ماراتن ترکیبیات

[rezoos]

Re: سوال پنجم

[center:22e9a8f54b]

[/center:22e9a8f54b]سوال پنجم:
این سوال کمی متفاوت و البته ساده تر از سایر سوالات است.

صرف نظر از یک استثنا،فرمول پاسکال به ازای تمام زوجهای اعداد صحیح n و r ، مثبت ، منفی یا صفر برقرار است. این استثنا را بیابید.
فرمول پاسکال می گوید:

[center:22e9a8f54b]

[/center:22e9a8f54b]

یعنی n و r ی را بیابید که برای آنها داشته باشیم:[center:22e9a8f54b]

[/center:22e9a8f54b]اگر فرمولی را اثبات کرده ایم ، چگونه است که استثنا دارد؟

حالت استثنا n=r=0 هست. ( 1=0)
به همون دلیل که تو سوال های جبر یه چیزو اثبات می کنیم و بعضی جاهاشون استثنا داره.

 

[farid_frd]

یه سوال اورژانسی داشتم :
50 مهره سبز و 50 مهره قرمز داریم . چگونه این مهره ها رو در دو ظرف قرار دهیم ( تعداد لزوما نباید برابر باشد ) که شانس برداشتن مهره سبز برای شخصی که از چیدمان آنها خبر نداره بیش ترین حد باشد ؟
** اگه سوال رو بد توضیح دادم بگید تا اصلاح کنم**

 

[Goharshady]

یه سوال فنی:اگه جواب یه سوال رو پیدا کنیم که قبلا واسش جواب دادن (با یه راه دیگه)میشه حل خودمونو بذاریم؟

حتما
چرا که نه؟
فقط شماره سوال را بزرگ بالای حلتون بنویسید.

 

[rezoos]

اون استثناه که من گفتم درسته؟

 

[Goharshady]

[center:292fa1cd09]

[/center:292fa1cd09]

درسته​

تنها استثنا n=r=0 است.​

ضمنا این به این دلیل پیش اومده که تعریف ترکیب برای حالات n<0 ، r<0 و n-r<0 بعد از زمان پاسکال به وجود آمده.​

داشتم می نوشتم که اون سوال رو پرسیدی
همزمان شد!!!

 

[rezoos]

جای شکرش باقیه اکسترمال بلد نیستیم اینارو بلدیم.

 

[Goharshady]

الآن می خواستم تاپیک اکسترمال رو بخونم
آفرین بر شما

 

[Goharshady]

سوال ششم

[center:c9d89e1652]

[/center:c9d89e1652]

این هم سوال ششم ، گرچه کمی خلاف قانون بود ولی حالا که سوال پنجم جواب داده شد ، روش فکر کنین:​

50 مهره سبز و 50 مهره قرمز داریم . چگونه این مهره ها رو در دو ظرف قرار دهیم ( تعداد لزوما نباید برابر باشد ) که شانس برداشتن مهره سبز برای شخصی که از چیدمان آنها خبر نداره بیش ترین حد باشد ؟

 

[Goharshady]

[center:8bf7c9209f]

[/center:8bf7c9209f]

باید یک نکته مهم به سوال اضافه کنم:​

احتمال انتخاب از ظرف اول و دوم یکی است. یعنی انتخاب از ظرف اول هم شانس است با انتخاب از ظرف دوم​

مثلا اگر 10 تا مهره سبز و همه قرمز ها را در ظرف اول بگذاریم و 40 سبز دیگر را در ظرف دوم داریم:​

[center:8bf7c9209f]

[/center:8bf7c9209f][center:8bf7c9209f]

[/center:8bf7c9209f][center:8bf7c9209f]

[/center:8bf7c9209f]

با این توضیح طولانی فکر می کنم جواب بدیهی شده باشه!!​

 

[farid_frd]

این سوال اضطراری ه سریع جواب بدید

 

[Goharshady]

[center:68b83df9c6]6[/center:68b83df9c6]یک راهنمایی خیلی واضح گذاشتم!!
بررسی کن تا خودت به جواب برسی
اگه نشد بگو همین الآن برات جواب کامل رو می نویسم.

 

[farid_frd]

این چیزی که نوشتی که معلوم بود بقیه اش هم اگه میشه ... با استدلال دقیق ...

 

[Goharshady]

[center:7af9823489]6[/center:7af9823489]همین الآن دارم جوابتو می نویسم
چند دقیقه صبر کن.

 

[Goharshady]

جواب سوال ششم

[center:c8a7b9638b]

[/center:c8a7b9638b]این هم جواب:
حالتی را در نظر بگیرید که همه 50 تا سبز در یک ظرف و همه ی 50 قرمز در ظرف دیگر باشند.
می خواهیم این حالت را بهینه سازی کنیم.
در این حالت داریم:
[center:c8a7b9638b]

[/center:c8a7b9638b]

تغییراتی که می توانیم در این حالت اعمال کنیم (که جزئی هم باشند) عبارتند از:​

الف) 50 تا سبز و یک قرمز را در یک ظرف و 49 قرمز دیگر را در ظرف دیگر بگذاریم.​

در این حالت داریم:​

[center:c8a7b9638b]

[/center:c8a7b9638b]

یعنی احتمال کم شد و این حالت به درد نمی خورد​

ب) 49 تا سبز و یک قرمز در یک ظرف و 49 تا قرمز و 1 سبز در ظرف دیگر بگذاریم:​

[center:c8a7b9638b]

