Sharifi_M

New Member
ارسال ها
561
لایک ها
348
امتیاز
0
پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)







حالا چون صرفا ما میخوایم یه جواب پیدا کنیم میتونیم فرض کنیم که

نتیجه:


حالا اگر بزاریم
نتیجه میشه

و یه مجموعه جواب زیر رو داریم:
بقیش دیگه مثال زدنو ایناس که زیاد سخت نیست :4:

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
عدد طبیعی
را شیک(!) مینامیم اگر حداقل یکی از مضاربش با
شروع شود برای مثال
شیک است زیرا

ثابت کنید تمام اعداد طبیعی شیکند.
 

Dadgarnia

New Member
ارسال ها
1,350
لایک ها
1,126
امتیاز
0
پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

يه عدد دلخواه مثل
رو در نظر مي گيريم. بايد ثابت كنيم
اي وجود دارند به طوريكه
. حالا اگه
رو طوري بگيريم كه
بزرگتر يا مساوي
باشه، وقتي
از يك تا
تغيير مي كنه همه ي باقي مانده هاي ممكن به پيمانه
به وجود مياد پس جايي اين باقي مانده صفر ميشه كه حكم رو نتيجه ميده.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
همه ي اعداد طبيعي
را بيابيد به طوريكه
.
 

nsg2000gh

New Member
ارسال ها
53
لایک ها
23
امتیاز
0
پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

از این دو تا بیشترند جواب ها ؟!!!:4:
(1و1و3) و (3و2و9)
اگه به جز این دو هستند چه اعدادی هستند ؟
 

Dadgarnia

New Member
ارسال ها
1,350
لایک ها
1,126
امتیاز
0
پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

از این دو تا بیشترند جواب ها ؟!!!:4:
(1و1و3) و (3و2و9)
اگه به جز این دو هستند چه اعدادی هستند ؟
آره سوال بي نهايت جواب داره ولي حتي پيدا كردن تمام جواب ها هم كافي نيست بايد ثابت بشه كه غير از اونا هم جوابي وجود نداره.
سوال سختيه. :4: چون فكر مي كنم كه تاپيك رو مي خوابونه يه راهنمايي براش ميذارم (سفيد نوشتم هر كي خواست ببينه): از نامساوي ها استفاده كنيد!
 

REZA 73

New Member
ارسال ها
139
لایک ها
184
امتیاز
0
پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

يه عدد دلخواه مثل
رو در نظر مي گيريم. بايد ثابت كنيم
اي وجود دارند به طوريكه
. حالا اگه
رو طوري بگيريم كه
بزرگتر يا مساوي
باشه، وقتي
از يك تا
تغيير مي كنه همه ي باقي مانده هاي ممكن به پيمانه
به وجود مياد پس جايي اين باقي مانده صفر ميشه كه حكم رو نتيجه ميده.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
همه ي اعداد طبيعي
را بيابيد به طوريكه
.
بنا به تقارن فرض میکنیم
. حالا ثابت میکنیم
چون در غیر این صورت:

حالا فرض کنید:

اگر
باشه داریم:

که در این حات جوابی به دست نمیاد. دقت کنیدq فرده.
اگه
داریم:



در نتیجه یک دسته جواب به دست میاید:
 
آخرین ویرایش توسط مدیر

Dadgarnia

New Member
ارسال ها
1,350
لایک ها
1,126
امتیاز
0
پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

سوال بعد:
اعدادي طبيعي هستند به طوريكه
و
براي هر
. ثابت كنيد
.
 
آخرین ویرایش توسط مدیر

Sharifi_M

New Member
ارسال ها
561
لایک ها
348
امتیاز
0
پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

سوال بعد:
اعدادي طبيعي هستند به طوريكه
و
براي هر
. ثابت كنيد
.

