ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

king of the math · 1393/12/7

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

Kتمام توابع

$f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$

به طوری که برای هر

$m , n\in \mathbb{N}$

و هر عدد اول

$p$

،

$p\mid f(m+n)$

اگر و فقط اگر

$p\mid f(m)+f(n)$

.

m-saghaei · 1393/12/7

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

king of the math گفت

سوالش فکر کنم تکراریه ها !!

AHZolfaghari · 1393/12/8

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

king of the math گفت

این سوال رو من خودم گذاشتمش . لطفا سوالو عوض کنید

حمید آنالیز · 1393/12/13

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

اهم اهم با اجازه من سوالو میزازم
دنباله ی a1,a2,a3,...,an,...از اعداد طبیعی مفروض استبه طوری که anبر 5 بخش پذیر نیستوبرای هر nداریم:an+1=an+bnکهbnآخرین رقم (رقم یکان)anاست.ثابت کنید این دنباله مشتمل بر تعداد نا متناهی توان 2 است.

REZA 73 · 1393/12/14

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

حمید آنالیز گفت

ابتدا ثابت میکنیم که تو این دنباله یه عدد مضرب 4 هست.
بعد با توجه به این که :

$a_{k+4}=a_{k}+20\Rightarrow a_{k+4m}=a_{k}+20m$

پس برای این که عدد توان دو تولید کنیم کافیه:

$4s=a_{k}\Rightarrow a_{k+4m}=a_{k}+20m=2^{k}\Rightarrow 5m=2^{k-2}-s\Rightarrow 5|2^{k-2}-s$

در این صورت حتما یک m وجود دارد . :4:

Dadgarnia · 1394/1/4

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

چون سوال قبل به مدت زیادی حل نشده باقی مونده من سوال بعدو میذارم:
همه ی اعداد طبیعی

$n$

را بیابید که برای هر

$k$

ی صحیح وجود داشته باشد

$a$

ای که

$n|a^3+a-k$

.

REZA 73 · 1394/1/8

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

جواب مساله

$n=3^k$

میباشد چون به ازای

$1\leq a< b\leq n$

وجود ندارد به طوری که :

$a^3+a\equiv b^3+b(mod 3^k)$

اثبات هم با برهان خلف است :

$3^k|a^3+a-b^3-b\Rightarrow 3^k|(a-b)(a^2+ab+b^2+1)$

اما :

$(a^2+ab+b^2+1,3)=1$

پس

$3^k|a-b$

که به وضوح غیرممکنه.
به ازای N های دیگه مساله جواب نداره. اگه دوستی راه حل این قسمت رو میخواد بگه بنویسم.

* در ضمن راهنمایی که برای سوال خودم گذاشته بودم چیزی کم از راه حل نداشت. نمیدونم شما چطور میگید سوال به مدت طولانی حل نشده!*
:223:

mahdi math · 1394/1/9

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

خب سوال بذارید دیگه

Dadgarnia · 1394/1/12

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

REZA 73 گفت

منظورم این سوال بود:

king of the math گفت

که شرت لیست 2007 هست. سوال بعد:
ثابت کنید بی نهایت n صحیح وجود دارد که

$n^2+1$

خالی از مربع باشد.

حمید آنالیز · 1394/1/12

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

ببخشین منظورتونو از سوال متوجه نشدم!میشه بشرحین؟:1:

Dadgarnia · 1394/1/12

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

حمید آنالیز گفت

به یه عدد مثل n میگیم خالی از مربع به طوریکه اگه p یه عامل اول ازش باشه

$p^2\nmid n$

.

TheOverlord · 1394/1/17

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

لم :

$\sum_{i=5}^n\frac{1}{i^2}<\frac{1}{4}$

اثبات:

$\sum_{i=5}^n\frac{1}{i^2}<\sum_{i=5}^n\frac{1}{i(i-1)}=\sum_{i=5}^n\frac{1}{i-1}-\frac{1}{i}=\frac{1}{4}-\frac{1}{n}<\frac{1}{4}$

حال فرض کنید

$p$

اول باشد، دقت کنید که

$p^2|x^2+1,p^2|y^2+1\Rightarrow p^2|(x-y)(x+y)\Rightarrow p|x-y \ or \ p|x+y$

حال اگر هر دو همزمان رخ دهند،

$p|x-y+x+y \Rightarrow p|2x$

اما دقت کنید که

$4\not |n^2+1$

پس

$p \not =2$

پس

$(p,2)=1$

پس

$p|x,p|x^2+1\Rightarrow p|1$

که تناقض است. پس دقیقا یکی از

$p|x-y$

و

$p|x+y$

رخ میدهد، پس

$x\overset{p^2}\equiv \pm y$

. از طرفی بدیهتا

$p\not =3$

زیرا

$n^2+1\overset{3}\equiv 1+1 \ or\ 0+1=2 \ or\ 1$

.

