ماراتن نامساوي

m-saghaei · 1393/10/5

پاسخ : ماراتن نامساوي

AHZolfaghari گفت

اول اینکه طبق تقارن داریم:

پس

$x^2+y^2+z^2\leq 3x^2\rightarrow x^2\geq 3$

بعد داریم:

$[2(x+y+z)-xyz]^2= [2(x+y)+z(2-xy)]^2\leq [(x+y)^2+z^2][4+(2-xy)^2]$

که این آخریه رو کوشی زدم بزرگش کردم.

بعد

$[(x+y)^2+z^2][4+(2-xy)^2]= (9+2xy)(x^2y^2-4xy+8)=2x^3y^3+x^2y^2-20xy+72=2x^3y^3+x^2y^2-20xy+100-28=2x^3y^3-7x^2y^2+8x^2y^2-28xy+8xy-28+100=2xy(x^2y^2+4xy+4)-7(x^2y^2+4xy+4)+100=(xy+2)^2(2xy-7)+100$

پس دراومد :

$[2(x+y+z)-xyz]^2\leq (xy+2)^2(2xy-7)+100$

و از طرفی داریم:

$2xy\leq x^2+y^2= 9-z^2\rightarrow 2xy\leq 6$

پس یعنی داریم:

$[2(x+y+z)-xyz]^2\leq 100$

پس:

$2(x+y+z)-xyz\leq 10\rightarrow 2(x+y+z)\leq 10+xyz$

که شرط تساویش هم اینه:

$x=y=2,z=-1$

REZA 73 · 1393/10/5

پاسخ : ماراتن نامساوي

سوال بعد:

$a,b> 0$

$arctg\frac{2a}{ab+1}+arctg\frac{2b}{ab+1}\leq \frac{\pi }{2}$

این سوال رو در راستای سوالات متفاوت اخیر گذاشتم. ماراتن خوبی شده.موفق باشید

aras2213 · 1393/10/5

پاسخ : ماراتن نامساوي

اول با توجه به List of trigonometric identities - Wikipedia, the free encyclopedia داریم:

$x> 0\rightarrow arctgx+arctg\frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}$

:90:.

پس کافیست نشان دهیم:

$arctg\frac{2b}{ab+1}\leq arctg\frac{ab+1}{2a}\Leftrightarrow a^2b^2+1\geq 2ab$

که درست می باشد.

Dadgarnia · 1393/10/5

پاسخ : ماراتن نامساوي

سوال بعد (طرح خودمه :4

:
اگر

$x,y,z$

اعدادي مثبت با شرط

$\sum_{cyc}x=1$

باشند، حداكثر عبارت زير را بيابيد:

$\frac{\left ( \sum_{cyc}\sqrt{x+y} \right )\left ( \sum_{cyc}\left ( \sqrt{xyz-xy-zx+x}-\sqrt{x^3} \right ) \right )}{\sum_{cyc}xy}$

M_Sharifi · 1393/10/13

پاسخ : ماراتن نامساوي

Dadgarnia گفت

یه مقدار کار اتحادی انجام میدیم. بعد هم از چبیشف و در نهایت از کوشی استفاده می کنیم:

$S^2=\left(\sum\sqrt{x+y} \right )^2\left(\sum\frac{\sqrt x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}} \right )^2\\ =2\left(\sum(x+\sqrt{(x+y)(x+z)} \right )\left(\sum \frac{\sqrt x}{ x+\sqrt{(x+y)(x+z)}} \right )^2\\ \leq 6\left(\sum\sqrt x\right) \left(\sum\frac{\sqrt x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}\right)\\ \leq6\left(\sum\sqrt x \right )\cdot\frac3{\sum\sqrt x}=18$

sepidfekr · 1393/10/13

پاسخ : ماراتن نامساوي

سوال بعد:

AHZolfaghari · 1393/10/13

پاسخ : ماراتن نامساوي

sepidfekr گفت

تغییر متغیر

$a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$

میدیم چون حاصلضرب یکه و به این میرسیم

$(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\leq xyz$

حالا فرض می کنیم که

$x\geq y\geq z$

حالا اگه x از مجموع y,z بیشتر باشه که اصلا طرف چپ منفی میشه اما طرف راست مثبت که بدیهی است نامساوی برقرار است

پس باید حالتی رو بگیریم که x کمتر از مجموع y,z باشه به عبارت دیگر x,y,z اضلاع مثلث باشد که حالا این تغییر متغیر رو میدیم

$x=u+v , y=v+w , z = w+u$

و به این میرسیم که اثبات کنیم

$(u+v)(v+w)(w+u)\geq 8uvw$

که با زدن حسابی هندسی روی هر پرانتز نتیجه می شود

sepidfekr · 1393/10/13

پاسخ : ماراتن نامساوي

سوال بعد:

