 1393/10/4

پاسخ : ماراتن نامساوي

m-saghaei گفت

البته اون نامساوی اولی رو میشه با نامساوی مثلث هم نتیجه گرفت:

$\sum_{cyc}\sqrt{(a^2+\frac{1}{2}b^2)^2+\frac{3}{4}b^2}\geq 3\sum_{cyc}a^2$

m-saghaei · 1393/10/4

پاسخ : ماراتن نامساوي

sepidfekr گفت

میایم این تغییر متغیر رو انجام میدیم:

$x=sina,y=sinb,z=sinc$

و اون فرضی هم که داده به خاطر اینه که الان نتیجه میشه

$x,y,z\geq 0$

حالا مخرج مشترک میگیریم و بعدش در میاد که باید ثابت کنیم:

$\sum sina.sin(a-b).sin(a+b).sin(a-c).sin(a+c)\geq 0$

و اینجا از یه اتحاد مثلثاتی استفاده میکنیم که:

$sin(a-b)sin(a+b)= (sina-sinb)(sina+sinb)=sin^2a-sin^2b=x^2-y^2$

پس حالا باید ثابت کنیم که:

$\sum x(x^2-y^2)(x^2-z^2)\geq 0$

که اگه تغییر متغیر

$x=\sqrt{u},y=\sqrt{v},z=\sqrt{w}$

رو انجام بدیم دقیقا میشه شور توی

$r=\frac{1}{2}$

aras2213 · 1393/10/4

پاسخ : ماراتن نامساوي

a,b,c اضلاع یک مثلث هستند.نشان دهید:

sepidfekr · 1393/10/4

پاسخ : ماراتن نامساوي

aras2213 گفت

میدانیم:

$\sqrt{a+b-c}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}$

نتیجه میشود:

$\frac{\sqrt{a+b-c} }{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}\leq 1$

$\frac{\sqrt{b+c-a} }{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}}\leq 1$

$\frac{\sqrt{a+c-b} }{\sqrt{a}+\sqrt{c}-\sqrt{b}}\leq 1$

از جمع سه رابطه هم به حکم میرسیم

Dadgarnia · 1393/10/4

پاسخ : ماراتن نامساوي

sepidfekr گفت

اون نامساوي جزئي فقط براي بزرگترين و كوچكترين ضلع درسته!

sepidfekr · 1393/10/4

پاسخ : ماراتن نامساوي

Dadgarnia گفت

منظورت چیه؟اگه میشه یکم بیشتر توضیح بده!!!
من به آقای ارس هم گفتم ایشون مثال نقضی نتونستن پیدا کنن!!!
اگه میشه مثال نقض بیارید!!!

m-saghaei · 1393/10/4

پاسخ : ماراتن نامساوي

sepidfekr گفت

مثلا 16 و 25 و 36 !

Dadgarnia · 1393/10/4

پاسخ : ماراتن نامساوي

sepidfekr گفت

واضحه كه دو طرف مثبتن پس دو طرفو به توان دو مي رسونيم:

$c+\sqrt{ab}\geq \sqrt{bc}+\sqrt{ca}$

اين رو هم به توان دو مي رسونيم:

$c^2-(a+b)c+ab=(c-a)(c-b)\geq 0$

پس اگه

$a\leq c\leq b$

باشه نامساوي بالا برقرار نيست و اين توي هر مثلثي برقراره.

AHZolfaghari · 1393/10/4

پاسخ : ماراتن نامساوي

aras2213 گفت

با تغییر متغیر

$\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}=x$

داریم :

$b+c-a=(\frac{z+x}{2})^2+(\frac{y+x}{2})^2-(\frac{z+y}{2})^2=\frac{x^2+xz+xy-yz}{2}=x^2-\frac{(x-y)(x-z)}{2}$

پس

$\frac{\sqrt{b+c-a}}{x}=\sqrt{1-\frac{(x-y)(x-z)}{2x^2}}\leq 1-\frac{(x-y)(x-z)}{4x^2}$

با جمع زدن همگی این ها درنهایت باید ثابت کنیم که

$\sum \frac{(x-y)(x-z)}{x^2} \geq 0$

که این هم بدیهی که چون نامساوی شور در حالت r=-2 می باشد !!!!

AHZolfaghari · 1393/10/4

پاسخ : ماراتن نامساوي

سوال بعد :

اگر k,m,n سه عدد طبیعی باشند که دو به دو متمایزند اثبات کنید

$(k-\frac{1}{k})(m-\frac{1}{m})(n-\frac{1}{n}) \leq kmn-(k+m+n)$

m-saghaei · 1393/10/5

پاسخ : ماراتن نامساوي

AHZolfaghari گفت

بالاخره حل شد!

اول بازش میکنیم میشه:

$1+k^2m^2+m^2n^2+n^2k^2-k^2mn-m^2kn-n^2km-k^2-m^2-n^2\geq 0$

بعد با توجه به تقارن مسئله میتونیم فرض کنیم

$k\geq m\geq n$

بعد این تغییر متغیر رو انجام میدیم:

$k=n+a+2,m=n+b+1$

که در اون

$a,b\geq 0$

بعدش اومدم اینارو جاگذاری کردم (حدودا یه ربع کامل داشتم مینوشتم!:4

آخر آخرش شد این:

$n^2(a^2+b^2-ab+3a)+n(a^2b+ab^2+a^2+2b^2+6ab+3a+6b)+a^2b^2+2ab(2a+b)+3b^2+6b+8ab\geq 0$

که اینم از صفر بیشتره!!!

(و خداوند خرکاری را آفرید!)
ولی مطمئنا راه کوتاه تری هم داره!

AHZolfaghari · 1393/10/5

پاسخ : ماراتن نامساوي

m-saghaei گفت

راه حل من برای این سوال mixing هست .
اول k<n<m .
اول که ضرب می کنیم و همه رو میبریم سمت مثبت تساوی و اون عبارت رو

$f(m,n,k)$

می گیریم.
حالا میشه ثابت کرد :

$f(m,n,k)\geq f(n+1,n,k)$

و حالا اثبات این که

$f(n+1,n,k)$

نا منفی هستش هم سخت نیست

سوال بعد :
اگر x,y,z سه عدد حقیقی باشند که

$x^2 + y^2 + z^2 = 9$

اثبات کنید

$2(x+y+z)\leq 10 + xyz$

ماراتن نامساوي

آيا شما مايل به راه افتادن تاپيك ماراتن نامساوي مي باشي

بله

خير

New Member

New Member

Active Member

New Member

Active Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member