پس داریم:

در نتیجه داریم:

برای اثبات حکم باید ثابت کنیم:

عامل اول
رو که حداقل در یکی از این اعداد آمده در نظر بگیرید.
فرض کنید توان
در ک م م آنها
باشد. در نتیجه در
ای توان
است. و در بقیه از این مقدار بیشتر نیست.
حال اگر در رابطه عاد کردن بالا رو برای
بنویسیم سمت راست به
میرسیم و سمت راست در صورتی به عددی کمتری از این مقدار (یا برابر) میرسیم که تعداد اعدادی که عامل اول
دارند از n-1 کمتر باشد.
برابر n نیست. زیرا در این صورت که حلاف فرض سواله.
برابر n-1 نیست چون اگر اینطور باشه تنها یک عدده که
اون رو عاد نمیکنه. فرض کنید
اون عدد باشه در این صورت روابط عاد کردن
برای i های نامساوی l غلط میشه چون سمت چپ رو P میشموره ولی سمت راست رو نه.
پس کمتر از n-1 عه.

حکم اثبات شد!

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
ثابت کنید بی نهایت وجود دارد که
و ب.م.م k!-1 و n!-1 از یک بیشتر شود. (لاتکس مشکل پیدا کرده مثل اینکه)
 
آخرین ویرایش توسط مدیر

Dadgarnia

New Member
ارسال ها
1,350
لایک ها
1,126
امتیاز
0
پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)


پس داریم:

در نتیجه داریم:

برای اثبات حکم باید ثابت کنیم:

عامل اول
رو که حداقل در یکی از این اعداد آمده در نظر بگیرید.
فرض کنید توان
در ک م م آنها
باشد. در نتیجه در
ای توان
است. و در بقیه از این مقدار بیشتر نیست.
حال اگر در رابطه عاد کردن بالا رو برای
بنویسیم سمت راست به
میرسیم و سمت راست در صورتی به عددی کمتری از این مقدار (یا برابر) میرسیم که تعداد اعدادی که عامل اول
دارند از n-1 کمتر باشد.
برابر n نیست. زیرا در این صورت که حلاف فرض سواله.
برابر n-1 نیست چون اگر اینطور باشه تنها یک عدده که
اون رو عاد نمیکنه. فرض کنید
اون عدد باشه در این صورت روابط عاد کردن
برای i های نامساوی l غلط میشه چون سمت چپ رو P میشموره ولی سمت راست رو نه.
پس کمتر از n-1 عه.

حکم اثبات شد!

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
ثابت کنید بی نهایت وجود دارد که
و ب.م.م k!-1 و n!-1 از یک بیشتر شود. (لاتکس مشکل پیدا کرده مثل اینکه)
فرض کنید
عددی دلخواه باشه که
اول نیست و
. با استفاده از قضیه ویلسون هم داریم
پس
پس نامتناهی جفت با خواص سوال وجود داره.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
ثابت کنید برای هر
اعداد صحیح و دو به دو نسبت به هم اول وجود دارند که
به شکل حاصل ضرب دو عدد صحیح متوالی باشد.
 

REZA 73

New Member
ارسال ها
139
لایک ها
184
امتیاز
0
پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

فرض کنید
عددی دلخواه باشه که
اول نیست و
. با استفاده از قضیه ویلسون هم داریم
پس
پس نامتناهی جفت با خواص سوال وجود داره.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

سوال بعد:
ثابت کنید برای هر
اعداد صحیح و دو به دو نسبت به هم اول وجود دارند که
به شکل حاصل ضرب دو عدد صحیح متوالی باشد.




با الگوریتم بالا اعداد
به دست می آیند.
به راحتی هم میشه ثابت کرد اعداد داخل پرانتز نسبت به هم اولند. از اتحاد زیر برای به دست آوردن الگوریتم بالا استفاده شده :

 

Dadgarnia

New Member
ارسال ها
1,350
لایک ها
1,126
امتیاز
0
پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

سوال بعد:
را بزرگترین عامل اول
تعریف می کنیم. همه ی اعداد
را بیابید که
 

olampiad2

New Member
ارسال ها
28
لایک ها
0
امتیاز
0
پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

معادله روبرو را در مجموعهZحل کنید.
a^2=b^3-6
 

olampiad2

New Member
ارسال ها
28
لایک ها
0
امتیاز
0
پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

راهنمایی: از قضایای مانده های درجه دوم استفاده کنید.
 

aras2213

New Member
ارسال ها
216
لایک ها
228
امتیاز
0
پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

معادله روبرو را در مجموعهZحل کنید.
a^2=b^3-6
واضحه که a زوج نیست ، چون در اون صورت b هم باید زوج باشه.پس سمت راست دقیقا یه عامل 2 داره ، ولی سمت چپ حداقل دو تا.