AHZolfaghari · 1393/10/13

پاسخ : ماراتن نامساوي

sepidfekr گفت

$\frac{1+ab^2}{c^3}=a^3b^3 + a^4b^5$

حالا عبارتمون میشه سیگمای a^3b^3 و سیگمای a^4b^5
سیگمای a^3b^3 رو در سیگمای c^3 و در 1+1+1 ضرب میکنیم تا بزرگ تر مساوی 27 بشه پس سیگمای a^3b^3 بزرگ تر مساوی 9 به روی سیگمای a^3
برای سیگمای a^4b^5 هم همین طور
در سیگمای c^3 و 1+1+1 ضرب می کنیم تا بزرگ تر مساوی سیگمای رادیکال ab^2 بشه که اینم با یه حسابی هندسی بزرگ تر مساوی 27 میشه پس سیگمای a^4b^5 بزرگ تر مساوی 9 به روی سیگمای a^3
پس در کل بزرگ تر مساوی 18 به روی سیگمای a^3

sepidfekr · 1393/10/13

پاسخ : ماراتن نامساوي

سوال بعد:

m-saghaei · 1393/10/14

پاسخ : ماراتن نامساوي

sepidfekr گفت

اول اینکه میدونیم

$3-2a+3-2b+3-2c=3$

پس حالا اگه تغییر متغیر

$3-2a=x,3-2b=y,3-2c=z$

رو انجام بدیم داریم

$x+y+z=a+b+c=3$

بعدشم مثلا برای اینکه متغیرها رو بر حسب سه تای جدید بنویسیم داریم:

$a=\frac{y+z}{2},b=\frac{x+z}{2},c=\frac{x+y}{2}$

و حالا در میاد که باید ثابت کنیم

$xyz\leq \frac{(x+y)^{2}(y+z)^{2}(z+x)^{2}}{64}$

که اثبات اینم سادست.

Dadgarnia · 1393/10/14

پاسخ : ماراتن نامساوي

m-saghaei گفت

میشه اثبات این نامساوی آخر رو بنویسید؟

sepidfekr · 1393/10/14

پاسخ : ماراتن نامساوي

Dadgarnia گفت

با حسابی هندسی تو صورت کسر

Dadgarnia · 1393/10/14

پاسخ : ماراتن نامساوي

sepidfekr گفت

خب این میشه

$x^2y^2z^2$

پس

$x^2y^2z^2\geq xyz$

در حالی که این غلطه!

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

به نظر من از این به بعد اگه خواستین سوالی رو بذارین منبعش رو حذف کنین.
من نتونستم راهی رو پیدا کنم که توی AoPS نباشه پس به همون جا ارجاع میدم: http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=457344
لطفا سوال بعد رو خودتون بذارین ولی این دفعه بدون منبع سوال!

sepidfekr · 1393/10/14

پاسخ : ماراتن نامساوي

سوال بعد:

m-saghaei · 1393/10/14

پاسخ : ماراتن نامساوي

sepidfekr گفت

میخوایم اینو اثبات کنیم:

$a\sqrt[3]{a+2b}+b\sqrt[3]{b+2c}+c\sqrt[3]{c+2a}\leq 1$

و همچنین:

$a\sqrt[3]{(a+2b).1.1}+b\sqrt[3]{(b+2c).1.1}+c\sqrt[3]{(c+2a).1.1}\leq 1$

و داریم:

$a\sqrt[3]{(a+2b).1.1}+b\sqrt[3]{(b+2c).1.1}+c\sqrt[3]{(c+2a).1.1}\leq \frac{a(a+2b+2)+b(b+2c+2)+c(c+2a+2)}{3}=\frac{(a+b+c)^{2}+2(a+b+c)}{3}=\frac{1+2}{3}=1$

پس اثبات شد.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

یه راه دیگش هم با هولدره:

$S^{3}\leq (a+b+c)(a+b+c)(a(1+b-c)+b(1+c-a)+c(1+a-b))=1\rightarrow S\leq 1$

Dadgarnia · 1393/10/14

پاسخ : ماراتن نامساوي

سوال بعد:
اگر

$n>3$

و

$a_1,a_2,\cdots ,a_n$

اعدادي حقيقي باشند و داشته باشيم

$\sum_{i=1}^{n}a_i\geq n,\sum_{i=1}^{n}a_i^2\geq n^2$

ثابت كنيد:

$\max(a_1,a_2,\cdots ,a_n)\geq 2$

Dadgarnia · 1393/10/16

پاسخ : ماراتن نامساوي

Dadgarnia گفت

کسی نظری چیزی در مورد این سوال نداره؟ راهنمایی کنم؟ :39:

منتظرالمهدی · 1393/10/17

پاسخ : ماراتن نامساوي

Dadgarnia گفت

فکر می کنم صورت سوال اشتباه نوشته شده است.

برهان خلف می زنیم. فرض کنید که

$a_i < 2$

در این صورت:

$n^2\le\sum_{i=0}^{n}a_i^2<4n\Rightarrow n < 4$

که تناقض است.

ویرایش:
حواسم به این نکته نبود که اعداد ممکن است منفی باشند.

Dadgarnia · 1393/10/23

پاسخ : ماراتن نامساوي

http://www.irysc.com/forum/t18380/#post229887 (لينك از آيريسك به آيريسك! :4

سوال بعد:
براي اعداد مثبت

$a_1>a_2>\cdots>a_n$

ثابت كنيد:

$\sqrt{\sum_{i=1}^na_i^2}\leq \sum_{i=1}^n\frac{a_i}{\sqrt{i}+\sqrt{i-1}}$

ماراتن نامساوي

آيا شما مايل به راه افتادن تاپيك ماراتن نامساوي مي باشي

بله

خير

New Member

Active Member

New Member

New Member

راهبر ریاضی

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member