حال میخواهیم ببینیم برای یک

$N$

ثابت، چند عدد مانند

$m$

وجود دارد که

$1\leq m \leq N$

و

$m^2+1$

خالی از مربع نیست. در حقیقت، میبینیم که چند

$m$

هستند که

$m^2+1$

بر یک

$p^2$

- که

$p$

اول و ثابت است - بخش پذیر است، سپس تعداد کل اعداد با این خاصیت، طبق اصل شمول و عدم شمول كمتر مساوي جمع این اعداد برای

$p$

های مختلف است.

دقت کنید که این عدد برای یک

$p$

که ثابت است یا صفر است - هیچ

$x$

وجود ندارد که

$p|x^2+1$

مانند حالت 2 و 3- یا حداکثر

$\left \lceil \frac{2N}{p^2} \right \rceil$

است زیرا برابر با تعداد اعدادی است که از

$N$

کمتر مساویند و به پیمانه

$p^2$

با مثبت یا منفی یک عدد ثابت همنهشتند. حال بدیهتا همه

$p$

هايي كه براي آنها

$n\leq N$

وجود دارد بطوري كه

$p^2|n^2+1$

،كمتر يا مساوي

$N$

هستند. بنابرين كافيست

$\sum_{p\ {is\ a\ prime},5 \leq p\leq N}\left \lceil \frac{2N}{p^2}\right \rceil$

را بيابيم كه حداكثر تعداد اعدادي كه در خاصيت ما صدق نميكنند را بيابيم. دقت كنيد كه اگر

$R$

تعداد اعداد اول نابیشتر از

$N$

باشد آنگاه

$\sum_{p\ is \ a \ prime , 5\leq p\leq N}\left \lceil\frac{2N}{p^2}\right\rceil <\sum_{p\ is \ a \ prime ,5\leq p\leq N}\frac{2N}{p^2}+1=R+\sum_{p\ is \ a \ prime , 5\leq p\leq N}\frac{2N}{p^2}$

و

$R+\sum_{p\ is \ a \ prime , 5\leq p\leq N}\frac{2N}{p^2} \leq R+2N\sum_{5\leq n \leq N}\frac{1}{n^2}$

حال دقت کنید که همه اعداد به غیر از 2و3و5 به پیمانه 30 همنهشت یکی از اعداد

$1,7,11,13,17,19,23,29$

هستند. پس فرض کنید که

$30|N$

در این صورت

$R\leq \frac{8}{30}N+3=\frac{4}{15}N+3$

پس

$R+2N\sum_{5\leq n\leq N}\frac{1}{n^2}\leq N(\frac{4}{15}+2(\frac{1}{4}))+3\leq N(\frac{23}{30})+3$

یعنی تعداد اعدادی که مناسب ما نیستند حداکثر

$\frac{7}{30}N-3$

است، پس تعداد اعدادی که مناسب ما هستند حداقل برابر است با

$\frac{7}{30}N-3$

که با زیاد شدن

$N$

به هر اندازه زیاد می شود. پس تعداد اعدادی که مناسب ما هستند به هر اندازه زیاد میشود، پس بینهایت تا از این اعداد داریم.

سوال بعد:
همه چند جمله ای های

$P \in \mathbb{Z}[x]$

را بیابید که برای هر

$a,b \in \mathbb{N}$

، وجود داشته باشد

$m,n \in \mathbb{N}$

که

$P(m)=an+b$

حمید آنالیز · 1394/2/30

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

با توجه به گزشتن زمان زیاد از زمان اخرین پست سوالی بعد که من اشکال دارم رو مینویسم
اگر

$p\mid qr-1,q\mid pr-1,r\mid qp-1$

همگی

$pqr$

ها را پیدا کنید.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

همه ی pوqوrاولند

Dadgarnia · 1394/2/30

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

حمید آنالیز گفت

فرض مي كنيم

$p\geq q\geq r$

اگه سه تا رابطه رو در هم ضرب كنيم بدست مياد:

$pqr| pqr(pqr-p-q-r)+pq+qr+rp-1\Rightarrow pqr|pq+qr+rp-1$

$pqr\leq pq+qr+rp-1\leq 3pq-1\Rightarrow pq(r-3)\leq -1\Rightarrow r=2$

حالا داريم:

$p|2q-1,2q-1< 2p\Rightarrow p=2q-1\Rightarrow q|4q-3\Rightarrow q|3\Rightarrow q=3$

$\Rightarrow p|5\Rightarrow p=5$

پس

$pqr=30$

.