پس a,b فردن.
با یکم تغییر شکل معادله به این میرسیم: a^2-2=b^3-8. که (b^3-8=(b-2)((b+1)^2+1

حالا کافیه دقت کنیم که b-2 به شکل 4K+1 هست.ولی a^2-2 به شکل 4k+3 .پس پرانتز سمت راست باید به شکل 4k+3 باشه.پس یه عامل اول به این شکل داره.ینی p به شکل 4k+3 وجود داره که b^2+2b+2 رو عاد میکنه.که اگه به شکل b+1)^2+1) بنویسیمش، p باید 1 رو عا
د کنه که تناقضه. :39::7:
 
ارسال ها
288
لایک ها
154
امتیاز
43
پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

واضحه که a زوج نیست ، چون در اون صورت b هم باید زوج باشه.پس سمت راست دقیقا یه عامل 2 داره ، ولی سمت چپ حداقل دو تا.

پس a,b فردن.
با یکم تغییر شکل معادله به این میرسیم: a^2-2=b^3-8. که (b^3-8=(b-2)((b+1)^2+1

حالا کافیه دقت کنیم که b-2 به شکل 4K+1 هست.ولی a^2-2 به شکل 4k+3 .پس پرانتز سمت راست باید به شکل 4k+3 باشه.پس یه عامل اول به این شکل داره.ینی p به شکل 4k+3 وجود داره که b^2+2b+2 رو عاد میکنه.که اگه به شکل b+1)^2+1) بنویسیمش، p باید 1 رو عا
د کنه که تناقضه. :39::7:
b^2+2b+4)(b-2) = b^3-8)
 

aras2213

New Member
ارسال ها
216
لایک ها
228
امتیاز
0
پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

راس میگی:39:

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

خب میشه این کارو کرد:
b^2+2b+4)(b-2) = b^3-8=a^2-2) . بعد اگه به پیمانه 8 نگاه کنیم ، میبینیم که،b به پیمانه 8 ، 7 میشه،پس b^2+2b+4 به پیمانه 8 میشه 3.پس یه عامل اول به فرم 8k+3 داره.این عامل اول که اسمشو p میذاریم، a^2-2 رو عاد میکنه، یعنی 2 به پیمانه p ماندست.که این نتیجه میده p ، به پیمانه 8 یا یکه، یا هفت که این تناقضه.
 
ارسال ها
288
لایک ها
154
امتیاز
43
پاسخ : ماراتن نظریه ی اعداد (سطح پیشرفته)

راس میگی:39:

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

خب میشه این کارو کرد:
b^2+2b+4)(b-2) = b^3-8=a^2-2) . بعد اگه به پیمانه 8 نگاه کنیم ، میبینیم که،b به پیمانه 8 ، 7 میشه،پس b^2+2b+4 به پیمانه 8 میشه 3.پس یه عامل اول به فرم 8k+3 داره.این عامل اول که اسمشو p میذاریم، a^2-2 رو عاد میکنه، یعنی 2 به پیمانه p ماندست.که این نتیجه میده p ، به پیمانه 8 یا یکه، یا هفت که این تناقضه.
چرا وقتي به پيمانه هشت سه هست عامل اولي به صورت 8k+3 داره ؟ ممكنه يه عامل اول به شكل 8k+5 و يكي به شكل 8k+7 داشته باشه
البته باز هم همون راه حل جواب ميده چون اينجا هم ميشه p را 8k+5 گرفت كه بازم تناقضه
 
بالا