[/center:c8a7b9638b]

این حالت هم به درد نمی خوره.​

اما حالت به درد بخور:​

ج) 49تا سبز در یک ظرف و 50 قرمز و 1 سبز در ظرف دیگر.(وقتی دیدیم احتمال در قسمت الف کم شد باید می فهمیدیم که احتمال در نقیض آن یعنی همین ج بیشتر می شود):​

[center:c8a7b9638b]

[/center:c8a7b9638b]این قضیه را در حالت کلی اثبات می کنیم:
فرض کنیم x تا سبز در یک ظرف و 50 تا قرمز و

تا سبز در یک ظرف دیگر باشند. داریم:[center:c8a7b9638b]

حالا اگر یکی از سبز ها را از ظرف اول به ظرف دوم (کنار قرمزها) منتقل کنیم داریم:​

[/center:c8a7b9638b]

یعنی احتمال سبز آمدن بیشتر می شود. با توجه به این قضیه و مثالی که زده شد و این که x>1 است (در اثبات) در می یابیم که :​

بیشترین احتمال زمانی است که 49 تا سبز در یک ظرف و 50 تا قرمز و 49 تا سبز در ظرف دیگر باشند. یعنی:​

[center:c8a7b9638b]

[/center:c8a7b9638b]

بالای 74 دوره ی گردش است!​

ضمنا می توان مانند مثال همان اول بررسی کرد که حالت بهتری وجود ندارد!​

این توضیح طولانی به خاطر این بود که بدانید راه حل از کجا آمد.​

این همه نوشتم یک تشکر نمی کنید؟
ضمنا لطف کنید شماره سوالی رو که درباره اش مطلب می نویسید بالای مطلبتون بزرگ درج کنید!
مثل من. چون بعضی ها کور هستن ، بازم مثل من!
تا چند لحظه دیگر سوال بعدی را می گذارم.

 

[farid_frd]

mer30

 

[Goharshady]

سوال هفتم

[center:9dc15bb965]

[/center:9dc15bb965]

خب ، چند تا سوال ساده گذاشتیم ، خوب نبود ، بیایین چندتا سوال ساده تر حل کنیم!!!​

سوال هفتم:​

m ظرف داریم که در هر کدام از آنها تعدادی شکلات قرار داده ایم. تعداد کل شکلات ها برابر n است. ممکن است بعضی ظرف ها خالی باشند و تعداد شکلاتهای موجود در ظرفها لزوما برابر نیست.می خواهیم با این شکلاتها یک بازی انجام دهیم. بازی به این ترتیب است که ما در هر مرحله می توانیم از دو ظرف متفاوت یک شکلات برداریم و این دو شکلات را در ظرفی دیگر (نه یکی از همان دوتا) قرار دهیم. برای چه m و n هایی می توان همه شکلاتها را در یک ظرف جمع کرد؟ (راهنمایی : از استقرا بهره جویید!، چند حالت خاص را بررسی کنید ، و سعی کنید اثبات کنید برای همه n و m ها این کار ممکن است. سپس در جریان اثبات ، خودتان می فهمید برای چه حالاتی ممکن نیست. برای آن حالات کافی است مثال نقض بیاورید)​

خیلی جالبه! کل حل سوال رو به عنوان راهنمایی نوشتم، خب پس شما چی کار کنید؟​

منبع: شمردنی ها را بشمار ، دکتر مجید میرزاوزیری ، انتشارات سخن گستر ، ص 33.​

آخرین مهلت پاسخگویی: فردا 5 بعد از ظهر

 

[Goharshady]

[center:e7bdf5649b]

[/center:e7bdf5649b]

اگه واسه اعداد منفی هم درسته پس این چند میشه؟ -1 از 0

ببخشید که اینقدر دیر جواب دادم.
ندیده بودمش.
اگر هر یک از این حالات برای ترکیب r از n پیش بیاید ، حاصل برابر صفر تعریف می شود:

• n<0
• r<0
• n-r<0

موفق باشید.
روی سوال 7 فکر کنید.

 

[Goharshady]

جای شکرش باقیه اکسترمال بلد نیستیم اینارو بلدیم.

وقتی سوال 7 حل شد ، یه عنوان سوال 8 به چیزی از اکسترمال می ذارم. ان شاء الله.
ضمنا راه حل اکسترمال سوال اسپانیا 1997 رو هم تو تاپیک اکسترمال گذاشتم.
ftopicp-18905.html#18905

 

[Goharshady]

سلام
به درخواست دوستان گرامی ، ماراتن جبر و تئوری اعداد هم شروع شد.
جبر: ftopicp-18915.html#18915
نظریه اعداد : ftopicp-18916.html#18916
قوانین مطرح شده در این دو تاپیک ، در اینجا هم باید اجرا شوند.

 

[Goharshady]

پاسخ سوال 7

[center:f153f5aecf]

[/center:f153f5aecf]این هم جواب سوال هفت:
استقرا را روی تعداد شکلاتها می زنیم.
گام استقرا این طوری طی می شه:
هر ستون نشانه یک ظرف است ، و اعداد تعداد شکلات داخل ظرفها را نشان می دهند.
[center:f153f5aecf]

[/center:f153f5aecf]

بدیهی است که با استفاده از این راه حل باید حداقل 4 ظرف داشته باشیم و n+1 هم باید حداقل 4 باشد.​

با ارائه مثال نقض می توان اثبات کرد که سایر حالات معتبر نیستند (به عهده خودتان)​