Dadgarnia · 1394/2/31

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

یه سوال قشنگ:
همه ی اعداد اول دو به دو متمایز

$p,q,r$

را بیابید که

$rp^3+p^2+p=2rq^2+q^2+q$

.

حمید آنالیز · 1394/2/31

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

توان q سه نمیشه؟:188:

Dadgarnia · 1394/2/31

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

حمید آنالیز گفت

نه. سوال درسته.

AHZolfaghari · 1394/2/31

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

Dadgarnia گفت

در اثنای دینی خوندن اونم تا دیروقت ، تصمیم گرفتم رو این سوال فکر کنم !!

$(q-p)(q+p+1)=r(p^3 - 2q^2)$

حالتی که p,q با هم برابر باشند رو فعلا کنار میذاریم و فرض میکنیم متمایزند و از اینجا به راحتی بدست میاد q از p بزرگ تر هستش .
الان اگه p,q هردو بخوان فرد باشند یعنی طرف راست مطلقا فرد خواهد بود ( درصورت 2 نبودن r ) و طرف چپ زوج پس بلافاصله نتیجه میگیریم که r=2

$(q-p)(q+p+1)=2(p^3-2q^2)$

پس :

$q-p \vert 2(p^3-2q^2) \Rightarrow q-p \vert 2p^2 (p-2)\Rightarrow q- p \vert 2(p-2)$

پس :

$p > \frac{q+4}{3}$

حالا داریم :

$q^2 > q^2 -p^2 + q - p$

پس داریم :

$3q^2 > p^3 > (\frac{q+4}{3})^3$

که می بینیم از جایی به بعد غلطه ( ببخشید الان نصفه شبه حوصله ندارم چک کنم اما چون درجه راست 3 و چپ 2 هست معلومه از جایی به بعد بهم میخوره )
پس حالتی که p=q باشه میمونه که در اون صورت p^3 = 2q^2 که یعنی p=q=2 .
پس یه مجموعه جواب : (2,2,r) بقیش طبق رابطه بالا میشه !
خداکنه جوپ نداشته باشه !!

حمید آنالیز · 1394/3/1

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

AHZolfaghari گفت

در اثنای دینی خوندن اونم تا دیروقت ، تصمیم گرفتم رو این سوال فکر کنم !!

$(q-p)(q+p+1)=r(p^3 - 2q^2)$

حالتی که p,q با هم برابر باشند رو فعلا کنار میذاریم و فرض میکنیم متمایزند و از اینجا به راحتی بدست میاد q از p بزرگ تر هستش .
الان اگه p,q هردو بخوان فرد باشند یعنی طرف راست مطلقا فرد خواهد بود ( درصورت 2 نبودن r ) و طرف چپ زوج پس بلافاصله نتیجه میگیریم که r=2

$(q-p)(q+p+1)=2(p^3-2q^2)$

پس :

$q-p \vert 2(p^3-2q^2) \Rightarrow q-p \vert 2p^2 (p-2)\Rightarrow q- p \vert 2(p-2)$

پس :

$p > \frac{q+4}{3}$

حالا داریم :

$q^2 > q^2 -p^2 + q - p$

پس داریم :

$3q^2 > p^3 > (\frac{q+4}{3})^3$

که می بینیم از جایی به بعد غلطه ( ببخشید الان نصفه شبه حوصله ندارم چک کنم اما چون درجه راست 3 و چپ 2 هست معلومه از جایی به بعد بهم میخوره )
پس حالتی که p=q باشه میمونه که در اون صورت p^3 = 2q^2 که یعنی p=q=2 .
پس یه مجموعه جواب : (2,2,r) بقیش طبق رابطه بالا میشه !
خداکنه جوپ نداشته باشه !!

خوب رو سوال گفته دو به دو متمایز(انگار دینی خوندن رو دقتتون تاثیر گزاشته!!!)
پس ینی جواب نداریم دیگه.

Dadgarnia · 1394/3/1

پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

AHZolfaghari گفت

راه حلتون درسته و اگه اون نامساوي رو هم چك كنيد جواب

$(19,53,2)$

بدست مياد ولي اون نامساوي هايي كه نوشتين همشون بايد حالت تساوي هم داشته باشن چون اگه اينجوري نباشه يه جوابي كه سوال داره بدست نمياد.
سوال بعد:

$a,b,c,d,e$

اعدادي صحيح و مثبت هستند به طوريكه

$a^4+b^4=c^4+d^4=e^5$

ثابت كنيد

$ac+bd$

عددي مركب است.

ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

New Member

New Member

Well-Known Member

Well-Known Member

Active Member

New Member

Active Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

Well-Known Member

New Member