<<:: ماراتن بخش پذیری متوسط ::>>

rezashiri · 1389/6/8

[center:40e1b0de4a]هوالعلیم[/center:40e1b0de4a]
سلام دوستان.

توی این تاپیک قراره یه ماراتن بخشپذیری مقدماتی==> متوسط راه بیفته.

لطفا سوال ها از آسون به سخت میل کنه.

شماره هر سوال بالای آن درج بشه.

تا سوالی حل نشده سوالی مطرح نشه.

و بحث ها منحرف کننده هم نشه....

rezashiri · 1389/6/8

[center:d1c0c3bf2d]

$\300dpi {\color{blue} 1}$

[/center:d1c0c3bf2d]برای هر عدد طبیعی n ثابت کنید :

$4\nmid n^{2}+2$

Olympiad · 1389/6/8

rezashiri گفت

$n^2\equiv 0,1 (mod 4)$

rezashiri · 1389/6/8

[center:e543ea1e79]

$\300dpi 2$

[/center:e543ea1e79]
تمام اعداد طبیعی n را بیابید که به ازای آن ها عدد

$n^{2}+1$

بر

$n+1$

بخش پذیر باشد.

Olympiad · 1389/6/8

خوب داريم :

$n+1|n^2+1({\color{red} 1})$

و همچنين داريم :

$n+1|(n+1)^2\Rightarrow n+1|n^2+2n+1 ({\color{red} 2})$

$({\color{red} 2})-({\color{red} 1})\Rightarrow n+1|2n ({\color{red} 3})$

$n+1|2(n+1)({\color{red} 4})$

.
.
.

$({\color{red} 4})-({\color{red} 3})\Rightarrow n+1|2\Rightarrow n=1$

rezashiri · 1389/6/8

[center:a2611ba08d]

$\300dpi 3$

[/center:a2611ba08d]
با فرض این که

$7\mid 3n+1$

ثابت کنید

$49\mid 27n^{2}+39n+10$

Olympiad · 1389/6/8

$7|3n+1\Rightarrow 49|(3n+1)^2\Rightarrow 49|3(3n+1)^2\Rightarrow 49|27n^2+3+18n ({\color{red} 1})$

پس كافي است ثابت كنيم :

$49|21n+7({\color{red} 2})$

كه با

$({\color{red} 1})+({\color{red} 2})$

حكم ثابت ميشود .

كه اين هم طبق فرض بديهي است !

rezashiri · 1389/6/8

[center:91825dd37a]

$\300dpi {\color{red} 4}$

[/center:91825dd37a]
برای هر عدد طبیعی و دلخواه n ثابت کنید:

الف)

$8\mid 9^{n}+7$

ب)

$5\mid 2^{4n-2}+1$

ج)

$8\nmid 3^{n}+1$

Olympiad · 1389/6/8

الف :

$9^n\equiv (1)^n\equiv 1 (mod 8)$

=====================================
ب :

$2^{4n-2}\equiv 4^{2n-1}\equiv (-1)^{2n-1}\equiv -1 (mod 5)$

=====================================
ج )

اگر n=2k ‌:

$3^{2k}\equiv 9^k\equiv 1(mod 8)$

اگر n=2k+1 :

$3^{2k+1}\equiv 9^k\times3\equiv 3(mod 8)$

rezashiri · 1389/6/8

اینجا ماراتن بخشپذیری نه ماراتن همنهشتی هر چند به هم ربط دارن ولی باید دلیل همنهشتی رو با زبون بخشپذیری بنویسی.

[center:6177eec51f]

$\300dpi 5$

[/center:6177eec51f]
اگر

$a+b+c+d=0$

ثابت کنید

$30\mid a^{5}+b^{5}+c^{5}+d^{5}$

(این سوال رو قبلا آقای شریفی مطرح کردن)

rezashiri · 1389/6/8

لطفا توی نظرسنجی شرکت کنید....

Aref · 1389/6/8

سوال 5
زوجیت x,x^5 یکسانه پس به دو بخش پذیره. برای 3 هم اونایی رو که مضرب 3 اند کنار میزاریم. x^4 به هنگ 3 یکه پس به سه هم بخشپذیره.
برای 5 هم از فرما درمیاد.

Aref · 1389/6/8

سوال 6
فرض کنید

$n \ge 2$

. ثابت کنید:

$q \mid 2^{2^n}+1 \Rightarrow 2^{n+2}\mid q-1$

(

$q$

عددی اول است)

M_Sharifi · 1389/6/8

Aref گفت

این سوال، بخش پذیری مقدماتیه؟؟!

Aref · 1389/6/8

خب اگه سخته ساده ترش میکنم:
برای q های اول ثابت کنید:

$q\mid 2^{2^n}+1 \Rightarrow 2^{n+1} \mid q-1$

M_Sharifi · 1389/6/8

Aref گفت

این رو شما خودت حل کن. اما راهنمایی برای مسئله ی قبل شما:

[center:696707f7e1]

$p\mid 2^{2^n}+1\Rightarrow p~\Big| \left(2^{2^{n-2}}\big(2^{2^{n-1}}-1\big) \right )^{2^{n+1}}+1$

[/center:696707f7e1]

rezashiri · 1389/6/8

الآن ما باید کدوم سوال رو حل کنیم!؟!؟

گفتم از آسون بریم به سخت ، نگفتم از سخت بیایم به آسون که...

rezashiri · 1389/6/8

rezashiri گفت

یه راه حل دیگه :

چون

$x^{5}-x=x(x-1)(x+1)(x^{2}+1)$

اولش حاصل ضرب 3 عدد متوالیه پس بر 6 بخشپذیره و برای هر x طبیعی هم میشه ثابت کرد

حداقل یکیشون بر 5 بخشپذیره پس اثبات کامل شد.

rezashiri · 1389/6/8

آقا عارف شرمده اگه ناراحت نمی شی بذار این سوال رو هفته بعد حل کنیم

من فعلا سوال هفتم رو می ذارم:

[center:da2322cb4a]

$\300dpi {\color{red} 7}$

[/center:da2322cb4a]
بزرگترین عدد طبیعی n را بیابید که به ازای آن داشته باشیم:

$n+10\mid n^{3}+100$

mrbayat · 1389/6/8

Aref گفت

تا جایی که من می دونم این سوال یا حتی بعدیش که ساده ترش کردی به بحث مرتبه مربوط میشه نه بخش پذیری مقدماتی!!!!

<<:: ماراتن بخش پذیری متوسط ::>>

با ادامه کار این ماراتن موافقید؟

بله

نه

Well-Known Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

Well-Known Member

New Member

New Member

راهبر ریاضی

New Member

راهبر ریاضی

Well-Known Member

Well-Known Member

Well-Known Member

New Member